Kürschaksche 2n-Ecke (II)

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Christa Vogel
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1 Kürschksche n-ecke II Kürschksche n-ecke II Fortsetzung des Beweises der Linderholmschen Vermutung: n = 4 Betrchtet mn ds Kürschksche Achteck A A... A 8 mit den Seiten A k A k = und A k A k+ = mit k 4 und A 9 = A, ei dem gelte, sowie ds durch die Verlängerung von dessen Seiten entstndene Qudrt P P P 3 P 4 P P enthlte die Seite A A, so soll o. B. d. A. die Ungleichung P k A k P k A k A 0 = A 8 gelten. Es existiert eine Gerde durch A 7, die die Strhlen P P 3 und P P in T zw. T schneidet, woei der Punkt A 7 Mittelunkt der Strecke T T ist. Der Punkt S sei mit dem Punkt P identisch. Für den Fll, dß ds Kürschksche Achteck vollständig in dem Dreieck ST T enthlten ist, so ist dieses ein gesuchtes Linderholmsches Dreieck. Ist dies nicht der Fll, so etrchtet mn die Gerde durch A 7 A 6 und deren Schnittunkte T und T mit den Strhlen P P 3 zw. P P. Ds Dreieck ST T ist ein Linderholmsches Dreieck. Für n = 5 is n = 7 hen wir isher keine Lösung llgemein rechnerisch estätigen können. Üer vom Leser gefundene Lösungen würden wir uns freuen. n = 8 Durch Verlängerung der Seite des Kürschkschen 6-Ecks ergit sich ds reguläre Achteck P P... P 8. Konstruiert mn drei Gerden, die jeweils die Strecken P P, P 4 P 5 und P 6 P 7 enthlten, so ist ds resultierende Dreieck ein Linderholmsches Dreieck des Kürschkschen 6-Ecks. n = 9 Verlängert mn die Seite des Kürschkschen 8-Ecks, so ergit sich ds reguläre Neuneck P P... P 9. Zunächst konstruiere mn eine Gerde durch P P. Anschließend konstruiert mn eine Gerde durch den Punkt P 7, die mit der Gerde durch P P einen Winkel von 45 einschließt und nicht im Inneren des regulären Neunecks verläuft. Anlog konstruiert mn eine Gerde durch P 5. Ds resultierende Dreieck ist ein gesuchtes Linderholmsches Dreieck des Kürschkschen 8-Ecks. n 0 Bei diesen Fällen etrchten wir den Umkreis des Kürschkschen n-ecks Umkreis: kleinster Kreis, der Kürschksches n-eck vollständig enthält, erührt im llgemeinen nur jeden zweiten Eckunkt. Ein gesuchtes Linderholmsches Dreieck ist jenes, welches rechtwinklig, gleichschenklig ist und den Umkreis des Kürschkschen n-ecks ls Inkreis esitzt.

2 Kürschksche n-ecke II 6 Zusmmenhng zwischen konkven und konvexen Kürschkschen n-ecken Nch Stz ilden die Mittelunkte der Seiten eines Kürschkschen n- Ecks wieder ein Kürschksches n-eck. Ausgehend von diesem Stz hen wir konkve Kürschksche n-ecke A A... A n drufhin untersucht, o ds durch ds Verinden der Seitenmittelunkte entstehende Kürschksche n-eck konvex oder eenflls konkv ist und welche Bedingungen entsrechend dfür gelten. Q3 = A Q = A 4 6 B5 γ h ψ τ P = A 3 B Q = A B Bild 7: B ist konvex P = A Gegeen sei ds konkve Kürschksche n-eck A mit den Eckunkten A, A,..., A n und dem sitzen Winkel ei A i i n. h sei die Länge des Lotes von A i uf die Strecke A i A i+, und φ sei der Winkel A i A i+ A i s. Bild 7. Die Seitenmittelunkte B, B,..., B n werden miteinnder verunden, B B... B n ist dnn nch Stz ein Kürschksches n-eck B mit den Innenwinkeln γ und. γ sei dei o. B. d. A. der Winkel, der kleiner ls 80 ist. Die Frge lutet nun folgendermßen: Unter welcher Bedingung ist ds Kürschksche n-eck B B... B n eenflls konkv zw. wnn wird es konvex? Q 3 = A 6 Q = A 4 Q = A B 5 γ h ψ P = A 3 B P = A B Bild 8: B ist zum regulären n-eck entrtet

3 Kürschksche n-ecke II 3 Q 3 = A 6 Q = A 4 B 5 γ ψ P = A 3 h B P = A Q = A B Bild 9: B ist konkv Mit Hilfe von Strhlenstz und Kongruenzsätzen sowie einigen Umformungen kommen wir uf folgende Beziehung zwischen φ, h und : h < cot φ cot ɛ = B ist konvex Bild 7, B ist zu einem regulären h = cot φ cot ɛ = n-eck entrtet Bild 8, h > cot φ cot ɛ = B ist konkv Bild 9. 7 Kürschksche n-ecke in Kunst und Alltg Kürschksche n-ecke sind nicht nur mthemtische Figuren, sondern mn findet sie uch im relen Leen. Vor llem in Kunst und Gestltung, er uch nderweitig wurden und werden sie verwendet. Mn findet üerwiegend konkve sternförmige Kürschksche n-ecke, die zudem oft uch gleichseitig vorliegen. Wir wollen hier einige Beisiele vorstellen, ohne jedoch uf die häufig vorkommenden Kürschkschen Vierecke, d.h. Prllelogrmme, Rechtecke, Rhomen oder Qudrte einzugehen. 7. Sterne Wird ein geometrischer Stern gezeichnet s. Bild 0, so ht er meist die Form eines Kürschkschen n-ecks. Die Regelmäßigkeit in Winkeln und Seiten ietet sich dfür n und sieht dzu noch hrmonisch und usgeglichen us. Besondere Beisiele sind der Dvidstern und ds Pentgrmm. Bild 0 7. Wndgestltungen In einigen Wndgestltungen wurden Kürschksche n-ecke verwendet, wie z. B. im Titelild dieser -Ausge Wndgestltung der frühen

4 4 Kürschksche n-ecke II Renissnce entnommen us [6, S. 4, Tfel III]. Bei dieser wurden zwei verschiedene, ein konvexes für n = 3 und ein konkves für n = 6 eide gleichseitig, so zueinnder gelegt, dß sich ein regelmäßiges Muster ergit. Verschiet mn sie zueinnder, is ihre Seiten ufeinnder zu liegen kommen s. Bild, so erkennt mn, dß sich die Eene mit diesen zwei Kürschkschen n-ecken schlicht und lückenlos usflstern läßt. Es stellt sich nun die Frge nch einer llgemeinen Aussge zu Flächendeckungen mit Kürschkschen n-ecken. Bild : Kürschksche n-ecke der Wndgestltung Eenenusflsterung mit kongruenten konvexen Kürschkschen n-ecken Nch [5, Seite 65] gilt: Aus konvexen Vielecken von mehr ls sechs Seiten läßt sich kein Prkett herstellen. Der Begriff Prkett edeutet in diesem Zusmmenhng eine schlichte und lückenlose Üerdeckung der Eene mit kongruenten Bereichen. Es leien dmit nur noch die Fälle n = und n = 3 zu untersuchen. Für den Fll n = ergit sich ds Kürschksche Viereck zw. ds Prllelogrmm; mit diesem läßt sich die Eene immer schlicht und lückenlos usflstern. Der Beweis ist schon eknnt. Am Fll n = 3, dem Kürschkschen Sechseck, ist interessnt, dß sich die Eene mit kongruenten regulären Sechsecken usfüllen läßt, diese er Sezilfälle Kürschkscher Sechsecke sind. Für llgemeine Kürschksche Sechsecke existiert eine schlichte und lückenlose Eenenusflsterung jedoch nicht. Eenenusflsterung mit verschiedenen Kürschkschen n-ecken Mit kongruenten Kürschkschen n-ecken n 3 ist die Ausflsterung nicht möglich, wohl er unter Umständen mit Hilfe zweier oder mehrerer verschiedener Kürschkscher n-ecke wie im vorliegenden Beisiel. 7.3 Kreissägeltt Ds Sägeltt einer Kreissäge s. Bild ist noch ein weiteres konkves Kürschksches n-eck. In diesem esonderen Fll hndelt es sich weder um ein gleichseitiges noch um ein gleichwinkliges, wie es in den meisten nderen etrchteten Beisielen der Fll wr. Bild : Kreissägeltt Kürschksches 3-Eck

5 Kürschksche n-ecke II 5 8 Schlußetrchtungen Aschließend möchten wir emerken, dß wir in unserer Projektreit noch weitere Eigenschften Kürschkscher n-ecke untersucht hen, die hier nicht ufgezeigt werden konnten. Drüer hinus git es noch viele Themen, die eine weitere Untersuchung lohnen, so z. B. die Prolemtik der Linderholmschen Vermutung. Außerdem läßt sich möglicherweise, wie der Leser vielleicht schon vermutet ht, die Konstruktion in 4.., mit der mn sezielle gleichwinklige Kürschksche n-ecke erhält, uf eine llgemeine Konstruktion für Kürschksche n-ecke erweitern. Wir möchten uns n dieser Stelle gnz herzlich ei unserem Projektetreuer Herrn Werner Mögling ednken, der uns mit vielen Rtschlägen und Hinweisen zur Seite stnd. Zu Dnk sind wir uch unserem zweiten Projektetreuer, Herrn H. J. Brenner, verflichtet. Literturverzeichnis [] Werner Mögling: Üer Kürschksche Zwölfecke. Wissenschftliche Zeitschrift der Pädgogischen Hochschule Dr. Theodor Neuuer Erfurt/Mühlhusen, Mthemtisch-Nturwissenschftliche Reihe,. Jhrgng, Heft, Erfurt 985, S [] A. Florin: On the re sum of convex olygone nd its olr recirocl. Mthemtic Pnnonic 6/ 995, Slzurg 995, S [3] Intuitive Geometry. Colloqui Mthemtic Societtis János Bolyi, 48, Budest 987, S [4] Werner Mögling: Üer ein Prolem von Linderholm: Konvexen Vierecken umeschrieene rechtwinklige Dreiecke. Wissenschftliche Zeitschrift der Pädgogischen Hochschule Erfurt/Mühlhusen, Mthemtisch-Nturwissenschftliche Reihe 7 99, Erfurt 99, S [5] István Reimn: Prkette, geometrisch etrchtet. Mthemtisches Mosik, Urni Verlg Leizig-Jen-Berlin,. Auflge Leizig 977, S [6] L. Fejes Tóth: Reguläre Figuren. Verlg der Ungrischen Akdemie der Wissenschften Budest 965, S. 4, Tfel III Stehn Trenn, Bllstädt Christin Reel, Weimr

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