SENSORTECHNIK II. ABBERATIONEN (Abbildungsfehler) Inhalt:

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1 SENSORTECHNIK II ABBERATIONEN (Abbildungsfehler) Inhalt: 1. Was sind Abberationen? 1.1 Monochromatische Abberationen Sphärische Abbildungsfehler Die Koma Der Astigmatismus /Die Bildfeldkrümmung Die Verzerrung 1.2 Chromatische Abberationen 2. Versuchsaufbau und Durchführung 1

2 1. Was sind Abberationen? In der geometrischen Optik befaßt man sich ausschließlich mit dem Licht als ein Strahl. Hier folgt alles den idealisierten Bedingungen der sogenannten Gaußschen Dioptrik, der Lehre der paraxialen Optik. Es wird die vereinfachende Methode gewählt, daß nur achsnahe, sprich paraxiale Strahlen für die Bildkonstruktion betrachtet werden und es wird vorausgesetzt, daß achsferne Strahlen (am Rand einer Linse) die gleichen Eigenschaften bezüglich des gemeinsamen Brennpunktes bspw. besitzen wie die paraxialen. Für die meisten Anwendungen spielt dies auch keine Rolle, bei manchen jedoch sind die Abbildungsfehler Abberationen nicht mehr zu vernachlässigen und man muß sich Mittel und Wege überlegen, diese Fehler zu kompensieren. Betroffen sind vor allem sphärische Spiegel, die nur in einem bestimmten Bereich um die optische Achse (Gaußscher Bereich) ideale Abbildungen liefern. Die Abberationen lassen sich in zwei Hauptgruppen einteilen, die chromatischen Abberationen (daraus resultierend, daß der Brechungsindex n eigentlich eine Funktion der Frequenz oder Farbe ist) und die monochromatischen Abberationen, die sogar bei Licht vorkommen, jenes eigentlich schon stark monochromatisch ist. Die verschiedenen Untergruppen werden im folgenden dargestellt. Hauptziel bei der Untersuchung der Abbildungsfehler ist natürlich die Verminderung dieser bzw. die völlige Ausschaltung. Dies erweist sich jedoch als relativ schwierig und gleicht im allgemeinen der Abstimmung einer elektrischen Brückenschaltung, bei der durch veränderliche Kondensatoren, Induktivitäten oder Potentiometer versucht wird, ein bestmögliches Ergebnis zu erzielen. Wie und in welcher Weise die Fehler minimiert werden, ist den einzelnen Kapiteln beigefügt. 2

3 1.1 Monochromatische Abberationen Die Vorstellung der achsnahen Strahlen beruhte im allgemeinen darauf, daß der Sinus eines Winkels ausreichend durch den Winkel selbst dargestellt werden könnte, also sin(ϕ) = ϕ Weshalb das Snellius sche Brechungsgesetz auch gerne folgendermaßen geschrieben wird: sin(θ 1 ) * n 1 = sin(θ 2 ) * n 2 θ 1 * n 1 = θ 2 * n 2 Bezieht man die Randstrahlen mit ein, so ergeben sich jedoch nicht zu vernachlässigende Fehler. Verständlich wird dies bei der Betrachtung der Reihenentwicklung der Sinusfunktion. Bei Abbruch der Reihenentwicklung ergibt sich ein Fehler, der von verschiedener Ordnung sein kann. Die Fehlertheorie dritter Ordnung beschäftigt sich nun mit den ersten zwei Glieder der Reihenentwicklung und es ergeben sich die Abbildungsfehler dritter Ordnung (bzw. Seidelschen Abberationen), nämlich die sphärische Abberation, das Koma, der Astigmatismus, die Bildfeldkrümmung und die Verzerrung. sin(ϕ) = ϕ - ϕ³/3! +... Abbildungsfehler höherer Ordnung sind zwar nicht zu unterschätzen, werden jedoch hier nicht besprochen. Ihre Größe kann man als die Differenz zwischen dem genau berechneten Strahlengang und den errechneten Fehlern dritter Ordnung betrachten. 3

4 1.1.1 Sphärische Abberationen Wie in der Abbildung sichtbar wird, werden die Strahlen, die die Linsenfläche in einem größeren Abstand (h) von der optischen Achse entfernt treffen, vor dem eigentlichen Brennpunkt fokussiert. D.h. die sphärische Abberation entspricht für nichtparaxiale Strahlen einer Abhängigkeit der Brennweite von der Blendenöffnung. Für eine Sammellinse ergibt sich deshalb der folgende Strahlengang: 4

5 Der Abstand zwischen dem axialen Schnittpunkt eines Randstrahls und dem eigentlichen Brennpunkt F i bezeichnet man dabei als die sphärische Längsabberation L.SA dieses Strahls. Es gilt: Bei Sammellinsen ist SA (sphärische Abberation) positiv, bei Zerstreuungslinsen negativ. Anschaulich bedeuted dies also, daß das Bild eines Sternes als ein heller, zentraler Fleck auf der Achse erscheinen würde, der von einem symmetrischen Kranz umgeben wäre, aufgezeichnet durch die Randstrahlen. Für flächenhafte Abbildungen würde die SA den Kontrast verringern und die Bildeinzelheiten verschlechtern. Die zweite in der Graphik eingetragene Größe T.SA oder Querabberation beschreibt die Höhe über der optischen Achse, bei der ein bestimmeter Strahl auf einen aufgestellten Schirm treffen würde. Der beste Punkt das Bild zu beobachten ergibt sich in der Stelle LC, dem sogenannten Unschärfekreis. Da die SA durch Abblenden der Blendenöffnung verkleinert werden kann (die Lichtmenge, die in das System eintritt wird dabei aber geringer) muß hier beachtet werden, daß sich bei beträchtlicher SA die Position von LC dem Brennpunkt F i nähert und das System neu fokussiert werden muß. Abhilfe: Um sphärische Abberationen zu kompensieren bzw. möglichst zu minimieren, bieten sich zwei Möglichkeiten an: - Die Verwendung einer Blende, wodurch jedoch auch die Lichtmenge verringert wird - Die Verwendung einer Plankonvexen Linse (bei Sammellinsen), die einfach umgedreht wird. 5

6 - Die Benutzung eines Linsensystems, wie dies in den meisten optischen Geräten wie Photoapparat, Fernglas etc. geschieht. Z.B. eine Kombination aus einer Sammellinse und einer Zerstreuungslinse. Eine Veranschaulichung liefert auch das interaktive Physikprogramm Albert. Auf den Punkt gebracht: Aufgrund der speziellen Form des Snellius schen Brechungsgesetzes (die angesprochene Sinus Abhängigkeit) werden Strahlen mit schrägerem Einfallswinkel bzw. Randstrahlen überproportional gebrochen. Hält man einen Schirm an die Stelle, wo sich die achsnahen (paraxialen) Strahlen schneiden, so erscheint als Abbild bspw. eines Punktes im Unendlichen (paralleles Strahlenbündel) ein Fleck mit hellem Kern und nach außen abnehmender Helligkeit. Diesen Fehler bezeichnet man als SPHÄRISCHE ABBERATION. 6

7 1.1.2 Die Koma Die Koma oder der Asymetriefehler ist ein bildverschlechternder, monochromatischer Abbildungsfehler dritter Ordnung, der mit einem Objektpunkt verbunden ist, der nur einen kurzem Abstand von der Achse hat. Befindet sich der Bildpunkt auf der optischen Achse, so hat dies praktisch keine Konsequenzen, fällt das Strahlenbündel jedoch schräg ein, und liegt der Bildpunkt außeraxial, so ist die Koma offensichtlich vorhanden. Die kometenhafte Erscheinung der Koma, die ihren Namen ihrem kometenhaften Schweif verdankt, stellt man sich oft als die schlimmste aller Abberationen vor. 7

8 Auf den Punkt gebracht: Beim schrägen Durchgang eines Strahlenbündels durch eine sphärische Linse tritt die sogenannte Koma auf, die eine einseitige, starke Verzerrung von Abbildungen bewirkt. Die Bilder von Punkten erhalten dabei einen kleinen, kometenähnlichen Schweif. Abhilfe: - Durch Abblenden. Der Fehler ist jedoch stark abhängig von der Blendenlage. - Kombination von zwei Linsen, die in Bezug auf im Unendlichen liegende Punkte korrigiert sind und mit den Rückseiten aneinanderliegen Der Astigmatismus / Die Bildfeldkrümmung Ausgedehnte ebene Objekte werden nicht in einer Ebene, sondern auf zwei gekrümmten Bildschalen, die sich auf der optischen Achse berühren, abgebildet. Deshalb entsteht bei der Abbildung eines Punktes, der außerhalb der optischen Achse liegt, auch bei der Verwendung schlanker Strahlenbündel kein Bildpunkt, sondern zwei zueinander senkrecht verlaufende Bildstriche auf den beiden Bildschalen in verschiedenen Abständen von der Linse. Abhilfe: - Kombination von mehreren Linsen aus geeigneten Gläsern - Veränderung der Blendenlage Ein korrigiertes System nennt man Anastigmat. 8

9 1.1.4 Die Verzerrung oder Verzeichnung Der Fehler zeichnet sich dadurch aus, daß bei falscher Blendenlage Bild und Objekt nicht geometrisch ähnlich sind. Liegt die Blende zu weit im Gegenstandsraum, wird ein Quadrat tonnenförmig verzeichnet, liegt sie zu weit im Bildraum, resultiert einen kissenförmige Verzeichnung. 9

10 Abhilfe: - Die Blende sollte in der Linsenebene liegen. - Die Blende sollte in der Mitte zwischen identischen Linsen liegen. 10

11 1.2 Chromatische Abberationen Die bisher betrachteten Abbildungsfehler dritter Ordnung (Seidel schen Fehler) wurden vom Standpunkt des monochromatischen Lichtes betrachtet. Hätte die Lichtquelle eine breite spektrale Bandbreite, so würden diese Abberationen zwar beeinflußt, die Effekte wären jedoch unbedeutend, es sein denn es handelte sich um ein sehr gut korrigiertes System. Der im Prinzip wichtigste Fehler aber tritt speziell bei Benutzung von polychromatischem Licht auf, die chromatische Abberation. Dieser Farbfehler beruht auf der Tatsache, daß die Gleichung für die Durchrechnung eines Strahls eine Funktion der Brechungsindizes ist, die ihrerseits mit der Wellenlänge variieren. D.h. verschieden farbige Strahlen durchlaufen ein System entlang verschiedener Wege. Dies ist auch gleichzeitig das fundamentale Merkmal der chromatischen Abberation. Die Linsengleichung für dünne Linsen 1/f = (n l 1) (1/R 1 1/R 2 ) ist ersichtlicherweise über n l (λ) wellenabhängig, wodurch auch direkt resultiert, daß sich der Brennpunkt ebenfalls mit λ verändert. Die Folge ist nachstehend abgebildet. Die Farbkomponenten in einem weißen Lichtstrahlenbündel werden in verschiedenen Punkten auf der Achse fokussiert. Man unterscheidet zwei Arten der chromatischen Abberation: a) Farbortsfehler bzw. Farblängsfehler Definiert als der axiale Abstand zwischen zwei derartigen Brennpunkten, die einen bestimmten Frequenzbereich (z.b. von blau bis rot) umfassen. Kurz: A.CA (axial chromatic abberation) 11

12 b) Farbquerfehler Der vertikale Abstand zwischen zwei Bildpunkten (z.b. blau und rot) ist ein Maß für den Farbquerfehler. Kurz: L.CA (lateral chromatic abberation) Auf den Punkt gebracht: Der chromatische Abbildungsfehler ist ein Farbfehler, der aufgrund der Dispersion des Linsenmaterials entsteht, wenn zur Abbildung kein monochromatisches Licht verwendet wird. Das Bild wird unscharf und erhält farbige Ränder. Abhilfe: - Z.B. die Kombination einer Sammellinse aus Kronglas und einer Zerstreuungslinse aus Flintglas. Das korrigierte Objektiv ist ein Achromat. 12

13 2. Versuchsaufbau und Durchführung Der Versuch beschäftigt sich mit den farbigen Rändern eines Lichtbündels durch die chromatische Abberation: Verwendet wird eine dicke einfache Sammellinse der Brennweite f=50mm, eine Irisblende und eine Glühbirne 5V/5W als Lichtquelle. Zum korrigieren wird ein Achromat der Brennweite f=80mm verwendet. Hier der vereinfachte Aufbau des Versuchs: Resultat: Es wird ersichtlich, daß die Linse ein reelles Bild der Punktquelle wirft, das von einem Halo umgeben ist. Schiebt man die Beobachtungsebene (sprich: den Schirm) näher zur Linse, so wird der Rand des unscharfen Bildes orangerot gefärbt. Bewegt man sie zurück, d.h. von der Linse weg und hinter das beste Bild, so wird der Umriß blauviolett getönt. Schaut man direkt durch die Linse gegen die Quelle, so erkennt man die Färbung noch weit eindrucksvoller. Setzt man jetzt anstelle der Sammellinse einen Achromaten ein, so ist der Effekt nicht mehr sichtbar. 13

14 Quellen: 1. Eugene Hecht, OPTIK, 2. Auflage Oldenbourg Verlag, ISBN - Nr.: Hering, Martin, Stohrer: PHYSIK FÜR INGENIEURE, 6. Auflage Springer Verlag, ISBN Nr.: Physik Interaktiv 1 und 2: ALBERT CD - ROM Versuchsaufbau: Mikrobank Grundkasten Mechanik und Optik SPINDLER & HOYER 14