Ertrag Kartoffeln (dt/ha) Einsatz Stickstoff

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1 An der Erzeugung von Speisekartoffeln (Y) seien zwei variable Produktionsfaktoren (Düngemittel) Stickstoff (N) und Phosphor (P) beteiligt. Die Beziehung zwischen Faktoreinsatz (N und P) und der Produktmenge (Y) sind a) aus folgender Tabelle ersichtlich: Ertrag Kartoffeln (dt/ha) Einsatz Stickstoff Einsatz Phosphor (P) (dt/ha) (N) (dt/ha) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 0,0 157,9 165,0 171,2 176,5 181,0 184,6 187,4 189,3 190,4 190,6 189,9 188,4 186,0 0,1 183,2 190,3 196,6 202,1 206,7 210,4 213,3 215,3 216,5 216,8 216,2 214,8 212,5 0,2 206,5 213,8 220,2 225,8 230,5 234,3 237,3 239,4 240,6 241,0 240,6 239,3 237,1 0,3 228,0 235,4 241,9 247,5 252,3 256,2 259,3 261,5 262,9 263,4 263,0 261,8 259,8 0,4 247,5 255,0 261,6 267,3 272,2 276,3 279,5 281,8 283,2 283,8 283,6 282,5 280,5 0,5 265,1 272,7 279,4 285,3 290,3 294,4 297,7 300,1 301,7 302,4 302,2 301,2 299,3 0,6 280,8 288,5 295,3 301,3 306,4 310,6 314,0 316,5 318,2 319,0 318,9 318,0 316,3 0,7 294,6 302,4 309,3 315,3 320,5 324,9 328,4 331,0 332,8 333,7 333,7 332,9 331,3 0,8 306,4 314,3 321,3 327,5 332,8 337,2 340,8 343,6 345,4 346,4 346,6 345,9 344,3 0,9 316,4 324,4 331,5 337,7 343,1 347,7 351,4 354,2 356,2 357,3 357,6 357,0 355,5 1,0 324,4 332,5 339,7 346,1 351,6 356,2 360,0 362,9 365,0 366,2 366,6 366,1 364,7 1,1 330,5 338,7 346,0 352,5 358,1 362,8 366,7 369,8 371,9 373,3 373,7 373,3 372,1 1,2 334,7 343,0 350,4 357,0 362,7 367,5 371,5 374,7 376,9 378,4 378,9 378,6 377,5 1,3 336,9 345,3 352,9 359,5 365,3 370,3 374,4 377,6 380,0 381,5 382,2 382,0 381,0 1,4 337,3 345,8 353,4 360,2 366,1 371,2 375,4 378,7 381,2 382,8 383,6 383,5 382,5 1,5 335,7 344,3 352,0 358,9 364,9 370,1 374,4 377,8 380,4 382,2 383,0 383,0 382,2 Übungsaufgabe 3 (Seite 1)

2 b) lassen sich durch folgende Produktionsfunktion beschreiben: Y = 157, ,4 N 95,9 N² + 74,9 P 42,9 P² + 10,2 N P Y = Ertrag Kartoffeln [dt/ha] N = Einsatzmenge Stickstoff [dt/ha] P = Einsatzmenge Phosphor [dt/ha] Folgende Preise bzw. Kosten sind gegeben: Kartoffeln: 80% des Ertrages sind Handelsware Verkaufspreis o. MwSt.: 10,00 /dt 20% des Ertrages sind Futterware Verkaufspreis o. MwSt.: 2,00 /dt Sortierkosten: 1,656 /dt Stickstoff (N): Zukaufspreis: 0,70 /kg Phosphor (P): Zukaufspreis: 0,575 /kg var. Kosten Düngerausbringung: 0,05 /kg sonstige variable Kosen: 1070 /ha Pauschalierender Betrieb: die MwSt. auf Verkaufsware beträgt 9 %. Übungsaufgabe 3 (Seite 2)

3 Fragen: 1. Wie hoch sind die Grenzkosten der Produktion im Optimum (Gewinnmaximum)? 2. Wie hoch sind die Grenzerlöse der beiden Produktionsfaktoren N und P im Optimum? 3. Wie hoch sind die Grenzerlöse der beiden Produktionsfaktoren im Umsatzmaximum? Hinweis: Beachten Sie, dass es sich um eine quadratische Produktionsfunktion handelt, bei der der Ertrag oberhalb einer bestimmten Faktoreinsatzmenge abnimmt. 4.Variables Produktionsvolumen: a) Ermitteln Sie das Gewinnmaximum unter Benutzung der angegebenen Produktionsfunktion (erklären Sie jeden Schritt). b) Ermitteln sie das Umsatzmaximum. 5.Vorgegebenes Produktionsvolumen: Der Betrieb will 370 dt Kartoffeln je ha erzeugen. Welche ökonomische Fragestellung ergibt sich, wenn die Produktionsausdehnung vorgegeben ist? Übungsaufgabe 3 (Seite 3)

4 6. Ermitteln Sie die optimale Kombination der variablen Produktionsfaktoren. Überlegen Sie zunächst, welche Bedingung im Optimum erfüllt sein muss. Danach gehen Sie in folgenden Schritten vor: a) Ermitteln Sie die Isoquante (Erklären Sie den Begriff). b) Ableiten der Grenzrate der Substitution (Erklären Sie den Begriff). Hinweis: Die Ableitung der Grenzrate der Substitution aus der Isoquante ist bei der einer quadratische Produktionsfunktion aus rechentechnischen Gründen schwierig. Sie können die Grenzrate der Substitution aber direkt aus der Produktionsfunktion ableiten. c) Formulieren Sie die Optimumsbedingung (Bedingung für die Minimalkostenkombination). d) Die unter c) formulierte Gleichung ermöglicht es lediglich, das optimale Verhältnis auszurechnen, in dem beide Faktoren bei gegebenen Preisen eingesetzt werden sollen (Expansionspfad). Sie müssen als letzten Schritt noch das optimale Einsatzniveau für das vorgegebene Ertragsniveau ermitteln. e) Unterscheidet sich bei der Minimalkostenkombination vor 370 dt/ha die Zusammensetzung des Faktoreinsatzes von der Zusammensetzung in der gewinnoptimalen Lösung bei variabler Produktionsausdehnung? f) Wie ändert sich die Minimalkostenkombination, wenn der Produktpreis (Grenzerlös) auf 15 /dt steigt? Übungsaufgabe 3 (Seite 4)

5 1. Im Gewinnmaximum sind die Grenzkosten der Produktion gleich dem Grenzerlös (Produktpreis) = 7,50 /dt. Begründung: Der Gewinn erhöht sich nur solange, wie die zusätzlichen Kosten einer weiteren Produktionseinheit niedriger sind als deren Grenzerlös (Preis). Grenzerlös (Produktpreis) Kartoffeln: Handelsware: 10,90 /dt 0,8 dt = 8,72 /dt Futterware: 2,18 /dt 0,2 dt = 0,436 /dt Sortierkosten -1,656 /dt Grenzerlös 7,50 /dt Bei einem pauschalierenden Betrieb zählt die MwSt. zum Erlös bzw. zu den Kosten. Übungsaufgabe 3 (Seite 5)

6 2. Im Gewinnmaximum sind die Grenzerlöse der beiden Produktionsfaktoren gleich den Grenzkosten des Faktoreinsatzes (GE N = 75 ; GE P = 62,50 ) Begründung: Der Gewinn erhöht sich nur solange, wie der Grenzerlös für eine weitere Faktoreinheit größer ist als die Grenzkosten des Faktoreinsatzes (Faktorpreis). Grenzkosten des Faktoreinsatzes (Stickstoff): Faktorpreis: 70 /dt Ausbringungskosten: 5 /dt Grenzkosten: 75 /dt Grenzkosten des Faktoreinsatzes (Phosphor): Faktorpreis: 57,50 /dt Ausbringungskosten: 5,00 /dt Grenzkosten 62,50 /dt 3. Im Umsatzmaximum (Umsatz=Erlös) sind bei einer quadratischen Produktionsfunktion die Grenzerlöse der Produktionsfaktoren gleich Null. Der Grenzerlös wird dann Null, wenn der Grenzertrag Null wird. Begründung: Solange der Grenzerlös der Produktionsfaktoren positiv ist, steigt der Umsatz, ist der Grenzerlös negativ, sinkt der Umsatz. Übungsaufgabe 3 (Seite 6)

7 4a) Ermittlung des Gewinnmaximum Optimumbedingung: Die optimale Intensität (das Gewinnmaximum ) ist erreicht, wenn für beide Faktoren gilt: Grenzerlös = Grenzkosten des Faktoreinsatzes dy (1) p q y N dn = bzw. (1') dy dn = q p N Y dy (2) py q dp = P bzw. (2') dy dp = q p P Y Ermittlung der Grenzertragsfunktionen: 1. Ableitung der Produktionsfunktion nach N und P: dy (3) 262,4 191,8 N 10,2 P dn = + dy (4) 74,9 85,8 P 10,2 N dp = + Gleichsetzung der Grenzertragsfunktionen mit den Preisverhältnissen entsprechend Gleichung (1') und (2'): Übungsaufgabe 3 (Seite 7)

8 75 (5) 262,4 191,8 N + 10,2 P = 7,5 62,5 (6) 74,9 85,8 P + 10,2 N = 7,5 Auflösung des Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten nach N (oder P): N opt = 1,3658 dt/ha Einsetzen von N in Gleichung (5) oder (6): P opt = 0,9382 dt/ha Ermittlung des optimalen Ertrags durch Einsetzen von N und P in die Produktionsfunktion: Y opt = 383,00 dt/ha Übungsaufgabe 3 (Seite 8)

9 4b) Ermittlung des Umsatzmaximums Maximumbedingung (siehe auch Ziffer 3.): Grenzertrag (des Faktoreinsatzes) = 0 dy (7) 0 dn = dy (8) 0 dp = Ermittlung der Grenzertragsfunktionen: Siehe Gl. (3) und (4). Einsetzen der Grenzertragsfunktionen in die Maximumsbedingung (Gl. (7) und (8)): (9) 262,4 191,8 N + 10,2 P = 0 (10) 74,9 85,8 P + 10,2 N = 0 Übungsaufgabe 3 (Seite 9)

10 Auflösung des Gleichungssystems nach N und P: N max = 1,4235 dt/ha P max = 1,0422 dt/ha Ermittlung des maximalen Ertrags durch Einsetzen von N und P in die Produktionsfunktion: Y max = 383,73 dt/ha Maximaler Umsatz (Erlös): U max = Y max p Y = 383,73 dt/ha 7,5 /dt = 2877,98 /ha 5) Ökonomische Fragestellung, wenn 370 dt/ha produziert werden sollen: Durch welche Kombination der Einsatzmengen von N und P lassen sich 370 dt/ha mit den geringsten Kosten erzeugen (Minimalkostenkombination)? Übungsaufgabe 3 (Seite 10)

11 6a) Ermittlung der Isoquante Die Isoquante ist der geometrische Ort aller technisch möglichen Faktorkombinationen zur Erzeugung einer gegebenen Produktmenge. Isoquante für 370 dt/ha: 2 2 (11) 370 = 157, ,4N 95,9N + 74,9P 42,9P + 10,2NP Die Gleichung muss nach N oder P aufgelöst werden. 6b) Ableitung der Grenzrate der Substitution Die Grenzrate der Substitution des Faktors N durch den Faktor P bezeichnet die Menge N, die durch die letzte Mengeneinheit von P noch ersetzt werden kann, ohne dass sich das Produktionsvolumen verändert. Grenzrate der Substitution = dn dp Sie ergibt sich, wenn Gleichung (11) nach N aufgelöst wurde aus der 1. Ableitung nach P. Dies ist rechentechnisch schwierig, daher: Übungsaufgabe 3 (Seite 11)

12 6c) Ableitung der Grenzrate der Substitution aus den Grenzproduktivitäten Die Veränderung der Produktmenge bei Änderung der Faktoreinsatzmenge ergibt sich aus: δy δy (12) dy = dn + dp δn δ P δy δn = Grenzproduktivität des Faktors N; entsprechend δy δp Da für die Isoquante dy = 0 ist, erhält man: δy δy (13) 0 = dn + dp δn δp bzw. (13 ') dn dp Das heißt: Die Grenzrate der Substitution ist gleich dem umgekehrten Verhältnis der Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren. δy = δp δ Y δn Übungsaufgabe 3 (Seite 12)

13 Bedingung für die Minimalkostenkombination: Die Substitution des Faktors N durch den Faktor P lohnt sich nicht mehr die Minimalkostenkombination ist erreicht wenn gilt: Die Zunahme der Kosten durch einen weiteren Einsatz des Faktors P (dp) ist gleich der Abnahme der Kosten durch die Verringerung des Faktors N (dn): (14) dn q dp q N = P bzw. (14') dn dp = q q P N Das heißt: Die Grenzrate der Substitution muß bei kostenminimalem Faktoreinsatz gleich dem umgekehrten Preisverhältnis der Produktionsfaktoren sein. Übungsaufgabe 3 (Seite 13)

14 Aus den beiden Bedingungen (Gl. (13) und Gl. (14)) folgt die Bedingung für die Minimalkostenkombination. (15) δy δ P = δy δn q q P N Das heißt: Bei kostenminimalem Faktoreinsatz verhalten sich die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren zueinander wie die Faktorpreise. Übungsaufgabe 3 (Seite 14)

15 Aus Gleichung (15) folgt: (16) 74,9 85,8P + 10,2N 62,5 = 262,4 191,8N + 10,2P 75 (16') N = 0, ,55460P (Expansionspfad Der Expansionspfad (Gleichung (16')) beschreibt alle Faktorkombinationen, die beim gegebenen Preisverhältnis und gegebenen Grenzproduktivitäten Minimalkombinationen sind. Jeder dieser Minimalkostenkombination ist jedoch ein anderes Ertragsniveau zugeordnet. (Kann durch Einsetzen der Faktorkombination in die Produktionsfunktion ermittelt werden.) Die Minimalkostenkombination für ein bestimmtes Ertragsniveau wird durch den Schnittpunkt des Expansionspfads mit der entsprechenden Isoquante ermittelt. Übungsaufgabe 3 (Seite 15)

16 6d) Wird die Gleichung (16') in die Produktionsfunktion mit Y = 370 (Isoquante) eingesetzt, ergibt sich N min = 1,1720 dt/ha P min = 0,5877 dt/ha 6e) Die gewinnmaximalen Faktoreinsatzmengen stellen zwar auch eine Minimalkostenkombination dar, jedoch liegen die Minimalkostenkombinationen für unterschiedliche Ertragsniveaus bei dieser Produktionsfunktion nicht auf einer Geraden (Expansionspfad), die durch den Ursprung geht; dies bedeutet: Das Verhältnis der beiden Produktionsfaktoren ist bei jeder Minimalkostenkombination ein anderes. 6f) Bei steigendem Produktpreis ändert sich die Minimalkostenkombination nicht. Übungsaufgabe 3 (Seite 16)

17 Übungsaufgabe 3 (Seite 17)

18 Übungsaufgabe 3 (Seite 18)

19 Übungsaufgabe 3 (Seite 19)

20 Übungsaufgabe 3 (Seite 20)

21 Übungsaufgabe 3 (Seite 21)