Übungsblatt 04 Grundkurs IIIa für Physiker, Wirtschaftsphysiker und Physik Lehramt

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1 Übungsblatt 4 Grundkurs IIIa für Physiker, Wirtschaftsphysiker und Physik Lehramt Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de) 17., 23. und Aufgaben Das Fermatsche Prinzip 1, Polarisation 2, Fresnelsche Formeln 3, PDF-Datei 4 1. Am Ursprung des kartesischen Koordinatensystems sei ein punktförmiges Streuzentrum. Dieses wird mit Licht ( k = (k; ; ) und E = (; E; )) beleuchtet. Nehmen Sie an, dass die im Teilchen in die Richtung (φ; θ) (π sei der positiv gezählte Winkel zwischen der x-achse und der Projektion des Streuvektors k s der gestreuten Welle auf die xy-ebene. θ sei der Winkel zwischen dem k s der gestreuten Welle und der xy-ebene. (a) Berechnen Sie allgemein die Projektion eines Einheitsvektors u auf die Ebene senkrecht zu v. (b) Berechnen Sie die Projektion von E auf die Ebene senkrecht zu k s als Funktion von φ und θ. (c) Berechnen Sie die Amplitudenverteilung als Funktion von φ und θ. (d) Berechnen Sie die Polarisationsrichtung als Funktion von φ und θ bezüglich eines Koordinatensystems, dessen x -Richtung entlang k s liegt und dessen z -Richtung in der x z-ebene liegt. (e) Wo könnten Fehler in der Überlegung liegen? 2. Paralleles Licht soll mit einer dünnen plankonvexen Linse auf einen Punkt fokussiert werden. Berechnen Sie mit dem Fermatschen Prinzip die gekrümmte Oberfläche. Die plane Seite sei auf der Einfallsseite. 3. Leiten Sie eine Vektorschreibweise für das Reflexionsgesetz her. 4. Zeigen Sie, dass der Brewsterwinkel für die äussere Reflexion Θ P und der Brewsterwinkel für die innere Reflexion Θ P durch die Beziehung 1../../node25.html 2../../node26.html 3../../node27.html 4 uebungsblatt4.pdf Θ P + Θ P = π/2 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

2 2 verbunden sind. 5. Licht (Amplitude der p-polarisation gleich Amplitude der s-polarisation) soll durch Reflexion an einer Glasfläche n = 1.55 reflektiert werden. Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Oberflächennormale des Glases und der Einfallsrichtung so, dass das Verhältnis der Amplituden der p-polarisierten reflektierten Komponente zur s-polarisierten reflektierten Komponente 1 : 3 beträgt. 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

3 3 2 Lösungen 1. Das anregende E-Feld liegt in der xy-ebene. Für φ = hängt die Amplitude nicht von θ ab. Für φ = π/2 ist E s (π/2; θ) = E sin θ = E y,s. (a) Die Projektion ist u proj = ( v u) v (b) Wir setzen und Es ist und u = E v = E v u = E 1 cos φ sin θ sin φ sin θ cos θ E streu = ( v u)) v = E cos θ cos φ sin θ cos φ sin φ sin 2 θ 1 sin 2 φ sin 2 θ sin φ sin θ cos θ (c) (d) Die Amplitude ist E streu = E cos φ sin φ sin 2 θ 1 sin 2 φ sin 2 θ sin φ sin θ cos θ oder E streu = E cos 2 φ sin 2 φ sin 4 θ + ( 1 sin 2 φ sin 2 θ ) 2 + sin 2 φ sin 2 θ cos 2 θ Mit ein bisschen Vereinfachung ergibt sich die gesuchte Amplitude E streu = E 1 sin 2 φ sin 2 θ Die Einheitsvektoren des x, y, z - Koordinatensystems sind durch e x = k s / k s, sowie durch gegeben. e y = ( e x e z )/ e x e z e z = e x e y 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

4 4 Wir erhalten und e y = e z = sin (φ) cos (φ) sin (θ) cos (φ) sin (θ) sin (φ) cos (θ) In diesem Koordinatensystem ist E = E e y = E E e z cos φ sin φ sin θ (e) Wir haben die Interferenzen des einfallenden und des gestreuten Lichtes nicht berücksichtigt. Deshalb ist zu erwarten, dass die Amplituden korrigiert werden müssen, mit Ausnahme der Stellen, bei denen E = ist. 2. Wir haben die folgende Situation: Der Brechungsindex in der Linse sei n, ausserhalb 1. Licht im Abstand r von der Achse legt ab der Linse den folgenden Weg zurück: l n (r) = Z(r) innerhalb der Linse l 1 (r) = (f Z(r)) 2 + r 2 rechts von der Linse Der optische Weg ist: s n (r) = n Z(r) innerhalb der Linse s 1 (r) = (f Z(r)) 2 + r 2 rechts von der Linse s(r) = s n (r) + s 1 (r) Gesamter Weg Da jeder Lichtstrahl aus dem Fokus unabhängig von der Richtung zum parallelen Strahl werden soll (Zeitumkehrprinzip), muss jeder der Wege ein erlaubter Weg sein. Nach Fermat ist ds(r)/dr = für den realisierten Weg. Da hier der Weg für alle r realisiert wird, muss die Ableitung für alle r null sein, s(r) also konstant. 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

5 5 s(r) = n Z(r) + (f Z(r)) 2 + r 2 = s() = n d + f d Wir lösen nach Z(r) auf. n Z(r) + (f Z(r)) 2 + r 2 = n d + f d (f Z(r)) 2 + r 2 = f + d(n 1) n Z(r) (f Z(r)) 2 + r 2 = (f + d(n 1) n Z(r)) 2 f 2 2fZ(r) + Z 2 (r) + r 2 = (f + d(n 1)) 2 2n (f + d(n 1)) Z(r) + n 2 Z 2 (r) = (f + d(n 1)) 2 f 2 r 2 2 (n(f + d(n 1)) f) Z(r) + ()Z 2 (r) = (f + d(n 1)) 2 f 2 r 2 2 (f(n 1) + dn(n 1)) Z(r) + ()Z 2 (r) = ()Z 2 (r) 2 (f(n 1) + dn(n 1)) Z(r) +2d(n 1)f + d 2 (n 1) 2 r 2 = Z 2 (f + nd) (r) 2 = ( Z(r) nd + f ) 2 + 2df + d2 (n 1) Z(r) + 2df + d2 (n 1) ( ) nd + f 2 r2 r2 ( ) nd + f 2 d2 (n 1) + 2df + r2 = ( Z(r) nd + f ) 2 ± (nd ) + f 2 d2 (n 1) + 2df + r2 = Z(r) nd + f Z(r) = nd + f ± (nd ) + f 2 d2 (n 1) + 2df + r2 Zur Kontrolle: r = impliziert Z(r) = d Für n = 1.5, d = 1 und f = 1 erhält man 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

6 6 Linsenoberfläche 1.8 Z(r) r Dick ausgezogen ist das Resultat unserer Rechnung, dünn die Oberfläche einer sphärischen Linse. 3. Wir haben die einfallende Welle mit k i, die reflektierte Welle mit k r sowie die Oberflächennormale u n Wegen Θ i = Θ r ist und ki,x = k r,x ki,y = k r,y Es ist ( ki u n ) u n = k i,y Nun ist ki k r = 2 ( ) k i,y = 2 ki u n u n kr = ( ) k i 2 ki u n u n 4. Es ist tan Θ P = n 2 n 1 wenn n 2 der Brechungsindex im Medium und n 1 der äussere Brechungsindex ist. 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

7 7 Ebenso ist Also ist tan Θ P = n 1 n 2 = 1 tan Θ P sin Θ P cos Θ P = cos Θ P sin Θ P cos Θ P cos Θ P sin Θ P sin Θ P = = cos(θ P Θ P ) und damit Θ P + Θ P = π/2 5. Die Fresnelschen Formeln für die Reflexion sind für die s-polarisation und die p-polarisation E r,s = E e,s sin(α β(α)) sin(α + β(α)) E r,p = E e,p tan[α β(α)] tan[α + β(α)] Mit unserer Anfangsbedingung ist E e,s = E e,p Wir wollen 3E r,p = E r,s Also Damit haben wir tan[α β(α)] sin(α β(α)) 3 = tan[α + β(α)] sin(α + β(α)) cos[α β(α)] 3 cos[α + β(α)] = 1 3 cos[α β(α)] = cos[α + β(α)] 3 cos α cos β(α) + 3 sin α sin β(α) = cos α cos β(α) sin α sin β(α) 2 cos α cos β(α) = 4 sin α sin β(α) cos α cos β(α) = 2 sin α sin β(α) 17., 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti

8 8 nach dem Brechungsgesetz ist n sin β(α) = sin α und also wir quadrieren cos α cos β(α) = 1 sin2 α n 2 1 sin2 α n 2 = 2 sin α sin α n ( 1 sin 2 α ) ( ) 1 sin2 α n 2 = 4 sin4 α n 2 wir setzen sin 2 α = u und bekommen (1 u)(1 u/n 2 ) = 4u 2 /n 2 oder weiter also eingesetzt: 1 u ( 1 + n 2) + u 2 n 2 = 4u 2 n 2 3u 2 n 2 + (1 + n 2 )u 1 = u = (1 + n 2 ) ± (1 + n 2 ) Die Lösungen sind u = ( ) ± ( ) u 1 = u 2 = Da u = sin 2 α ist, verwenden wir die erste Lösung sin α = = und damit α = = , 23. und c 23 University of Ulm, Othmar Marti