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1 1 Reibungskraft I Ein 25kg schwerer Block ist zunächst auf einer horizontalen Fläche in Ruhe. Es ist eine horizontale Kraft von 75 N nötig um den Block in Bewegung zu setzten, danach ist eine horizontale Kraft von 60 N nötig um den Block auf konstanter Geschwindigkeit zu halten. Es ist schwerer etwas in Bewegung zu bringen, als es in Bewegung zu halten. Reibung allgemein ist eine Kraft, die es zwei Objekten erschwert sich gegenseitig zu verschieben. Haftreibung ist die Reibung, die zwischen einem ruhendem Objekt der Oberfläche, auf dem es sich befindet wirkt. Sobald sich dieses Objekt bewegt wirkt die Gleitreibung. Das ist die Kraft zwischen zwei Objekten, die sich relativ zueinander bewegen. Da Gleitreibung nicht so stark wie Haftreibung ist, ist es leichter ein sich bewegendes Objekt in Bewegung zu halten. Mit dieser Überlegung im Kopf definiert man die Haft Gleitreibung als F s = µ s N F k = µ k N. dabei ist N die Normalkraft (d.h. N = mg). Die einzigen Kräfte, die auf den Block wirken ist die die externe Kraft von 75 N die Haftreibung. Da das Objekt in ruhe ist, ist die Beschleunigung null (die zwei Kräfte heben sich auf). Somit ist die maximale Haftreibung F H = 75 N. Wenn der Block in Bewegung ist, ist es ähnlich. Da er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt heben sich die externe Kraft die Gleitreibungskraft genau auf (d.h. F k = 60 N). Setzt man dies in die oberen Formeln ein erhält man µ s = µ k = Reibungskraft II Ein Objekt der Masse m 1 befindet sich auf einer rauen horizontalen Fläche. Es ist mit einem masselosen Seil über eine masselose Umlenkrolle mit einem weiteren Objekt der Masse m 2 verben, wie in Abbildung 1 zu sehen ist. Eine Kraft mit Betrag F einem Winkel θ zur horizontalen wird auf den Block der Masse m 1 ausgeübt. Aufgr dieser Kraft bewegt sich das Objekt nach rechts. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Objekt Fläche ist µ k. (a) Die Kräfte, die auf die einzelnen Blöcke wirken sind in Abbildung 1 dargestellt. Die angewandte Kraft F hat x- y- Komponenten (F cos θ F sin θ entsprechend). Da die beiden Objekte mit eine Seil verben sind, ist die x- Komponente der Beschleunigung des Blocks die y- Komponente der Beschleunigung des Balls gleich (sagen wir a). Nehmen sie an der Block der Masse m 1 bewegt sich nach rechts wenden Sie Newtons II Axiom an 1 / 8

2 Fx = F cos θ F k T = m 1 a Fy = N + F sin θ m 1 g = 0. Ähnlich wird bei dem Ball mit Masse m 2 verfahren: Fy = T m 2 g = m 2 a. Aus der zweiten Gleichung kann man sehen, dass N = m 1 g F sin θ. benutzt man nun die Gleichung für Gleitreibung F k = µ k N, kann man schreiben F k = µ k (m 1 g F sin θ). Durch einsetzen dieses Ausdrucks lösen des Gleichungssystem (bestehend aus der x- Komponente des Block der Masse m 1 der y- Komponente des Masse m 2 ) erhält man a = F (cos θ + µ k sin θ) (m 2 + µ k m 1 )g m 1 + m 2. (b) Die Richtung der Beschleunigung des Blocks mit Masse m 1 hängt vom Vorzeichen des Zählers in der Gleichung für a ab. Wenn F (cos θ + µ k sin θ) > (m 2 + µ k m 1 )g ist die Beschleunigung des Blocks nach rechts. Gilt das Umgekehrte ist die Beschleunigung nach links. Abbildung 1: Externe Kräfte wirken auf ein Objekt auf einer rauen Oberfläche, welches mit einem anderen Objekt mit einer Schnur über eine reibungsfreie Umlenkrolle verben ist. 2 / 8

3 3 Bewegung entlang eines horizontalen Kreises (a) Ein Ball der Masse m hängt an einem Seil der Länge L rotiert mit einer konstanten Geschwindigkeit v auf einem horizontalen Kreis mit Radius r, wie in Abbildung 2 (a) gezeigt ist. Das Seil bildet zur vertikalen den Winkel θ. Alle Kräfte, die auf den Ball wirken sind in der Abbildung gezeigt. Die Kraft T, welche durch das Seil ausgeübt wird, wird in eine vertikale horizontale Komponente zerlegt (T cos θ T sin θ entsprechend). Man nutzt den Fakt, dass es keine Beschleunigung entlang der y- Richtung gibt Newtons II Axiom erhält Fy = T cos θ mg = 0 Fx = T sin θ = ma z. Benutzt man die Gleichung für die Zentripetalbeschleunigung (a z = v 2 /r) löst obere Gleichungen erhält man tan θ = v2 rg. somit v = rg tan θ. Es ist möglich den Radius r in Abhängigkeit von L θ als r = L sin θ zu schreiben. Damit nimmt v folgende Form an v = Lg sin θ tan θ. Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse des Balls ist. (b) Betrachten Sie einen Ball der Masse 0.2kg, der an ein Seil der Länge r= 1 m geben ist. Der Ball wird in einem horizontalen Kreis herumgewirbelt (vgl. Abbildung 2 (b)). Da der Ball sich auf einer Kreisbahn bewegt, ist es möglich die Bewegung mit einem Teilchen in gleichmäßiger Kreisbewegung zu beschrieben. Benutzt man die Gleichung für die Zentripetalbeschleunigung Newtons II Axiom findet man oder T = mv2 r v = T r m. Aus obere Gleichung wird deutlich, dass die maximale Geschwindigkeit mit der maximalen Zugkraft des Seils zusammenhängt. Somit v max = Tmax r m. 3 / 8

4 Einsetzen der Werte ergibt v max 15.8 m/ s. Was ist der Einfluss einer Erhöhung des Radius bei konstantem v? Der größere Radius bedeutet, dass die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit in einem gegebenen Zeitintervall kleiner wird. Somit ist die Beschleunigung kleiner die Zugkraft im Seil ist kleiner. Es ist also unwahrscheinlicher, dass das Seil reißt. Abbildung 2: (a) Ein konisches Pendel. Der Weg des Balls ist entlang eines horizontalen Kreises. (b) Draufsicht eines Ball, des sich entlang eines Kreises in der horizontalen Ebene bewegt. 4 Bewegung entlang eines vertikalen Kreises (a) Ein Pilot der Masse m= 50kg fliegt immer wieder einen Looping, sodass es sich auf einem vertikalen Kreis mit Radius 2km mit einer konstanten Geschwindigkeit von 200 m/ s bewegt (vgl. Abbildung 3 (a)). Es sind wieder alle Kräfte in der Abbildung dargestellt. Unten im Looping wirkt die Gravitationskraft nach unten F g = m g die Kraft, die der Sitz auf den Piloten ausübt nach oben N u. Die netto Kraft nach oben kommt durch die Zentripetalkraft. Nun wendet man wieder Newtons II Axiom an F = Nu mg = mv2 r, Die Kraft, die der Sitz auf den Piloten ausübt ist also N u = mg + mv2 r ) = mg (1 + v2. rg Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt N u = 1500 N. Oben im Looping wirkt die Gravitationskraft die Kraft, die der Sitz ausübt N b nach unten. Wieder wendet man die Gleichung für die Zentripetalbeschleunigung Newtons II Axiom an erhält F = Nb + mg = mv2 r 4 / 8

5 oder ( ) v 2 N b = mg rg 1. Einsetzen ergibt N b 500 N. (b) Ein Ball der Masse m ist an einem Seil der Länge R befestigt bewegt sich auf einer vertikalen Kreisbahn um den Punkt O, wie in Abbildung 3 (b) zu sehen ist. Die wirkenden Kräfte sind wieder in der Abbildung zu sehen. Die einzigen Kräfte sind die Gravitationskraft F g = m g nach unten durch die Erde die Kraft nach oben T durch das Seil. Anwenden Newtons II Axioms für die tangentiale radiale Komponente: Ft = mg sin θ = ma t, ergibt a t = g sin θ. führt zu Fr = T mg cos θ = m v2 R ( ) v 2 T = mg Rg + cos θ. Beachten Sie, das unten im Looping (θ = 0 ) T die dem T aus Teilaufgabe (a) entspricht. 5 / 8

6 Abbildung 3: (a) Ein Flugzeug bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer vertikalen Kreisbahn. (b) Ein Ball ist an einem Seil der Länge R befestigt rotiert auf einem vertikalen Kreis, der um O zentriert ist. 5 Steilkurve In einer normalen (nicht Steilkurve) Kurve wird die Zentripetalbeschleunigung durch die Haftreibung zwischen Auto Straße bewirkt. Wenn die Kurve um einen Winkel θ geneigt ist, hat die Normalkraft N eine horizontale Komponente in Richtung der Innenseite der Kurve. Da die Straße so designed ist, dass die Haftreibung gleich null ist, bewirkt nur die Komponente N x = N cos θ eine Zentripetalbeschleunigung. Newtons II Axiom ergibt Fx = N sin θ = mv2 r Fy = N cos θ mg = 0. Auflösen nach θ ergibt tan θ = v2 rg. Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt θ / 8

7 Abbildung 4: Ein Auto in einer Steilkurve. 6 Bewegung in beschleunigten Bezugssystemen (a) Ein Ball der Masse m hängt an einem Faden von der Decke eines Zuges, der nach nach rechts beschleunigt (Abbildung 5). Für den Beobachter außerhalb des Zugs, kann der Ball als Teilchen unter einer netto Kraft in der horizontalen einem Teilchen im Gleichgewichtszustand in der horizontalen betrachtet werden. Für den Beobachter im Zug, erscheint der Ball im Gleichgewichtszustand somit ist eine der Kräfte eine Scheinkraft. Beobachter außerhalb der Zuges: Die Kräfte auf den Ball ist die Zugkraft T vom Seil die Gravitationskraft F g von der Erde. Dieser Beobachter kann auch sehen, dass die die Beschleunigung des Balls die gleiche wie die des Zuges ist. Diese Beschleunigung ist durch die horizontale Komponente von T gegeben. Newtons II Axiom: Fx = T sin θ = ma Fy = T cos θ mg = 0. Beobachter im Zug: Auch dieser Beobachter sieht, dass der Faden einen Winkel zur Vertikalen einschließt. Aber für ihn ist der Ball in Ruhe (also keine Beschleunigung). Also führt er eine Scheinkraft ein, die die horizontale Komponente von T erklärt. Newtons II Axiom: Fx = T sin θ F fict = 0 Fy = T cos θ mg = 0. 7 / 8

8 Lösen der Gleichungen ( Vergleichen mit denen des anderen Beobachters) ergibt F fict = ma, wobei a die Beschleunigung des Zuges laut dem außenstehenden Beobachters ist. Beachten sie, dass die physikalische Interpretation der Auslenkung des Balls in den zwei Bezugssystem verschieden ist. (b) Benutzt man die Gleichungen, die für den außenstehenden Beobachter hergeleitet wurden, sieht man, dass a = g tan θ. Die Beschleunigung kann also nur durch messen des Auslenkwinkels bestimmt werden. Das bedeutet auch, dass ein einfaches Pendel zum messen von Beschleunigung verwendet werden kann. Abbildung 5: Ein kleiner an der Decke aufgehängter Ball in einem beschleunigendem Zug (vom ruhenden Bezugssystem aus betrachtet). 8 / 8