Wiederholung. Datenstrukturen und. Bäume. Wiederholung. Suchen in linearen Feldern VO

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1 Wiederholung Datenstrukturen und Algorithmen VO Suchen in linearen Feldern Ohne Vorsortierung: Sequentielle Suche Speicherung nach Zugriffswahrscheinlichkeit Selbstanordnende Felder Mit Vorsortierung: Binärsuche Interpolationssuche Quadratische Binärsuche FastSearch worst-case: T(n)=Θ(n) Wiederholung Laufzeitverhalten der Suchverfahren für vorsortierte Felder Mittlerer Fall Schlechtester Fall Binärsuche O(log n) O(log n) Interpolationssuche O(log log n) O(n) Quadratische Binärsuche O(log log n) O( n ) FastSearch O(log log n) O(log n) Definition: Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. Nachfolgerrelation strukturiert ist. Elemente: Knoten In einem Baum gilt: 1 Knoten w ohne Vater(w) (w=wurzel) Knoten k w 1 Knotenfolge k 0, k 1,, k t mit k 0 =k, k t =w und k i =Vater(k i-1 ) für i=1, 2,, t. (Ast zwischen k und w, Länge t, t Tiefe des Knotens k)

2 Ordnung eines Baumes: maximale Anzahl an Söhnen Die Knoten eines Baumes sind entweder Blätter (Knoten ohne Söhne) oder innere Knoten Jeder Knoten ist Wurzel eines Teilbaumes Höhe eines Baumes: Länge des längsten Pfades von der Wurzel bis zu einem Blatt Voller Baum der Ordnung k: Jeder Knoten hat genau k Söhne oder ist ein Blatt Ein vollständiger Baum ist ein voller Baum, bei dem jedes Blatt gleiche Tiefe hat Anwendungen: Hierarchische Strukturen: Inklusionsstrukturen: Anwendungen in der Informatik: Rekursionsbäume Entscheidungsbäume Suchbäume Haldenbäume Codebäume u.v.a. Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger Beispiel (Syntaxbäume): Arithmetische Ausdrücke Blätter (= Knoten ohne Söhne) enthalten Zahlen, innere Knoten speichern Operatoren (, -,, ). Existiert ein Sohn- oder ein Vaterknoten nicht, wird nil zurückgeliefert

3 Reihenfolge der Knoten: Symmetrische Reihenfolge (SR, inorder): linker Teilbaum in SR, Wurzel, rechter Teilbaum in SR Aufruf: SR(w) w Wurzel Reihenfolge der Knoten: Hauptreihenfolge (HR, preorder): Wurzel, linker Teilbaum in HR, rechter Teilbaum in HR Nebenreihenfolge (NR, postorder): linker Teilbaum in NR, rechter Teilbaum in NR, Wurzel T(n) = Θ(n) Beispiel: (HR) Infix-Notation Postfix-Notation (NR) Binäre Suchbäume sind in symmetrischer Reihenfolge sortiert Knoten im linken Teilbaum Wurzel Knoten im rechten Teilbaum Suchen (binäre Suche): b gesuchter Wert k Wurzel des Teilbaums Aufruf: SUCHE(b, w) Suchzeit: O(h) h Höhe des Baumes (= Länge des längsten Astes)

4 Minimum und Maximum: k Wurzel des Teilbaums Laufzeit: jeweils O(h) Vorgänger und Nachfolger: Vorgänger von k: was ist der größte Wert kleiner als k? Wenn ein linker Sohn existiert, suche das Maximum in diesem Teilbaum, sonst suche den niedrigsten Knoten, bei dem sich k unter dem rechten Sohn befindet Vorgänger und Nachfolger: Nachfolger von k: was ist der kleinste Wert größer als k? Wenn ein rechter Sohn existiert, suche das Minimum in diesem Teilbaum, sonst suche den niedrigsten Knoten, bei dem sich k unter dem linken Sohn befindet Einfügen: Fügt den Wert w in den Binärbaum B ein Simuliere eine Suche nach w, bis zu einer freien Stelle (x=nil) Dort fügen wir das Element ein (als Sohn von y) Baum B war leer

5 Entfernen: Suchen Knoten k a) k ist Blatt: abhängen b) k hat nur einen Sohn: Teilbaum von diesem Sohn an VATER(k) anhängen c) k hat 2 Söhne: Finde den Nachfolger k (k' hat keinen linken Sohn!) Setze WERT(k) = WERT(k' ) Entferne k' Fall a) oder b) Aufbau eines sortierten Binärbaumes: durch wiederholtes Einfügen ( natürliche ) Binärbaum hängt von der Reihenfolge der Elemente ab T(n) = O(nh) = Θ(n 2 ), wenn h = Θ(n) Fügt man randomisiert ein, ist E[h] klein Einige wenige Reihenfolgen liefern entartete (= Listen) Zusammenfassung: Minimum Maximum Vorgänger Alle Operationen in O(h) Zeit Nachfolger h Baumhöhe Einfügen Löschen Suchen Vorteil: dynamische Lösung des Wörterbuchproblems Nachteil: Zeiten bis zu Θ(n) Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Bis zum nächsten Mal. (Donnerstag, 17. Dez. 2009, 11:15, i13)