Die Mathematikerinnen Sonja Kowalewskaja und Amalie Emmy Noether und ihre Beiträge zur Physik

Transkript

1 Die Mathematikerinnen Sonja Kowalewskaja und Amalie Emmy Noether und ihre Beiträge zur Physik Köln, den Ute Löw

2 1. Sonja Kowalewskaja 2. Der starre Körper 3.Die Bewegung von Körpern 4.Chaotische Bewegungen 5. Symmetrien in der Physik Emmy Noether 6. Zusammenfassung

3 Sonja Kowalewskaja geb in Moskau. Kindheit und Jugend in der Nähe Von Petersburg. Jugenderinnerungen In Russland keine Möglichkeit zum Universitätsstudium. Studierte 1869/70 Mathematik in Heidelberg. Ab Herbst 1870 in Berlin bei Karl Weierstraß.

4 Promovierte 1874 als Externe in Göttingen Themen: Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen Cauchy-Kowalewskaja Theorem Über die Reduction einer bestimmten Klasse abelscher Integrale 3ten Ranges Auf elliptische Integrale Zusätze und Bemerkungen zu Laplace s Untersuchungen über die Gestalt des Saturnringes

5 1884 Professorin der höheren Analysis, zuerst auf fünf Jahre, ab 1889 auf Lebenszeit ( weltweit erste Mathematikerin im Professorenrang). Ab 1885 Lehrstuhl für Mechanik. Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln Verleihung des Prix Bordin in Frankreich für Ihre Arbeit über die Rotation eines starren Körpers um einen festen Punkt Tod durch Lungenentzündung.

6 2. Der starre Körper Jeder starre Körper ist ein Kreisel Typen von Kreiseln (Euler, Langrange, Kowalewskaja) Exakt lösbar (integrierbar)

7 Rotation eines starren Körpers um einen festen Punkt In der Physik verstehen wir unter einem Kreisel einen starren Körper, der sich um einen festen Punkt dreht. Starrer Körper ist nicht verformbar. (d.h. der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten eines starren Körpers ändert sich nicht, auch wenn sich der Körper bewegt.) Satz von Chasle: Die allgemeinste Bewegung eines starren Körpers setzt sich zusammen aus einer Verschiebung (Translation) des Körpers und einer Drehung.

8 Typen von Kreiseln: Exakt lösbar ( integrierbar) sind nur drei Typen von Kreiseln. Lagrange Kreisel Euler Kreisel Kowalewskaja Kreisel S. Kowalewskaja hat nicht nur einen neuen exakt lösbaren (integrierbaren) Kreisel gefunden. Sie hat auch gezeigt, dass es keine weiteren exakt lösbaren Kreiseltypen gibt. Starre Körper sind nicht nur durch ihre Masse, sondern zusätzlich durch die sog. Trägheitsmomente charakterisiert.

9 Verschiedene Typen von Kreiseln ( Körper ohne Symmetrieachse)

10 Der Kowalewskaja Kreisel:

11 3. Die Bewegung von Körpern Freier Fall zur Erinnerung Bewegung von Kreiseln (Präzession, Nutation). Integrable Systeme zeigen deterministische Bewegung ( aus der Bewegungsgleichung und den Anfangsbedingung folgt der Ort des Körpers (der Köper) zu jedem beliebigen späteren Zeitpunkt.)

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13 Zusammenfassend: Aus Kraftgesetz (Newton sches Gesetz) und Anfangsbedingungen (t=0). folgen Koordinaten des Massepunktes zu jedem späteren Zeitpunkt (t>0). INTEGRABLES SYSTEM

14 Die allgemeine Bewegung eines Kreisels ist eine Überlagerung folgender Bewegungen: 1.) Rotation um die eigenen Achse 2.) Präzession 3.) Nutation Beispiel: Erde 1.) Rotation um die Erdache (Tag und Nacht) 2.) Präzession: Kreisbewegung der Rotationsachse der Erde um den geographischen Nordpol ( Erde als kräftefreier Kreisel ) Radius : ca. 5 Meter Periode: 10 Monate ( proportional zur Differenz der Hauptträgheitsmomente, Abplattung der Erdkugel )

15 Chandlersche Periode: Modifikation des Zahlenwertes durch elastische Effekte (Die Erde ist also doch kein Starrer Körper). Nutation und PräzessionsBewegung am Kreisel (Langrangekreisel: eine Symmetrieachse, Drehpunkt auf der Symmetrieachse). Arnold, Mathem. Methods of Classical Mechanics

16 4. Chaotischen Bewegung Der Jupitermond Hyperion Andere Beispiele für chaotische Bewegungen Der Schmetterlingseffekt

17 Beispiel für ein nicht integrables System Saturn-Mond Hyperion: Keiner der drei betrachten integrablen Kreiselprobleme (keine Symmetrieachse). Vollführt eine chaotische Rotationsbewegung auf seiner Bahn um denn Saturn. Nicht integrable Systeme zeigen chaotische Bewegung. Sensible Abhängigkeit von den AnfangsBewegungen (Ruelle) Größe: 205 km x 130 km x 110 km Besteht aus Eis mit felsigen Verunreinigungen. man spricht auch vom Schmetterlingseffekt: Der Schmetterling in Japan bewegt die Flügel und löst damit einen Hurrikan in Florida aus.

18 Beispiele für chaotisches Verhalten: Nicht symmetrische Kreisel, (Drehpunkt nicht im Schwerpunkt) Dreikörperproblem ( z.b. Sonne und zwei Planeten ) Konvexes Billard Beispiele für nicht chaotisches Verhalten: Federschwingung (Harmonischer Oszillator) Bewegung zweier Kugeln mit gering unterschiedlichen Anfangsbedingungen laufen exponentiell auseinander. Zweikörperproblem ( z.b. Sonne und Erde Bewegung nur für kurze Zeit vorhersagbar. Verhalten für lange Zeiten chaotisch. Bewegung des Euler-, Langrangeund Kowalewskaja-Kreisels (Vorstellung von exponentiellen Wachstum: Reiskörner auf Schachbrett)

19 5. Symmetrien in der Physik Das Noethersche Theorem Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen Integrabel: Anzahl der Erhaltungssätze

20 Emmy Amalie Noether geb in Erlangen Ab 1904 Studium der Mathematik in Erlangen bei ihrem Vater Max Noether und bei Paul Gordan Promotion summa cum laude Lehre und Forschung in Erlangen (unentgeltlich) 14 nach Göttlingen ihr erster Antrag sich zu habilitieren wird abgelehnt E.Noether habilitiert sich als erste Frau in Göttingen.

21 1 Invarianten beliebiger Differentialausdrücke 1922 Nichtbeamtete außerordentliche Professorin (ohne Besoldung) Lehrauftrag in Göttingen. 1928/29 Visiting Professor in Moskau Entzug der Lehrerlaubnis. Emmy Noether 1934 Emigration in die USA Tod nach einer Operation.

22 Das Noether sche Theorem Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie gehört eine Erhaltungsgröße: Beispiel: z-achse Zylinder hat Drehsymmetrie um die z-achse => die z-komponente des Drehimpulses ist erhalten.

23 Symmetrie Erhaltungsgröße Translationsymmetie in der Zeit Energie Translationsymmetrie im Raum Impuls Drehsymmetrie im Raum Drehimpuls Weitere Erhaltungssätze: Ladungserhaltung, Isospinerhaltung, Erhaltung der Hyperladung in der schwachen Wechselwirkung

24 6. Zusammenfassung Lösen von Bewegungsgleichungen Antwort auf die Frage: Wo befindet ein Körper zu einem gegebenen Zeitpunkt Eigenschaften eines Systems bestimmt durch Erhaltungssätze. Integrable Probleme und nicht integrable Probleme

25 Nichtintegrable Systeme: Chaotisches Verhalten Sensible Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen Langzeitverhalten ist nicht vorhersagbar Die meisten Probleme in der Physik gehören zu diesem Typ Den wenigen exakt lösbaren Systemen kommt besondere Bedeutung zu

26 Sonja Kowalewskaja: Lösen des Kreiselproblems durch Auffinden einer neuen Erhaltungssatzes zu dem eine versteckte Symmetrie gehört. Emmy Noether: Zusammenhang zwischen Symmetrie und Erhaltungsgröße