1 Definitionen: 6 Punkte gesamt

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1 ANTWORTEN zum KOLLOQIUM zur Einführung in die Lineare Algebra Hans G. Feichtinger Sommersemester 2014 Fr., 25. Juli 2014, 10:00, Fakultät f. Mathematik Punktezahl: (1) 6 (2) 9 (3) 5 (4) 10 TOTAL (von 30): 1 Definitionen: 6 Punkte gesamt KEIN BESONDERER KOMMENTAR, sollte alles klar sein, wenn man die Unterlagen ernst genommen hat, kleine Missverstaendnisse natuerlich ausgenommen. 1..[1 Punkt] Beschreiben Sie den Begriff der Linearkombination in einem (allgemeinen) Vektorraum V über C! ich beobachte erstaunliche Probleme mit dieser Frage, obwohl es um den zentralen Begriff in der linearen Algebra geht! In einem (allgemeinen) Vektorraum V über einem Körper K kann man Summen und (skalare) Vielfache von Vektoren bilden, also aufgrund des Assoziativ-Gesetzes für die Addition auch Summen von Vielfachen von Vektoren. DAS SIND die Linearkombinationen der involvierten Vektoren (das können richtige Vektoren sein, oder Matrizen, oder Polynomfunktionen, oder allgemeine stetige Funktionen, siehe die Diskussion der Euler schen Formel!), wobei die Zahlen (Skalare) die neben den einzelnen Vektoren oft auch Koeffizienten genannt werden. ERST WENN MAN WEISS, was eine Linear-Kombination von Vektoren ist, kann man fragen: (a) Kann es sein, dass zwei verschiedene Linearkombinationen (d.h. unterschiedliche Koeffizienten ergeben denselben Vektor, d.h. dasselbe Element v V )? (b) Hat man eine endliche Folge und erlaubt beliebige Koeffizienten, bekommt man dann alle Vektoren v V? (c) Wann ist jeder Vektor v V eindeutig als eine Linearkombination von ganz wenigen/bestimmten Vektoren (eine endlichen Folge) darstellbar? 2..[1 Punkt] Wie ist eine Basis in einem Vektorraum über K definiert? 3..[1 Punkt] Wann wird eine Menge M V als linear abhängig bezeichnet? 4..[1 Punkt] Wie kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren x, y R k definieren? Die Formel sagt: cos(α) stimmt mit dem Skalarprodukt der normierten Vektoren überein. Das ist genau-genommen eine Definition!

2 5..[1 Punkte] Wie ist das orthogonale Komplement W eines Teilraumes W R k definiert? Die Antwort sollte nicht nur eine Aussage sein, dass da gewissen Vektoren zueinander senkrecht stehen, oder nur dass die Elemnte von W zu den Elementen von W senkrecht stehen, sondern eben, dass es alle diese Vektoren sind, d.h. W := { z R k w, z w W }. Das ist die (korrekte) Beschreibung einer Teilmenge des R k. 6..[1 Punkt] Wie bestimmt man mit Hilfe der Gauss-Elimination die Inverse einer quadratischen Matrix (bzw. stellt fest, ob sie invertierbar ist): eine Kurzbeschreibung des Vorganges. 2 Sätze, Beweise, techn. Überlegungen: 9 Punkte 1..[3 Punkte] Bilden die folgende 4 Polynomfunktionen eine Basis für den Vektorraum P 3 (R) aller kubischen Polynomfunktionen? p 1 (x) = x 3 + x 2 + x + 1; p 2 (x) = 3x 6; p 3 (x) = 2x 2 4; p 4 (x) = x + 2; JA, es sind 4 Vektoren in dem 4-dimensionalen Vektorraum P 3 (R) der kubischen Polynomfunktionen auf R. Sie sind dann also genau dann linear unabhängig, wenn die zugehörige Matrix der Koeffizienten bzgl. der Standardbasis M 3 = {t 3, t 2, t 1, t 0 } invertierbar ist. Das kann man leicht mittels Gauss scher Elimination feststellen, wobei es sicherlich hilfreich und zeitsparend ist, wenn man die Reihenfolge SELBST passend wählt! Antwort also JA (aber die Punkte erfordern eine Rechnung und Begründung, nicht nur das Erraten der richtigen Behauptung, ist wohl klar). Die Matrix ist natürlich einfach (für die Invertierbarkeit ist es unwichtig, ob man die Matrix mit Zeilen oder mit Spaltenvektoren befüllt, weil eine Matrix genau dann (nicht-)invertierbar ist, wenn die transponierte Matrix (nicht-)invertierbar ist!) (1) Schaut man etwas näher sollte man sofort sehen, dass das Vertauschen von Zeilen (also ohne lange RECHNEN zu müssen!) die Matrix schon fast in Dreieckgestalt bringt, wobei dann schon klar ist dass man mit einem Schritt obere Dreiecksgestalt bekommt mit (sicher) nicht-verschwindenden Diagonaleinträgen! Somit ist die Invertierbarkeit der Matrix gegeben.

3 (2) 2..[2 Punkte] Zeigen Sie, dass ein Orthonormalsystem von Vektoren q 1,, q r in C k auch linear unabhängig ist. Ein Beispiel, das in dieser oder ähnlicher Form sicher immer wieder kommen wird! Standardbeweis aus der Vorlesung. v = r k=1 c k q k = 0 impliziert, dass jedes Skalarprodukt mit einem der Vektoren q l gleich null ist..., aber das sind genau die Koeffizienten, denn c l = v, q k, 1 l r, das gilt für jedes Orthonormalsystem. Strenger an die gefragte Aussage angebunden ist folgende Argumentation. Angenommen EIN Element läß sich als Linearkombination der anderen darstellen (nach Umnumerierung kann man also annehmen, dass q 1 = r k=2 c k q k gilt. Die sind alle senkrecht zu q 1, also ist q 1 zu sich selber senkrecht, also der Nullvektor. Algebraisch realisiert man das so: r q 1, q 1 = c k q 1, q k = 0, wegen der Orthogonalitätsrelationen. k=2 3..[2 Punkte] Wie kann man zeigen, dass jede linear unabhängige Menge M mit k Elementen in einem k-dimensionalen Raum auch eine Basis ist? Antwort: Man beschreibt die Vektoren als Matrix (jeder Vektor der Menge M entspricht einer Spalte, der die Koeffizienten dieser Vektoren enthält). Die Menge M ist genau dann linear unabh. wenn die Spalten der entsprechenden n n-matrix linear unabhängig sind. Aber dann ist diese Matrix invertierbar, und eine invertierbare Matrix macht aus einer Basis (durch Bilden von Linear-Kombinationen) wieder eine Basis, was zu zeigen war. 4..[1 Punkt] Wie zeigt man, dass (auch) in einer (nicht-kommutativen) Gruppe das neutrale Element eindeutig bestimmt ist? BEWEIS: Es sei (G, ) die Gruppe, und es seien e, e ein links- bzw. ein rechtsneutrales Element, d.h. man hat e g = g, oder gleichwertig g = e g, g G and h e = h, h G. Spezialisiert man diese beiden Aussagen indem man zuerst g = e und dann h = e wählt, bekommt man e = e e = e. Somit ist bewiesen dass die beiden neutralen Elemente gleich sein müssen, d.h. es gibt nur ein (zweiseitiges) neutrales Element in (G, ). 5..[1 Punkt] Wie bestimmt man eine Basis für den Spaltenraum einer Matrix A? Gauss-Elimination auf die transponierte Matrix anwenden und Pivot-Zeilen dann wieder transponieren, oder Pivot-Spalten bestimmen und dann die entsprechenden Spalten aus der urspünglichen Matrix entnehmen!

4 3 Multiple Choice: Gesamt 5 Punkte ANTWORTVEKTOR: J,J,N,J,N bzw. W,W,F,W,F (einfache Beweise waren auch möglich!) Wahr oder Falsch? (kurze Erläuterung?) Jeweils ein Punkt, bzw. ein Minuspunkt bei falscher Antwort und Null Punkte bei Nichtbeantwortung. Schreiben Sie Bitte links von der Angabe W oder F! 1..[1 Punkt] In einem 6-dimensionalen Vektorraum sind je 7 Vektoren linear abhängig. 2..[1 Punkt] Jede Obermenge einer linear abhängigen Menge ist linear abhängig. [JA] Beweis könnte bei einem der nächsten Termine gefragt werden. 3..[1 Punkt] Jede Abbildung R R von der Form T : x x + β (β R, fix) definiert eine lineare Abbildung. NEIN: Das ist zwar die Terminologie in der Schule, aber in allen Mathematik- Buechern (weltweit) ist so einer Abbildung als affine Abbildung bekannt und nur dann linear (im Sinne der Definitione) wenn β = 0 ist. Klar: (x 1 + β) + (x 2 + β) x + β! (ausser für β = 0). 4..[1 Punkt] Jede Teilmenge einer Basis ist eine linear unabhängige Menge. [JA] 5..[1 Punkt] Wenn ja zwei Vektoren aus einer Menge M R 3 linear unabhängig sind, dann ist die Menge M linear unabhängig. Nein: Je 5 zufällige Vektoren im R 3 (schauen Sie sich Ihre linke Hand in allgemeiner Position an!) hat diese Eigenschaft (keine zwei Finger sind genau parallel!), aber trotzdem sind mehr als 3 Vektoren im R 3 linear abhängig!! 4 Beweise, Rechenschritte, Ansätze: 10 Punkte 1..[2 Punkte] Man zeige, dass M 1 eine Linearkombination der Matrizen M 2 und M 3 = M2 t ist. ( ) ( ) M 1 =, M =. 0 1 Das Standardrezept waere, dieses Problem in einer Standard-Basis zu beschreiben, d.h. der 1-Pixel Matrizen. Dann ist die Frage, ob M 1 = c 1 M 2 + c 2 M 3 (eine Linearkombination der beiden Matrizen M 2, M 3 ) ist, leicht in ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen für 2 Variablen zu erstellen. Ein paar KollegInnen haben aber gleich gesehen, dass wegen der Nullen in den beiden Matrizen jeweils an diesen Stellen nur die andere etwas beitragen kann/muss, also ist die einzige Möglichkeit M 1 = 3M 2 2M t [1 Punkt] Bestimmen sie die Koordinaten [x] B des Vektors x = [ 3; 3] in der durch die Spalten der Matrix gegebenen Basis von V = R 2. ( ) 1 2 B = 3 3

5 Antwort [5, 4], ein einfaches 2 2 Gleichungssystem. 3..[1 Punkt] Man beweise, dass das Bild einer linear abhängigen Menge unter einer linearen Abbildung T : V W wieder linear abhängig ist. Das war einfach die Wiederholung eines Beispiels aus dem ersten Termin! 4..[3 Punkte] Man zeige, dass die Abbildung p(t) p(2t 1) eine lineare und Abbildung auf dem (reellen) Vektorraum P 2 (R) der quadratischen Polynomfunktionen ist, und stelle die Matrix für diese lineare Abbildung auf. Zusatzpunkt: Welche Beschreibung der inversen Abbildung würden Sie vorschlagen? KOMMENTAR: Zuerst einmal ist zu überlegen, was die Abbildung macht. Sie bildet jede Polynomfunktion p(t) P 2 (R) auf die Polynomfunktion T (p(t)) := q(t) P 2 (R) ab, mit q(t) = p(2t 1) (Substitution). Ist die Abbildung linear? Dazu hat man die Addition in P 2 (R) in Betracht zu ziehen. Hat man Polynomfunktionen p 1 (t), p 2 (t) und das Summenpolynom p(t) := p 1 (t)+p 2 (t), und sind q 1 (t), q 2 (t), q(t) die zugeordneten Polynomfunktionen (durch ebendiese Substitution), so gilt q 1 (t) + q 2 (t) = p 1 (2t 1) + p 2 (2t 1) = p(2t 1) = q(t), und genauso (als Beispiel λ = 3 gewählt) ist 3q(t) = 3p(2t 1) gerade der Wert der Polynomfunktion 3 p(t) am Argument (2t 1)! Um die Matrix zu dieser linearen Abbildung zu bekommen (daraus auch die Invertierbarkeit etc. zu bestimmen) muss man [nur] eine Basis wählen und in die Matrix spaltenweise die Bilder der Basis-Vektoren schreiben. Ich habe nicht die komplizierte Terminologie verlangt, d.h. die Schreibweise [T ] M 2 M 2, wobei M 2 = {t 2, t 1, t 0 } die übliche Monomial-Basis ist. Die Bilder der Basis-Vektoren sind die Polynomfunktionen (2t 1) 2 = 4t 2 4t + 1, also ist die erste Spalte der Matrix [4; 4; 1], sowie (2t 1) (als Bild des Polynoms p(t) = t unter der Substitution), also ist die 2-te Spalte [0; 2; 1], sowie einfach [0; 0, 1] für T (1) (das Bild der konstanten Funktion 1 unter der Substitution ist natuerlich q(t) = p(2t 1) 1), also ist die Matrix eine untere Dreiecksmatrix mit nicht-verschwindenden Diagonal-Elementen, also invertierbar! Natürlich ist die inverse Abbildung durch die inverse Substitution gegeben. Also wenn y = 2t 1 ist, dann ist t = (y 1)/2. Für die Abbildung q(y) q((y 1)/2) gibt es also dann genauso eine Matrix, welche die inverse zur oben aufgestellten Matrix sein muss! 5..[3 Punkte] Wie lautet die Gleichung der Ebene durch die Punkte P = [1, 2, 3], Q = [2, 1, 0] und R = [0, 2, 0] in Parameterform bzw. in Normaldarstellung. Wie berechnet man die Abstand dieser Ebene vom Punkt S = [1, 1, 1]. Stoff der 6.Kl. AHS. Punkt plus zwei Vektoren (> Parameter- Darstellung). Normalgleichung: Normale zur Ebene ist das Kreuzprodukt z.b. zu PQ und PR, das

6 ist der Vektor [9; 6; 3] = 3 [3, 2, 1]. Einsetzen eines Punktes (z.b. R, ist der geringste Rechenaufwand!!) ergibt 3x + 2y z = 4. Abstand ist gleichzeitig auch die Projektion von PS auf den normierten Normalvektor bzw. könnte man sogar einfach einsetzen, um festzustellen, dass S in der Ebene liegt: == 4.