Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
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1 Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
2 Gliederung 8 Epipolargeometrie Die Fundamentalmatrix Korrelation Schätzung der Fundamentalmatrix Homographie infolge einer Ebene Sonderfälle Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix 2 von 46
3 Epipolargeometrie Gliederung 8 Epipolargeometrie Die Fundamentalmatrix Korrelation Schätzung der Fundamentalmatrix Homographie infolge einer Ebene Sonderfälle Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix 3 von 46
4 Epipolargeometrie Epipolargeometrie Die Epipolargeometrie beschreibt die intrinsische projektive Geometrie zwischen zwei Bildaufnahmen einer Szene. Sie ist unabhängig von der Szenenstruktur und hängt lediglich von den internen Kameraparametern und der relativen Position und Orientierung der Kameras ab. Die Fundamentalmatrix ist die algebraische Beschreibung der Epipolargeometrie. 4 von 46
5 Epipolargeometrie Epipolarebene epipolar plane π X x x / C C / Die Projektionszentren C, C liegen zusammen mit dem Weltpunkt X und dessen Bildern x und x auf einer Ebene π. 5 von 46
6 Epipolargeometrie Epipolarlinie x wird auf einen Strahl rückprojiziert, auf dem der Weltpunkt X liegt. X? X X? Das Bild der Rückprojektionslinie auf der anderen Bildebene ist die Epipolarlinie von x. x e / l / e epipolar line for x Der zu x I korrespondierende Bildpunkt x J befindet sich auf der Epipolarlinie l J. 6 von 46
7 Epipolargeometrie Epipole π l / l e e / baseline Die Verbindungslinie der Kamerazentren (baseline) schneidet jede Bildebene in den Epipolen e und e. Jede Ebene, die die Grundlinie enthält, ist eine Epipolarebene und schneidet die Bildebenen in korrespondierenden Epipolarlinien. 7 von 46
8 Epipolargeometrie X e / e baseline Abbildung: Verändert sich die Position von X, so rotieren die Epipolarebenen um die Verbindungslinie der Kamerazentren und bestimmen auf den Bildebenen korrespondierende Epipolarlinien. 8 von 46
9 Mit I sei die erste und mit J die zweite Bildebene bezeichnet. Folgende Objekte sind von Bedeutung: x I und x J sind korrespondierende Bildpunkte. Der Weltpunkt X wird von der ersten Kamera auf x I und von der zweiten Kamera auf x J abgebildet. e IJ und e JI sind Epipole. Dabei ist e IJ das Bild des Kamerazentrums C J auf der Bildebene I und umgekehrt. e IJ P I C J e JI P J C I Verbindet man die beiden Kamerazentren, liegt e I auf dem Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der Bildebene I und analog liegt e J auf der Bildebene J. l I und l J sind Epipolar- oder Kernlinien. Korrespondierende Epipolarlinien werden durch Kamerazentren und Epipolarebene bestimmt.
10 Die Fundamentalmatrix Gliederung 8 Epipolargeometrie Die Fundamentalmatrix Korrelation Schätzung der Fundamentalmatrix Homographie infolge einer Ebene Sonderfälle Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix 10 von 46
11 Die Fundamentalmatrix Fundamentalmatrix Szenario: Seien zwei Bilder I und J einer Szene gegeben, die mit verschiedenen Kameras aufgenommen worden sind. Es seien korrespondierende Punkte in den beiden Bildern gegeben. x i I xi J seien korrespondierende Punkte. P + I x I ist ein Punkt auf dem Rückstrahl von x I. DasBilddesRückstrahles ist die Epipolarlinie in J. 11 von 46
12 Die Fundamentalmatrix Fundamentalmatrix Somit gilt für die Epipolarlinie: l J e JI P J P + I x I [e JI ] P J P + I x I (1) }{{} F JI Ergebnis F JI ist die Fundamentalmatrix. Die Fundamentalmatrix hängt nur von den Kameramatrizen ab und bildet jeden Bildpunkt x I in I auf seine korrespondierende Epipolarlinie l J in J durch e JI ab. 12 von 46
13 Die Fundamentalmatrix Die Kenntnis der Fundamentalmatrix ist äquivalent zur Kenntnis der Epipolargeometrie. Weiterhin: l J ist die zum Punkt x I gehörige Epipolarlinie. l J ist gemeinsame Epipolarlinie für alle Bildpunkte auf l I e IJ x I und umgekehrt. l I und l J sind korrespondierende Epipolarlinien. Jede Ebene durch C I und C J schneidet die Bildebene I und die Bildebene J in korrespondierenden Epipolarlinien. 13 von 46
14 Die Fundamentalmatrix Abbildung: Epipolarlinien - Translation und Rotation e e / 14 von 46
15 Die Fundamentalmatrix e at infinity / e at infinity Abbildung: Bewegung parallel zur Bildebene 15 von 46
16 Die Fundamentalmatrix I F JI J l J Epipolarlinie x I e JI Abbildung: Korrelation zwischen Punkten und Linien Die Fundamentalmatrix liefert eine Korrespondenz zwischen Punkten und Linien l J F JI x I. F JI [e JI ] P J P + I 16 von 46
17 Die Fundamentalmatrix Freiheitsgrade F JI [e JI ] P J P + I. Da [e JI ] singulär ist, ist auch F JI singulär mit Rang 2: det(f JI )=0 Singularitätsbedingung Ergebnis (Freiheitsgrade) Die Fundamentalmatrix besitzt 7 Freiheitsgrade 17 von 46
18 Die Fundamentalmatrix Die Epipole sind die Nullvektoren (rechter und linker) der Fundamentalmatrix. Es gilt F JI e IJ =0,da F JI e IJ e JI P J P + I e IJ e JI e JI = 0 (Der Epipol e IJ wird über P J P + I abgebildet.) Außerdem gilt: e T JI F JI = 0 T. auf den Epipol e JI Ergebnis Die Epipole können über die Berechnung des linken bzw. rechten Nullvektors von F JI bestimmt werden. 18 von 46
19 Schätzung der Fundamentalmatrix Ergebnis (Epipolarbedingung) Für korrespondierende Punkte x I x J gilt: x T J F JI x I =0 Beweis. Für die Epipolarlinie l J zu x I gilt: l J F JI x I. Für korrespondierende Punkte x I x J gilt: x T J l J =0 x T J F JI x I =0
20 Die Fundamentalmatrix Weitere Eigenschaften: F IJ F T JI. Dies kann aus der Epipolarbedingung hergeleitet werden: x T J F JI x I =0 x T I F IJ x J =0 x T J FT IJ x I =0und F IJ F T JI 20 von 46
21 Die Fundamentalmatrix Schätzung aus 7 Punktkorrespondenzen F ist 3 3Matrixmit F =0. F lässt sich theoretisch aus 7 Korrespondenzen berechnen (nichtlinear i.a. drei Lösungen). x T J Fx I =0 (x T J xt I ) f =0 mitf }{{} (9 1) = vec(f) A (7 9) A hat einen 2-dimensionalen Nullraum f = f 1 + λf 2 Einsetzen der erhaltenen Lösung in die Bedingung det(f) = 0: ( ) f λf2 11 f λf F =... F 1 + λf 2 =0 Man erhält 3 Lösungen λ 1, λ 2, λ von 46
22 Schätzung mit mehr als 7 Punkten Aus mehreren Korrespondenzen lässt sich F mit linearen Methoden schätzen. Die Bedingung F =0mussimnichtstörungsfreien Fall hinterher erzwungen werden. n Korrespondenzen A ist n 9Matrix. Störungsfreier Fall Rang(A) =8 Die eindeutige Lösung erhält man hier durch den Nullvektor von A: f = null(a). Die Bedingung det(a) = 0 ist hier automatisch gegeben.
23 Die Fundamentalmatrix Schätzung mit mehr als 7 Punkten mit Störungen ( 9 Punktkorrespondenzen) Rang(A) =9 Eine Näherungslösung erhält man hier über die SVD: A = YSW T. Y und W sind orthogonale Matrizen; S ist eine (rechteckige) Diagonalmatrix mit neun sortierten Diagonalelementen (Singulärwerte). Im störungsfreien Fall ist das letzte Diagonalelement exakt Null und die Lösung die letzte Spalte der Matrix W. Sie ist gleichzeitig der rechte Nullvektor von A. Im allgemeinen nicht störungsfreien Fall ist der letzte Singulärwert nur ungefähr gleich Null. Als Lösung f wird wieder die zugehörige letzte Spalte von W genommen. 23 von 46
24 Die Fundamentalmatrix Schätzung mit mehr als 7 Punkten det(f) = 0 muss jetzt erzwungen werden. Erneut SVD F = UDV T D ist eine Diagonalmatrix. Die Einträge sind der Größe nach in absteigender Reihenfolge geordnet. Im störungsfreien Fall (F singulär) ist der letzte Wert auf der Diagonalen Null. Sonst: letzte Komponente von D auf 0 setzen Singularität wird erzwungen. (mit geringstem Abstand in der Frobenius-Norm) 24 von 46
25 Gliederung 8 Epipolargeometrie Die Fundamentalmatrix Korrelation Schätzung der Fundamentalmatrix Homographie infolge einer Ebene Sonderfälle Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix 25 von 46
26 l 3 l2 l 1 e e / l / 3 / l 2 l / 1 p Abbildung: 26 von 46
27 (2) Die Epipolargeometrie wird algebraisch vollständig von der Fundametalmatrix erfasst. Die Epipolargeometrie ist gegeben durch 1 die Epipole e JI, e IJ (4 dof, je 2 dof) 2 und der Zuordnung l I e IJ l J e JI (3 dof). e IJ ist der dem P 1 Epipol zugehörige 01e 01 komplementäre l I Orthogonalraum. P 1 P 1 mit 3 Parametern. ( ) ( )( ) P 1 e l J 27 von 46
28 Konstruktion der Eine Linie l auf I schneidet die Epipolarlinie l I in s l l I. I e l s J e l I s wird auf die korrespondierende Epipolarlinie l J auf der Bildebene J abgebildet. l J F JI (l l I ) Voraussetzung: l darf nicht durch den Epipol gehen. l J l T e IJ 0 Wähle l = e IJ (somitl T e IJ = e T IJ e IJ 0) l J F JI [e IJ ] }{{ } l I 28 von 46
29 Ergebnis Seien l I und l J korrespondierende Epipolarlinien und l eine Linie, die nicht durch den Epipol verläuft, so gilt: l J F JI [l] l I Insbesondere: l J F JI [e IJ ] l I 29 von 46
30 Homographie infolge einer Ebene Für die Fundamentalmatrix hatten wir hergeleitet: F JI [e JI ] P J P + I }{{} H JI X π x Hπ x / l / e e / 30 von 46
31 Statt H JI kann eine andere Homographie infolge einer beliebigen Ebene gewählt werden. Plückermatrix des Rückstrahls von x I (durch C I ) P + I x I C T I C I x T I P +T I Schnittpunkt des Rückstahls mit der Ebene π X (P + I x I C T I C I x T I P +T I )π Homographie zwischen x I und x J x J P J (P + I x I C T I C I x T I P +T I )π Umformung mit vec(abc) =(A C T )vec(b) (vec: zeilenweises Stapeln) x J (P J π T )((P + I C I )x I (C I P + I )x I ) x J (P J π T )(P + I C I C I P + I ) x I }{{} H JI (π) 31 von 46
32 H JI (π) (P J π T ) (I }{{} 4 4 C I C I I 4 4 ) P + }{{} I } {{ } 3 3 H JI (π) P J P + I (π T C I ) P J C I π T P + I Rechenregeln (A B)(C D) =(AC) (BD) (A B) T =(A T B T ), (A B) 1 =(A 1 B 1 ) H JI (π) P J P + I (π T C I ) P J C }{{} I π T P T I (P I P T I ) 1 e JI Ist π C I H JI (C I ) P J P + I H JI (π)e IJ e JI π, da[e JI ] H JI (π)e IJ = 0 32 von 46
33 Ergebnis Angabe der Fundamentalmatrix über die Homographie infolge einer Ebene π: F JI [e JI ] H JI (π) 33 von 46
34 Sei C I = ( 0 1 ) (C I liegt im Ursprung des Weltkoordinatensystems) } P I K I [I, 0] Kamerapaar P J K J R J [I, c J ] Epipol: e JI P J C I K J R J c J ( Pseudoinverse P + I : P + I (K I [I, 0]) + I = 0 T Fundamentalmatrix: {}} ( ){ I F JI [K J R J c J ] K J R J [I, c J ] 0 T K 1 I [e JI ] (K J R J K 1 I ) }{{} H JI I ) K 1 I 34 von 46
35 Sonderfälle - Reine Translation Reine Translation, gleiche Kalibriermatrix parallel lines P I = K [I 0] P J = K [I t] e (R = I und K I = K J ) vanishing point F JI [e JI ] KK 1 [e JI ] image camera centre Fokus of Expansion: Der Epipol ist fix (gleiche Koordinaten auf beiden Bildern). 35 von 46
36 Reine Translation C / e / C e Abbildung: Reine Translation 36 von 46
37 Reine Translation parallel zur x-achse Ist die Translation parallel zur x-achse: e JI ( ) T F Die Beziehung zwischen korrespondierenden Punkten x T J Fx I =0 reduziert sich (y I = y J ). Die Epipolarlinien sind korrespondierende Raster. Bei der Rektifikation von Bildpaaren werden die Bilder so verändert, dass korrespondierende Punkte auf der gleichen y-koordinate liegen. 37 von 46
38 Abbildung: Rektifiziertes Bildpaar 38 von 46
39 Sonderfälle - Reine Rotation Es existiert keine Epipolargeometrie. Nur Mosaikbildung (Panoramabilder)! 39 von 46
40 Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix Gliederung 8 Epipolargeometrie Die Fundamentalmatrix Korrelation Schätzung der Fundamentalmatrix Homographie infolge einer Ebene Sonderfälle Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix 40 von 46
41 Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix Definition (Horopter) Ein Raumpunkt X liegt auf dem Horopter, falls P I X P J X x. x ist selbstkorrespondierend: Der Weltpunkt X wird von beiden Kameras auf den selben Bildpunkt x abgebildet. x T F JI x =0 x T F T JI x =0 (FT JI = F IJ) 41 von 46
42 Es gilt: x T (F JI + F T JI }{{} ) x =0 (2) F s JI F s JI ist der symmetrische Anteil der Fundamentalmatrix. Zerlegung einer Matrix: M = 1 2 (M + MT ) + 1 }{{} 2 (M MT ) }{{} symmetrisch antisymmetrisch Zerlegung der Fundamentalmatrix in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil: symmetrisch F s JI F JI + F T } JI antisymmetrisch F a JI F JI F T F JI F s JI + Fa JI JI F s JI ist i.a. ein regulärer Kegelschnitt und beschreibt das Bild des Horopters.
43 Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix Ergebnis Die Epipole liegen auf dem Kegelschnitt, der durch F s JI beschrieben wird. Beweis. e T JI Fs JI e JI e T JI (F JI + F T JI )e JI =0 e T IJ Fs JI e IJ e T IJ (F IJ + F T IJ )e IJ =0 Die Epipole sind der rechte bzw. der linke Nullvektor von F: e T JI (F JI + F T JI )e JI = e T JI (F JI + F IJ )e JI = e T JI F T JI e }{{} JI + e 0 T }{{} 0 JI F IJe JI =0 43 von 46
44 Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix J,I e IJ S F JI f e JI l f Polare von f Abbildung: F s JI. Die Polare des Punktes f schneidet den Kegelschnitt in den Epipolen e JI und e IJ 44 von 46
45 Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix Der antisymmetrische Teil der Fundamentalmatrix F a JI ist eine 3 3 schiefsymmetrische Matrix. F a JI hat die Form eines Axiators: f ist Nullvektor von [f]. F JI F T IJ [f] (F JI F T IJ ) f =0 F JI f (F s JI + Fa JI )f Fs JI f (3) F s JI f l f ist die Polare des Punktes f. 45 von 46
46 Geometrische Darstellung der Fundamentalmatrix Ergebnis Die Epipole liegen auf l f der Polaren zum Pol f bzgl. F s JI. Beweis. z.z. e T JI Fs JI f =0 F s JI f (3) F JI f ist eine Linie durch den Epipol e JI ähnlich für e T IJ Fs JI f =0 e T JI Fs JI f =0 46 von 46
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