Bestimmung einer angemessenen Sterbetafel f'dr Lebensversicherungen mit Todesfallcharakter

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1 Bestimmung einer angemessenen Sterbetafel f'dr Lebensversicherungen mit Todesfallcharakter Horst Loebus (Hamburg) 0. Einfiihrung Bislang diente als Grundlage zur Berechnung der Deckungsriickstellung bei Lebensversicherungen der vom Bundesaufsichtsamt genehmigte technische Geschiftsplan. Nach dem Wegfall der Genehmigung von Geschiftsplinen ftir das Neugesch~ift ab obliegt in Zukunft dem verantwortlichen Aktuar eines Versicherungsunternehmens die Aufgabe, sachgerechte, aktuariell begriindbare, biometrische Rechnungsgrundlagen fiir Versicherungen zu w~ihlen oder gegebenenfalls zu erstellen. Wegen der in den letzten Jahren betrichtlich gesunkenen Sterblichkeit liegt es nahe, insbesondere eine geeignete Sterbetafel fiir Versicherungen mit TodesfaUcharakter zu erarbeiten, die den Aktuaren vonder Deutschen Aktuarvereinigung empfohlen wird, um fiir diese Versicherungen ausreichend sichere, jedoch nicht iiberhfhte Deckungsriickstellungen zu bilden. Diese Sterbetafel wird nachfolgend als DAV-Sterbetafel 1994 T bezeichnet. Fiir den Fall, dab der verantwortliche Aktuar unternehmenseigene Sterbenswahrscheinlichkeiten zu verwenden beabsichtigt, werden Kriterien fiir die aktuarielle Erstellung unternehmenseigener Sterbetafeln angegeben und erliutert. Die DAV-Sterbetafel 1994 T oder gegebenenfaus die unternehmenseigene Sterbetafel kann auch fiir die Beitragsberechnung Anwendung finden. n Deutschland wurden bisher die anerkannten Sterbetafeln fjr die Versicherungsunternehmen aus Bevrlkerungssterbetafeln abgeleitet. n GroBbritannien werden vom nstitute of Actuaries und vonder Faculty of Actuaries Versichertensterbetafeln aus den Versichertendaten der angeschlossenen Versicherungsunternehmen erstellt und ver- 6ffentlicht [1]. Da es einige Jahre dauern wird, bis in Deutschland unternehmensiibergreifende Daten zur Versichertensterblichkeit zur Verfiigung stehen werden, wird in diesem Artikel die erste yon der Deutschen Aktuarvereinigung empfohlene Sterbetafel als Sterbetafel aus der Bevrlkerungssterbetafel , der letzten zur Verfiigung stehenden, aus einer Volkszihlung abgeleiteten Bevrlkerungssterbetafel, vorgestellt. Die DAV-Sterbetafel 1994T weist Sicherheitszuschlige auf, die auf der einen Seite hoch genug sind, dem bilanzrechtlichen Gebot der vorsichtigen Bewertung von Verpflichtungen des Versicherungsunternehmens gegeniiber dem Versicherungsnehmer zu geniigen, auf der anderen Seite aber nicht so hoch sind, dab befiirchtet werden miibte, die mit ihnen errechneten Deckungsriickstellungen krnnten von den Finanzbehrrden als iiberhrht bewertetes Passivum steuerlich nicht anerkannt werden. Die DAV-Sterbetafel 1994T soil auch fiir die Beitragskalkulation geeignet sein. Die Erfahrung aus den vergangenen Jahrzehnten in der Lebensversicherung hat gezeigt, dab es aus verschiedenen Griinden wiinschenswert ist, fiir Beitrige zu Versicherungen mit Todesfallcharakter einen monoton wachsenden Verlauf mit zunehmendem Eintrittsalter bei gleicher Versicherungs- und Beitragszahlungsdauer angeben zu krnnen. Dies ist sichergestellt, wenn ein monoton wachsender Verlauf der Sterbenswahrscheinlichkeiten mit zunehmendem Alter gegeben ist. n der DAV-Sterbetafel 1994 T ist ein solcher Verlauf ohne schwerwiegende Eingriffe fiir Alter ab 11 Jahre erreichbar. Die Ausdehnung der Monotonieeigenschaft auf die Alter unter 11 scheint zum einen nur von geringer Bedeu- 497

2 tung zu sein, zum anderen ist sie wegen der im Vergleich zu den folgenden Lebensjahren hohen Siuglingssterblichkeit im ersten Lebensjahr nicht ffir die gesamte Sterbetafel, die die Alter yon 0 bis 100 umfabt, vertretbar. Sofern die hohe Sterblichkeit fiir das Alter 0 als st6rend gilt, ist es durch eine geeignete Leistungseinschrinkung fiir den Todesfall im ersten Lebensjahr, z.b. monatlich gestaffelter linearer Leistungsanstieg oder nur Riickzahlung der eingezahlten Beitrige, erreichbar, dab die Verwendung der Sterbenswahrscheinlichkeit fiir das Alter 1 auch fiir das Alter 0 als zul~issig angesehen werden kann. 1. Ausgangsdaten der neuen DAV-Sterbetafel 1994T Grundlage ist die allgemeine Sterbetafel , die anhand der Ergebnisse der Volkszihlung 1987 nach der Sterbeziffernmethode erstellt wurde [2]. Die rohen Sterbenswahrscheinlichkeiten wurden in der genannten Ver6ffentlichung nach dem Verfahren von Reinsch, das einen Spline-Ansatz verwendet, ausgeglichen. m Gegensatz zu den in der Vergangenheit benutzten mechanischen Ausgleichsverfahren wurde dieses Verfahren angewandt ([3] S. l14ff.), weil damit der gesamte Altersbereich einheitlich ausgeglichen werden kann, wobei das Alter 0 jedoch nicht mit einbezogen wird. Ubersicht der verwendeten Bezeichnungen Jeweils als hochgesteuter ndex bezeichnet M den Bezug auf einen Modellbestand von Personen gleichen Geschlechts mit einer Alterszusammensetzung wie die Bev61kerung , u den Bezug auf den Bestand eines Versicherungsunternehmens, VB den Bezug auf die Verbandstafel 1986, 8183 den Bezug auf die der Verbandstafel 1986 zugrunde liegende Bev61kerungssterbetafel Lx Lebende des Alters x, tx im Alter x Gestorbene aus Lx (Beobachtungswert), Tx im Alter x Gestorbene aus L~ (Zufallsgr6Be), T = ~ T x Gesamtzahl der Gestorbenen (ZufallsgrSBe), x qx ausgeglichene Sterbenswahrscheinlichkeiten der allgemeinen Sterbetafel , u _, Sicherheitskoeffizient der Standardnormalverteilung zum Niveau 1- ~, 1 - ~t Sicherheitswahrscheinlichkeit fiir den Schitzwert der Todesffille eines Bestandes L = ~ L~. t 1 - ~* Sicherheitswahrscheinlichkeit fiir den Sch~itzwert der einzelnen q~, s~ statistischer Schwankungszuschlag mit Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 - ~, q~ = q~ + s~ obere Konfidenzschranke fiir qx zum Niveau 1 - ~* und fiir T zum Niveau 1 - ~, r~ Anderungsrisikozuschlag (-faktor) auf die qx, Cl~ = r~ q~ Sterbenswahrscheinlichkeiten der DAV-Sterbetafel 1994 T, ~t~" = r~ (q~ + 0, 2 q~) Sterbenswahrscheinlichkeiten fiir die Sterbetafel eines Unternehmens. 498

3 2. Berechnungsans~itze Wie schon oben ausgeffihrt, mfissen die Sterbenswahrscheinlichkeiten ffir die Versicherungen mit Todesfallcharakter mit ausreichenden Sicherheitszuschligen versehen werden. Detailliert sind dies der statistische Schwankungszuschlag zur Absicherung des statistischen Schwankungsrisikos und der,~nderungsrisikozuschlag, der das Risiko des Ansteigens der Sterblichkeit in der Zukunft absichert. Dazu nutzen wir den theoretischen Ansatz ~1~ = rx (q~ + s~). (1) Wir verwenden den multiplikativen Zuschlag r~ als,~.nderungsrisikozuschlag und den additiven Zuschlag s~ als statistischen Schwankungszuschlag zum Sicherheitsniveau 1- a* fiir die q~ bzw. 1- a ffir T. 2.1 Statistischer Schwankungszuschlag Der statistische Schwankungszuschlag fiir eine DAV-Sterbetafel 1994T sollte derart bemessen sein, dab die mit den entsprechend erhrhten Sterbenswahrscheinlichkeiten fiir den Bestand eines,,mittelgrol3en" Versicherungsunternehmens berechnete Anzahl erwarteter Todesf~ille eine obere Konfidenzgrenze ffir die mit den Sterbenswahrscheinlichkeiten des Modellbestandes berechneten erwarteten Todesf~ille darstellt, und zwar mit einer hohen Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-at bei a=0,01. Zwei Fille sind von nteresse. Betrachtet man auf der einen Seite jeweils nur die Todesf'~ille eines Alters x, so erhilt man die Forderung p (qm L~ < (qx + s~) L~) = P (q~ < qx + s~) > 1 - ct ffir alle Alter x. (2) Hierbei wurde die Darstellung Tx = q~ M L, M fiir die Zufallsvariable T~ der Gestorbenen des Alters x verwendet. n diesem Kontext ist q~ = ~ T~ als (zu T x proportionale) Zufalls- --X variable der rohen Sterbenswahrscheinliehkeiten (relative Hiufigkeiten) zu interpretieren. Dagegen bezeichnet qx die ausgeglichenen Sterbenswahrscheinlichkeiten der allgemeinen Sterbetafel , die als Zahlen zu interpretieren sind. Diese Forderung, dab fiir jedes einzelne Altersjahr eine Sicherheit von 99% erreicht wird, verlangt sehr hohe, kaum noch begriindbare Schwankungszuschlige bei kleineren Bestinden, oder bei annehmbaren Zuschl~igen sehr grobe Bestinde. So wiirde bei Annahme der Binomialverteilung B (L~, qx) ffir die Anzahl der Todesf~ille eines Alters x als Bestand eine MindestgrrBe von LxM > (Ul-~ 2 -\ S~ ] q,(1-q,) (3) gefordert ([5] S. 265 f.). Bei einer Genauigkeit von 5%, d.h. s~ --- 0,05 qx erg~be dies fiir a= 0,01 zu q2t = 1~ eine Mindestgr6Be von ca und fiir q6o = 15%o eine Mindestgr6Be von ca Versicherten des jeweiligen Alters. Ffir ein,,mittelgrobes" Unternehmen sind diese Gr6Benordnungen nicht erreichbar, wenn statistische Absicherungsmethoden angewendet werden sollen. Betraehtet man jedoch andererseits alle Todesfille des Bestandes, erhilt man P [~ q~ L~ _< ~ (qx + s0 L:~ >_l-a (4) \x x J 499

4 als Ausgangsgleichung zur Bestimmung der s~. Um eine Vorstellung fiber die Gr613enordnung zu gewinnen, die notwendig ist, eine Sicherheit von 99% fiir die Gesamtzahl der Todesf'~ille eines Bestandes nach Formel (4) zu gew~ihrleisten, gehen wir vereinfacht von der durchschnittlichen Sterbenswahrscheinlichkeit der Bev61kerung mit q = 15% aus. Ffir Abweichungen von q um einen Prozentsatz p ergeben sich mit Formel (3) ffir p = 3%, 4% bzw. 5% (d.h. ffir s~ = q p = 0,00045, 0,00060 bzw. 0,00075) Mindestbestandsgr6Ben von , bzw Personen bei einer Beobachtungszeit von einem Jahr oder von einem n-tel dieser Bestandsgr6Ben bei einer Beobachtungszeit von n Jahren. Das sind Gr613enordnungen, die von den Best~inden,,mittelgroBer" Versicherungsunternehmen erreicht werden. Wir halten es daher fiir angebracht, zur Bestimmung der s~ die Forderung (4) zugrunde zu legen. s~ wird im folgenden deshalb ffir einen Modellbestand mit L M = ~ L~ = Ver- t sicherten gleichen Geschlechts ermittelt, deren Altersklassen entsprechend der Altersverteilung der Bev61kerung gem~il3 den Belegungszahlen der Sterbetafel belegt sind. Unterstellt man lediglich die Gfiltigkeit von (4), so hat man natfirlich ffir jedes einzelne Alter eine niedrigere Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 - ~t* als im Falle der Forderung (2). Der nachfolgende Ansatz (Formeln (5) bis (7)) erffillt die Forderung (4) und ffihrt zu einer altersunabh~ingigen Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 -~t*. Er ist inhaltlich gut begrfindbar, wie die folgenden Ausffihrungen zeigen. Es sei: s~ = u 1 _~, fit ffir alle Alter x (5) mit und f = qit(_l~q~) ffir alle Alter x (6) ~ q L~ u l_~. = u l_~ ~ ~ " (7) Der Beweis, dab mit (5) die Bedingung (4) erffillt ist, erfolgt mit den folgenden Annahmen: (a) Tit ~ B (L~, qx), d.h. Tit sind binomialverteilte Zufallsvariable der im Alter x Gestorbenen mit so grol3en L~, dab ([5] S. 259) Lit M qit > 5 und L~ (1 - qx) > 5 ffir alle x gilt und somit eine Approximation durch eine geeignete Normalverteilung m6glich ist. (b) T x sind stochastisch unabhingig in x. (c) T = ~ Tx ~ N (E (T), Var(T)), d.h. T ist normalverteilte Zufallsvariable mit Erwar- t tungswert E (T) und Varianz Var (T). (Wenn (a) und (b) vorliegen, gilt (c) n~iherungsweise.) Unter diesen Annahmen gilt: E(T)=E T, ) =~E(T,)=E L,q, M X sowie wegen der postulierten stochastischen Unabhingigkeit Var Var -- Var -- q

5 Aus (a) folgt weiterhin: 1 -,* = P \-v-~-,,,-( L-M--o-d T~-L~q, ) ~ - < u, _~,, _) = P q [ ' l, q~--q~ q(l-q,) x) - < u, _:,, kx L~ =P q~<q,+ul_~,? --P(q~_<q~, d.h. q,(1-q,) q: = q, + ui_~,x~ = q, + u,_:, f, (8) mit f, aus (6) ist eine obere Konfidenzschranke zum Niveau 1- a* fiir q~. Aus (e) folgt: T = E(T) + ux_,, ~ ist eine obere Konfidenzschranke fiir T zum Niveau 1 - ~, da P (T < E (T) + u t _~,~) (T- E(T) ) = P \ ~Var (T) < ux -,, = 1 - a gilt. GemiB unserer Ausgangsforderung (4) sind die q," so zu wihlen, dab T = Z L,U q,., Mit den zu Beginn hergeleiteten Formeln fiir E (T) und Var (T) ergibt sich " =1-~, d.h. x i: p LMq~_<XLtq,+u,_, ~ ~ - x x L~ -)=l-a 9 ' ( L:'--U =l-a, d.h. d.h. Lxqx < L X (qx+ui_~,f~) =l-g. Die Formel (5) beinhaltet in ihrer Darstellung des statistischen Zuschlages fiir das Alter x als Produkt zweier Faktoren auch eine Aufteilung des statistischen Zuschlags in zwei inhaltlich verschiedene Komponenten: Die Faktoren fx sind offenbar proportional zum Kehrwert der Wurzel der Bestandsgr6Be; sie verdeutlichen den quantitativen Umfang der mit wachsendem Bestand wachsenden Sicherheit vor,,statistischen AusreiBern" im Datenbestand. Der Faktor u t_~, wiederum geht aus ul_ ~ hervor durch Multiplikation mit dem Quotienten der Standardabweichung yon T zur Summe der Standardabweichungen der einzelnen T,. Der genannte Quotient hfingt in erster (aber sehr guter) 501

6 N~iherung nur vonder Breite des im Bestand vertretenen Altersbereiches, nicht aber von der Gr6Be des Bestandes ab. Er beinhaltet das Absinken der Sicherheitswahrscheinlichkeit, das vom Obergang vonder Gesamtzahl der Gestorbenen auf die Gestorbenen der einzelnen Alter verursacht wird. Da wir die 1 - ~* bereitstellen mubten, interessiert selbstverstindlich auch ihre Gr613e. Die folgende Tafel gibt an, welche Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 - ~* fiir die q~ eines jeden Alters x des Altersbereiches [xl, x2] eines Bestandes L vorliegt, wenn die q~ mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit - ~ = 99% fiir die Gesamtzahl T der Todesf'~ille aus dem Modellbestand M mit Personen im Altersbereich [xl, x2] gewonnen werden. Tafel 1: Sicherheitswahrscheinlichkeiten [xl, x2] L = M L = L = L = [0, 100] 62% 71% 83% 95,3% [30, 65] 66% 78% 91% 98,98% M Eine implizite Untergrenze fiir die Bestandsgr6Be ist durch die Forderung L x qx > 5 gegeben. Wie aus Tabelle 1 ersichtlich, ist die Annahme (a) auch fiir eine Bestandsgr613e von Personen in jungen Jahren nicht erfiillt. Probeberechnungen haben gezeigt, dab selbst bei einer geringeren Anzahl von Todesfillen Formel (8) ausreichend genau ist. Fiihrt man die Berechnungen der oberen Konfidenzschranke der Binomialverteilung statt mit Formel (8) mit dem Clopper-Pearson-Verfahren [5] durch, so erh~lt man mit diesen so gewonnenen Sterbenswahrscheinlichkeiten die gleiche Anzahl erwarteter Todesfille. Bestinde, die gr6ber als der Modellbestand sind, besitzen eine gr6bere statistische Sicherheit, sowohl fiir den Gesamtbestand als auch fiir jedes Alter. Fiir Bestfinde, die kleiner als der Modellbestand sind, ist keine Sicherheitswahrscheinlichkeit yon 99% mehr gegeben. Fiir einen Bestand von Versicherten betrigt die Sicherheitswahrscheinlichkeit fjr die Gesamtzahl der Todesf'~ille noch 91%, ffir einen Bestand von Versieherten nur noch 77~ n kleineren Best~inden k6nnen daher Sterblichkeitsverluste in mehreren aufeinander folgenden Jahren auftreten. Deshalb mul3 der verantwortliche Aktuar dafiir sorgen, dab durch Rickversicherung oder ausreichend hohes Eigenkapital Risikoverh~iltnisse geschaffen werden, die die Anwendung der Tafel zulassen. 2.2,~'nderungsrisiko der Sterblichkeit Die Entwicklung der Sterblichkeit in diesem Jahrhundert hat bis jetzt nur zu Sterblichkeitssenkungen gefiihrt. n der folgenden Tabelle wurden mit den Belegungszahlen der Tafel 2: Entwicklung der Sterblichkeit seit Beobachtungsjahre t j = ~ L~ 6a8 q~ tjt 86s8 in % x Minner Frauen Minner Frauen t

7 Sterbetafel die Todesfalle berechnet, die man mit den Sterbenswahrscheinlichkeiten der abgekiirzten Sterbetafeln aus friiheren Beobachtungsjahren (Grafik 1) erwartet hatte. Diese Erwartungswerte ergeben, dab sich in einem Zeitraum yon 8 Jahren von 1980 bis 1988 die Sterblichkeit um iiber 15% verringert hat. Die schon geringere Sterblichkeit der Frauen verringerte sich sogar noch starker als die der Manner. Dieser Trend besteht schon seit vielen Jahren. Man wird zwar nicht mit einer vflligen Umkehr dieser Sterblichkeitsentwicklung rechnen miissen. Es gibt aber durchaus Faktoren, die eine Teilumkehr des gegenwartigen Sterblichkeitstrends bewirken k6nnten. Die in der Vergangenheit in den neuen Bundeslfindern beobachtete h6here Sterblichkeit (Grafik 2) fiihrt statistisch nach der Wiedervereinigung zu einer Verschlechterung der Sterblichkeit um ca. 5%. Aber auch Verschlechterungen durch andere Ursachen, wie das Auftreten neuer oder alter Seuchen wie ADS oder Diphtherie k6nnen den Sterblichkeitsverlauf unginstig beeinflussen. Ebenso kfnnen sich negative wirtschaftliche und soziale Entwicklungen, Veranderungen der Umweltbedingungen auf die Sterblichkeit erh6hend auswirken. Bei einem Zuschlag fiir das Xnderungsrisiko der Sterblichkeit ist zu beriicksichtigen, dab in der Vergangenheit die,~nderung der Sterbenswahrscheinlichkeiten fiir niedrige Alter erheblich h6her ausfiel als fiir hohe Alter (Grafik 1). Deshalb sollte man einen multiplikativen, mit zunehmendem Alter abnehmenden Zuschlag wahlen. Mit den nachfolgenden Zuschlagen r~, einheitlich fiir Manner und Frauen, wird den angestellten Oberlegungen Rechnung getragen: Zuschlfige r~ aufgrund des ti, nderungsrisikos 1,2 fiir x < 20 r~:= 1,2-0,01(x-20) fiir 21<x<33. 1,07 fiir x > 34 Bei der Bewertung der H6he des Zuschlages fiir das ~nderungsrisiko ist zu beachten, dab implizit ein weiterer Sicherheitszuschlag dadurch gegeben ist, dab der Ausgangspunkt der Herleitung der DAV-Sterbetafel 1994 T eine Bev61kerungs-, nicht aber eine Versicherten- Sterbetafel ist. Dies erh6ht den Anderungszuschlag bezogen aufdie Versichertensterblichkeit erheblich. Der Zuschlag fiir das ~nderungsrisiko ist jedoch insgesamt nicht zu hoch bemessen, da er die Sterblichkeitserh6hungen der Zukunft absichern soil. Die Zukunft hat aber bereits begonnen. So hat allein die Wiedervereinigung eine Sterblichkeitsverschlechterung um ca. 5% bewirkt. Zur Sicherung der Monotonie nach dem,,unfallbuckel" sind die Sterbenswahrscheinlichkeiten ~1~ ab Alter 11 bei fallendem Verlauf iterativ gleich dem unmittelbar vorangehenden Wert gesetzt worden. Die DAV-Sterbetafel 1994 T ist in den Tabellen 1 und 2 dargesteut. 3. Bisherige Techniken zur Ermittlung von Sterbetafeln 3.1 Mechanisches Zuschlagsverfahren der Verbandssterbetafel 1986 n der Vergangenheit wurden in Deutschland die Zuschlige mechanisch bestimmt, indem Alterserh6hungen vorgenommen, Konstante addiert bzw. multipliziert oder beide Verfahren kombiniert wurden. 503

8 Die Ableitung der Verbandstafe11986, die gegenwirtig Grundlage fiir Versicherungen mit Todesfallcharackter ist, aus der Bev61kerungstafel erfolgte so: 1,0%o fiir x < 14 qvb._ qx + 0,5%o fiir 15 < x < 17 "- } (1,68 + 0,01 x)%o fiir 18 _< x < 33 k max(qx+ 1, q, + 0,5%0) fiir 34 <x < 100 1,0%o fiir y < 13 (1,0 + (y -- 14) 0,02)%o o fiir 14 _< y _< 28 qyvb..= ~ 1,2max(qy+x,qy+O,5%o ) fiir 29<y<70 qy+l + qy+l 0,01 (90 - y) fiir 71 < y _< 90 ~. qy+l fiir 91 <y < 100 Grafik 3 enthilt die Werte der Verbandstafel 1986 im Vergleich zu den ihr zugrunde liegenden Sterbenswahrscheinlichkeiten der Bev61kerungssterbetafel n der Abbildung fallen fiir die Minner die hohen Sicherheitszuschlige bis zum Alter 14 auf, die Folge der pauschalen Festsetzung der Sterbenswahrscheinlichkeit auf 1%o fiir diesen Altersbereich sind. Der Zuschlag fillt von einem lokalen Maximum, das 60% Zuschlag beim Alter 24 erreicht, kontinuierlich bis zum Alter 43, schwankt danach bis zum Alter 80 um die 10%-Marke und ffillt dann bis zum Alter 100 auf 5% ab. 9 ~hnlich, aber auf einem erheblich h6heren Niveau, verliuft der Zuschlag fiir die Frauen. Von einem lokalen Maximum von 151% beim Alter 22 ffillt er kontinuierlich bis zum Alter 45, schwankt bis zum Alter 70 um die 30%-Marke und fillt dann bis zum Alter 100 ebenfalls auf 5% ab. Bei der Erstellung der Verbandstafel 1986 wurde fiir die Frauen im Altersbereich 29 bis 70 Jahre ein zusitzlicher Zuschlag von 20% festgelegt. Dieser Zuschlag diente dazu, die damals bei den Frauen beobachtete, im Vergleich zu den Minnern geringere Abweichung der Versichertensterblichkeit gegeniber der Bev61kerungssterblichkeit von ca. 20% aufzufangen, damit ein geschlechtsunabhingiges Niveau der l~berschul3anteilsitze beibehalten werden konnte. Neuere Untersuchungen zur Versichertensterblichkeit haben gezeigt, dab der Unterschied zwischen den Abweichungen beider Geschlechter vonder jeweiligen Bev61kerungssterblichkeit bei einigen Unternehmen zwar etwas geringer geworden, bei anderen aber auf gleichem Niveau geblieben ist. nsoweit liel3e sich auch heute noch ein h6herer Sicherheitszuschlag bei Frauen rechtfertigen. Da dies fiir die Bewertungssicherheit der Deckungsrfickstellung jedoch irrelevant erscheint, wurde er bei der Erstellung der DAV- Sterbetafel 1994 T nicht beriicksichtigt. Es steht den Lebensversicherungsunternehmen frei, bei der Berechnung der Beitr~ige fiir Frauen diesem Umstand Rechnung zu tragen. 3.2 Zuschlagsverfahren des Canadian nstitute of Actuaries ( CA-Verfahren) Bisher sind nur wenige Zuschlagsverfahren international ver6ffentlicht worden. Das einzige bekannte stammt vom Canadian nstitute of Actuaries, das wir deshalb zum Vergleich heranziehen. n,provision for Adverse Deviation' [4] wird bei der Ermittlung yon Zu- 504

9 schl~gen zu Sterbenswahrscheinlichkeiten qx der Ansatz q] = qx + c vorgeschlagen, mit 100 ex e~ lk k= x 1~ 1 2' wobei x eine Absterbeordnung fiber q~ definiert. Dieser Ansatz liefert Zuschlfige, die sich umgekehrt proportional zur ferneren Lebenserwartung e x eines x-jfihrigen verhalten. Die so berechneten Zuschlfige werden mit zunehmendem Alter absolut grfl3er, aber relativ zu den Sterbenswahrscheinlichkeiten sind sie ffir junge Alter sehr hoch und verringern rich mit zunehmendem Alter stark. Ffir hohe (sichere) Zuschlfige wird c = 15~ und ffir niedrige Zuschlfige wird c = 3,75~ gesetzt. n der Grafik 5 ist dies (bei c = 15~ dargestellt. 4. Vergleicb der Ergebnisse Ein Vergleich der neuen Richtwerte mit den Werten der Verbandstafel 1986 (Grafik 5) zeigt, dab die neuen Werte teilweise sehr deutlich, mit Ausnahme der Werte ffir Alter fiber 90 Jahre, unter den Werten der Verbandstafel liegen. Mit wachsendem Alter gibt es abnehmende Differenzen, bedingt durch die Sterblichkeitsentwicklung (Grafik 1), die einen geringeren Riickgang der Sterbenswahrscheinlichkeiten in h6heren Altern aufweist. Eine Bestitigung ffir diese hfheren Zuschlfige liefern die tatsfichlichen Sterbenswahrscheinlichkeiten der Sterbetafel ; diese liegen ab Alter 95 fiber den Werten der Verbandstafel Weiterhin lassen sich diese Zuschlfige durch ein hfheres Schwankungsrisiko der kleinen Bestfinde in diesem Altersbereich als notwendig begrfinden. Vergleicht man die neuen Richtwerte und das CA-Verfahren miteinander, so sind die neuen Werte ab Alter 42 bei den Mfinnern und 51 bei den Frauen h6her als die Werte aus dem CA-Verfahren. Bei den Frauen unter 50 Jahre liegen die neuen Richtwerte immer unter den Werten des CA-Verfahrens. Das Schwankungsrisiko, das in jungen Altern aufgrund sehr niedriger Sterbenswahrscheinlichkeiten hoch ist, wird durch die im Vergleich zu den zugrunde liegenden Sterbenswahrscheinlichkeiten hohen Sicherheitszuschlfige der DAV-Sterbetafel 1994 T und des CA-Verfahrens angemessen berficksichtigt, w~ihrend die fiir die Verbandstafel 1986 gewfihlten Sicherheitszuschlfige in dieser Altersklasse unter Berficksichtigung der heutigen Sterblichkeit zu hoch erscheinen. Um eine Aussage fiber die Qualitfit dieser Sicherheitszuschlfige zu erhalten, berechnen wir ffir die L~ mit den Sterbenswahrscheinlichkeiten der DAV-Sterbetafel 1994 T, die sich aus den verschiedenen Sicherheitszuschlagssystemen (im Tabellenkopf angeffihrt) ergeben, die erwarteten Todesf~ille des gesamten Bestandes und setzen sie ins Verhiltnis zu den mit den q:werten ohne Sicherheitszuschlag erwarteten Todesffillen. Die in der Spalte q~ angegebenen Werte beziehen sich auf das in 3.2 dargestellte kanadische Verfahren mit c = 15%o. Die in der letzten Spalte angegebenen Werte stammen aus dem analogen Vergleich zwischen der Verbandstafel von 1986 und den zugrunde liegenden Sterbenswahrscheinlichkeiten Es ergibt sich die folgende TabeUe: q~ ~t~ q~ qvb zu qsls3 Minner 1,04 1,12 1,06 1,0 Frauen 1,04 1,12 1,06 1,25 505

10 Dureh den statistischen Schwankungszuschlag gewinnt man fiir die Gesamtzahl der Todesfille also eine Sicherheitsmarge von 4%, und durch den ~nderungszuschlag weitere 8%. 5. Unternehmenseigene Sterbetafeln 5.1 Verfahren zum Erstellen der Sterbetafel Stellt ein Unternehmen in seinem Versichertenbestand Untersterblichkeit fest und m6chte aufgrund dessen niedrigere Sterbenswahrscheinlichkeiten als die der DAV- Sterbetafel 1994 T verwenden, so mub diese Untersterblichkeit statistisch geprift werden. Eine Absenkung sollte nut dann vorgenommen werden, wenn die obere Schranke der beobachteten Todesfille zum Niveau 1- ~t niedriger ist als die untere Grenze des Sicherheitsintervalls zum Niveau 1 - ~ um den Erwartungswert, der mit den Wahrscheinlichkeiten der Bev6lkerungstafel ermittelt wurde. Dariiber hinaus sollte man absichern, dab das Sterblichkeitsniveau fiir die meisten Alter des relevanten Altersbereiches niedriger als das Niveau der Bev61kerungstafel ist, z. B. durch einen Vorzeichenwechseltest ([3] S. 62f.). Das,~nderungsrisiko sollte genauso wie bei der DAV-Sterbetafel 1994T angesetzt werden, da man bei einem Versichertenbestand als Teilmenge der Bev61kerung grunds~itzlich mit dem gleichen ~,nderungsrisiko rechnen mub. Zusitzlich mub noch beriicksichtigt werden, dab zwar die bei deutschen Versicherungsunternehmen beobachtete Versichertensterblichkeit in etwa 20~ unter der Bev61kerungssterblichkeit liegt und dab dieser auch in der DAV-Sterbetafel 1994 T enthaltene, zusfitzliche implizite Sicherheitszuschlag auch bei unternehmenseigenen Tafeln zu beriicksichtigen ist. Diesen Anforderungen wird man durch den folgenden Ansatz gerecht: ~ = rx (q~ + 0,2 q~), (9) wobei der additive Zuschlag von 0,2 q~ das ~nderungsrisiko von einer Versichertensterblichkeit hin zur Bev61kerungssterblichkeit ber~icksichtigen sol1. Die q~ sind die mit einem statistischen Sicherheitszuschlag versehenen ausgeglichenen unternehmenseigenen Sterbenswahrscheinlichkeiten q~. Zum Ausgleichen wird in den folgenden Beispielen das Verfahren von Whittaker-Henderson verwendet [3], das qualitativ die gleichen Ergebnisse liefert wie das Verfahren von Reinsch. Zur Bestimmung der q~ werden zwei Verfahren vorgeschlagen: () Ableitung aus unternehmenseigenen Beobachtungsdaten, () Ableitung aus der DAV-Sterbetafel 1994T. zu (): Die Ableitung nach Verfahren () kann nur f'tir den Altersbereich erfolgen, fiir den die Voraussetzungen (a) bis (c) aus Abschnitt 2.1 erfiillt sind. nsbesondere mub die Anzahl der beobachteten Todesfille je Alter gr6ber oder gleich 5 sein. Die Ableitung der q~ erfolgt nach dem gleichen Verfahren wie die Ableitung der q~ fiir die DAV-Sterbetafel 1994T, wobei start des Modellbestandes L~ der unternehmenseigene Bestand L~ herangezogen wird, d. h. q~ = q~ + s~ ~ wird als obere Konfidenzschranke fiir die unternehmenseigenen q~ zum Gesamtniveau 1-ct ffir T (fiir jedes Alter zu einem Niveau 1-c t*) bestimmt (siehe Formeln (5), (6) und (7)). n allen Altersbereichen, in denen das Verfahren () mfglich ist, darf es nicht durch das Verfahren () ersetzt werden. 506

11 zu (): Erfiillt der Bestand eines Unternehmens, fiir den eine Sterbetafel erstellt werden sou, in einigen Altersbereichen nicht die Voraussetzungen (a) bis (c) aus Abschnitt 2.1, oder ist der Bestand in diesen Altersbereichen derart inhomogen, dab bei mehreren Altern nicht mindestens 5 Todesfille beobachtet werden k&nnen, weicht die Sterblichkeit in diesen Altersbereichen aber yon der Versichertensterblichkeit, die der DAV-Sterbetafel 1994T implizit zugrunde liegt, signifikant ab, so erm6glicht das Verfahren () trotzdem die Aufstellung unternehmenseigener Sterbenswahrscheinlichkeiten auch fiir dieses Alter. Beim Verfahren () wird im ersten Schritt gepriift, ob Altersgruppen Xi = [xi~, xij, i = 1..., n so zusammengefabt werden k~snnen, dab ~ t~ > 5 fiir jede Altersgruppe gilt. st dies erfiillt, so bilden wir xexi ET~ = ~ xexi L~ qx die mit der Bev61kerungssterbetafel erwarteten Todesfille aus L~, KTi = ETi - ux-~ ~fx~xi L~ qx(1 -qx) eine unter Schranke von ET i zum Niveau 1-ct, BT~ = ~2 t[ xexi die beobachteten Todesfille aus L~, OTi = BTi + ul_~ Vx~Xi L: qx"(1-q:) eine obere Schranke von BT zum Niveau 1- e, OT~ und setzen fiir x ~ Xi q~ = qx ~ii' wenn KT > OT~ gilt. Nun besteht die Gefahr, dab die ntervallbreite so grob gewihlt wird, dab innerhalb eines ntervalls grobe Schwankungen des relativen Untersterblichkeitsniveau auftreten, was zu einer Quersubvention fiihren kfnnte. Um das zu vermeiden, daft die ntervallinge m nicht gr6ber als 10 sein. Diese Forderung gilt nur fiir den Altersbereich 20 bis 70 Jahre, da die Belegungszahlen in den Randbereichen hiufig so klein sind, dab diese Forderung sonst nicht erfiillbar wire. Wie beim Verfahren () wird das Sterblichkeitsinderungsrisiko durch den Faktor r X und das ~nderungsrisiko der Versichertensterblichkeit durch den additiven Zuschlag von 0,2 q] beriicksichtigt. Fiir die Altersbereiche, fiir die keine Bestinde vorhanden sind oder deren Bestinde zu klein sind, k6nnen die Werte der DAV-Sterbetafel 1994T benutzt werden. Durch nterpolation in den Randbereichen lassen sich unerwiinschte Spriinge im Verlauf der Sterbenswahrscheinlichkeiten vermeiden Beispiel J~r die Ableitung einer unternehmenseigenen Sterbetafel Hier wird fiir das Altersintervall 1 bis 70 Jahre eines Teilbestandes eines groben deutschen LVU, L" = )~ L~ mit t" = ~ t~ Gestorbenen, die Erstellung einer unternehmenseigenen x z Sterbetafel exemplarisch dargelegt. 1. Schritt: Die Voraussetzungen (a) bis (c) werden iiberpriift. nsbesondere wird ermittelt, fiir welche Alter x oder Altersintervalle Xi die Bedingung t x > 5 bzw. txi > 5 erfiillt ist. 507

12 n diesem Beispiel bilden wir die Teilintervalle 1-20, 21-30, sowie Jahre. Ffir diese ntervalle werden nach Verfahren () Absenkungsfaktoren ermittelt. Ffir das Altersintervall Jahre werden die Sterbenswahrscheinlichkeiten nach Verfahren () ermittelt. 2. Schritt: Die relativen Sterbenshiutigkeiten werden mit dem Whittaker-Henderson-Verfahren ausgeglichen, wobei die G1itte fiber die 3. Differenzen mit G1ittemaB 1 vorgewihlt wird (siehe [3] und Kurzbeschreibung in Ziffer 5.3) z.b. 3. Schritt: qso u = 2, 329ooo q~5 = 0, 808ooo. Berechnung des (1-~*)-Fraktils u 1 _~, mit Formel (7) 4. Schritt: u 1 _~. = 0,4207 und damit 1 -et* = 0,663. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten q~" ffir die Sterbetafel mit Formel (9) Verfahren (): ffir Alter 50 ( ]0,002329(1-0,002329) ) Cl~ = 1,07 0, Uo,663 V ~ + 0,2 0, = 0, Veffahren (): ffir Alter 25 Die Absenkungsfaktoren OTiKT i betragen ffir Alter 1-20: 0, Alter 21-30: 0, Alter 31-34: 0, Alter 67-70: 0, Cl~ = 1,15 (0, , ,2 0,001123) = 0, Ergebnisse der beiden Verfahren () und () zeigen die Tabelle 3 sowie Grafik 4. Bei dem in Tabelle 3 angegebenen Bestand betrfigt der Erwartungswert an Gestorbenen, berechnet mit der Versichertensterblichkeit, 42% des Erwartungswertes der Gestorbenen, berechnet mit der Bev61kerungssterblichkeit. Der analoge Erwartungswert, berechnet mit der Versichertensterblichkeit einschlieblich Zuschligen, betrigt dagegen 70% des Erwartungswertes an Gestorbenen, berechnet mit den Sterbenswahrscheinlichkeiten der DAV- Sterbetafel 1994T Beschreibung des Ausgleichsverfahrens yon Whittaker-Henderson Das Verfahren von Whittlker-Henderson [3] basiert auf der L6sung der Optimierungsaufgabe, die Summe eines MaBes ffir die Anpassung der ausgeglichenen an die beobachteten Werte und eines MaBes ffir die G1itte der ausgeglichenen Werte zu minimieren. 508

13 Seien Q = (q~, qx ~... q~ + n) der Vektor der n + 1 beobachteten und Q* * * * = (q~, qx ~... qx der Vektor der n + 1 ausgeglichenen Werte. Mit dem Anpassungsmal3 ~ (qxo+k- * q,o+k)2 und dem GlfttemaB ~ (ASq*+k)2 mit,4 q~ (-l) ~ q~* ~ v als Operator der s-ten Differenzen lautet die Optimie- v=o rungsaufgabe Y k=o w~(q*+k - q~+k)2+ g E (A'q*+~) 2 = rain. k=o n-s Die w =(Wo,Wl... wn) sind zusitzliche positive Gewichte mit Z w~ = 1 z.b. Lk k=o wk =, und gist eine positive Konstante, die es uns gestattet, die Glftte zu gewichten. n j=o W sei die (n + 1) x (n + 1)-Diagonalmatrix der w~, und sei die (n + 1) x (n + 1)-Einheitsmatrix. K sei die (n-s + 1) x (n + 1)-Matrix der s-ten Differenzen (= Binomialkoettizienten der Ordnung s mit alternierendem Vorzeichen). Mit diesen Bezeichnungen lautet das Optimierungsproblem Man erhflt den L6sungsvektor (Q* - Q)t W(Q* - Q) + g(kq*)t KQ* = roan. Q* -- (W + gktk)- 1WQ. Dieses Ausgleichsverfahren lfbt rich auch auf den 2-dimensionalen Fall erweitem, um z.b. selektionsabhfngige Wertereihen auszugleichen Selektionseinflufl Bei der Erstellung von Tafeln auf der Grundlage von Versichertengesamtheiten mul3 der EinfluB der Selektion beriicksichtigt werden, d.h. die durch die Gesundheitspriifung bedingte geringere Sterblichkeit in den ersten Jahren der Versicherung. Die einfachste Methode, diesen SelektionseinfluB auszuschalten, besteht darin, nur Bestfinde heranzuziehen, die jilter als 5 Jahre sind. Diese Methode hat den Nachteil, dab man eventuell grobe Teile des Beobachtungsmaterials nicht verwenden kann. Will man (um das gesamte Beobachtungsmaterial auswerten zu k6nnen) aus der Gesamtsterblichkeit des Unternehmens (also mit SelektionseinfluB) eine Sterblichkeit ohne Selektionseinflul3 bestimmen, so wird nachfolgendes Nfherungsverfahren vorgeschlagen. Wir bezeichnen mit qx die Sterblichkeit der x-jfhrigen (unter Beriicksichtigung aller Beobachtungen), q~ die Sterblichkeit der x-jfhrigen aul3erhalb der Selektionsdauer (normale Sterblichkeit), q] die Sterblichkeit der x-jfhrigen innerhalb der Selektionsdauer (Sterblichkeit unter EinfluB der Selektion), bx den Anteil der Versicherten x-jfhrigen auberhalb der Selektionsdauer 509

14 und setzen Aus den Beobachtungen r Dann gilt: v x = q~q~ 9 sich selbstverstindlich: qx = bx q~ + (1 - b,) q~. q,"=f,q, mit fx=l(b,+(1-b,)vx). Wir w~ihlen f= 1(b + (1 - b) v) altersunabhingig, wobei b und v jeweils als arithmetisches Mittel der b, bzw. v X fiber den relevanten Altersberr yon z. B. 30 bis 65 Jahren gebildet werden. Diese N~iherung ergibt gute Obereinstimmung mit tatsichlichen Werten. F fir b < 50% konnte das N~iherungsverfahren nicht fiberpriift werden. Bei einem Versicherungsunternehmen mit hohem Neugeschiftsanteil, der bei einer Neugrfindung oder bei einer hohen Neugesch~iftssteigerung vorliegen kann, r man wegen des relativ kleinen b erwartungsgemiib ein grsberes f. st beispielsweise 0,8 der Wert ffir v, so erhilt man bei einem Wert yon 0,85 fiir b einen durchschnittlichen Faktor yon f= 1,03. st dagegen 0,5 der Wert von b, so steigt fauf 1,

15 6. Anhang 6.1. Literatur [1] Continuous Mortality nvestigation Reports No. 11, nstitute of Actuaries and the Faculty of Actuaries, periodisch erscheinende Reports, Bezugsadresse: nstitute of Actuaries Napier House 4 Worcester Street Oxford OX1 2AW [2] Wirtschaft und Statistik Allgemeine Sterbetafel [3] Methodik von Sterblichkeitsuntersuchungen Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik, Heft 15 Verlag Versicherungswirtschaft e.v., Karlsruhe 1985 [4] Provision for Adverse Deviation Canadian nstitute of Actuaries January 1990 Bezugsadresse: Canadian nstitute of Actuaries 360 Albert Ottawa Ontario, K1R7X7 [5] Statistische Methoden Lothar Sachs Springer Verlag, 5. Auflage 1978 Grafiken Ferzeichnis yon Grafiken und Tabellen Sterblichkeitsentwicklung Sterblichkeit (alte und neue Bundeslinder) Vergleich der DAV-Sterbetafel 1994T mit qs6ss und qvb mit qs~83 Vergleich der DAV-Sterbetafel 1994T mit unternehmenseigener Sterbetafel Vergleich der DAV-Sterbetafel 1994T mit anderen Sterbetafeln DAV-Sterbetafel 1994T und die zugrunde liegenden Sterbenswahrscheinlichkeiten Tabellen 1 DAV-Sterbetafel 1994T Minner 2 DAV-Sterbetafel 1994T Frauen 3 Unternehmenseigene Sterbetafel 511

16 " l Sterblichkeitsentwicklung 0.x o.x8082 H~nner X\x \ \\ - % \,l! - \\ \ -,,.,,, Alter Sterbichkeitsentwicklung ctx7880 Frauen ----qx848b.... ~x8685(=10,%). i ill \ \ \ '# \ ~~.,,.~._ J ~ \,. >.-~ Alter Grafik 1 512

17 i t t i\ i \ \ \ \ \ X l 1 X 1 \,, l \ j-!! " ~ S~erbLiehkei~ M3nner qx889q alte BL('iESX)..... ~x8889 neue BL 9 --qx88ge ai~e+neue BL '\ ',,,,",," \, 9 -., \ \ AL~er ;i! i!! Sterblichkeit Frauen q.~oo::llo ill"te DLL'XWWToJ q.y8889 'neue 'RL 9.--oy8898 al'te+'neue ]BL \\! \! \ X \ \ \ \ \ \ \! \ \\ - ~.-~.,, -~.."~. \i f"f~- ' "-~""! \ Grafik 2 Al'ter 513

18 ., J vetgleich S~erbetafetn ~xvbsbqx8183 ~-xr 1 g 2O i 4g bo 80 leo Rl~er Vergleich S~erbe~afeln qyvbsbqy q-yr e 2g 4g Alter bo O0 100 Grafik 3 514

19 Vergleich ~V-SterbetafeL 1994 T mit unternehmenseigner SterbetafeL Alter 35 - b4 Verfahren (Z) Bereich 1-20~ 21-30~ 31-34, b5-7e Verfahren () o,-xr q-xur () clxu S s?-" ~ f Alter b0 7e Grafik 4 ' ' % \., \,.,"~\. \ Vergleich DAV-S~erbe*afel 1994 T mit un*ernehmenseigner Sterbetafe Alter 35 - b4 Verfahren () Bereich - 20, 21-30, 31-34, b5-7e ~-xr " 100g q-xur () ~xu \ 30 Alter "~ \ \ j ~. "\.,',.f--' s # b

20 - ',, [,,.7 ~ i ',., \.j -,.,4.s ;~.,~.~ -, _ -~.~-~.s. ' 111 p Sterbe~afel 19Bb88 Vergleich HTinner q xvbeb = 188X o. xr o.xc J ctx bo At~er, t ~ t # ~._-~_ i.~_-.~.~_:~" t lk,, "-" ~-.~."." \ "- ". " '"~ 8 28 StQrbe~afQl lgbbbb Verg eioh Frauen q~vbbb = 1~0~ ya ~yc ~y8688 4a Al~er Grafik 5 516

21 0.1 f ~J J JJ O. 001 LL- -L~ y 9 \ " ~,J! S~erbetafetn M~nner q~vbob q xg qxbbb8 O 2D 40 bo ALter 2: J ~Y.... S~erbetafeln Frauen. ~ q~vbsb q~ i i i qy~b g 6g 8g lee Al~er Grafik 6 517

22 Tabelle 1. DAV-Sterbetafel 1994T Minner q~ q~ q~a q~ Alter t x L~ q~ q~ q~ -- q~ -- q, q~ q~a ,253 9,739 11, ,31 102,26 10, , ,705 0,840 1, ,87 129,98 141,79 100, ,493 0,606 0, ,60 143,48 202,81 72, ,355 0,452 0, ,57 161,19 281,45 54, ,306 0,394 0, ,76 172,10 326,91 47, ,291 0,377 0, ,46 176,90 343,68 45, ,276 0,361 0, ,51 182,16 361,78 43, ,258 0,340 0, ,34 189,44 387,97 40, ,236 0,316 0, ,60 199,28 424,16 37, ,217 0,293 0, ,35 209,71 461,51 35, ,205 0,279 0, ,46 218,02 488,69 33, ,202 0,276 0, ,54 221,38 494,61 33, ,209 0,283 0, ,41 219,20 477,87 33, ,233 0,309 0, ,46 208,92 429,50 37, ,293 0,376 0, ,82 187,88 340,79 45, ,402 0,494 0, ,50 165,24 253,73 58, ,556 0,660 0, ,30 147,96 228,28 62, ,751 0,866 1, ,39 136,13 212,98 64, ,956 1,081 1, ,67 128,87 194,47 69, ,069 1,197 1, ,40 126,29 174,91 76, ,102 1,230 1, ,95 125,96 170,61 78, ,091 1,217 1, ,25 126,69 173,17 78, ,065 1,189 1, ,60 127,87 178,40 77, ,038 1,160 1, ,19 129,13 183,98 77, ,016 1,138 1, ,22 130,34 188,89 76, ,003 1,125 1, ,13 131,35 192,37 76, ,001 1,125 1, ,42 132,05 193,75 76, ,013 1,139 1, ,74 132,34 192,53 75, ,038 1,168 1, ,16 132,22 188,76 75, ,076 1,210 1, ,13 131,76 183,01 74, ,122 1,260 1, ,57 131,14 176,48 74, ,172 1,316 1, ,90 130,47 169,73 74, ,230 1,379 1, ,09 129,73 162,67 74, ,295 1,450 1, ,77 128,90 155,21 77, ,373 1,533 1, ,45 127,90 147,07 81, ,632 1, ,03 126,76 145,84 81, ,576 1,746 1, ,53 125,54 145,90 81, ,700 1,876 2, ,05 124,29 145,85 80, ,841 2,025 2, ,69 123,02 146,64 80, ,003 2,200 2, ,52 121,74 146,29 80, ,189 2,401 2, ,34 120,43 145,25 80, ,405 2,638 2, ,36 119,13 142,61 82, ,650 2,885 3, ,46 117,86 139,98 83, ,928 3,166 3, ,71 116,64 137,32 84, ,239 3,482 3, ,01 115,49 134,59 85, ,588 3,832 4, ,27 114,42 132,38 86, ,975 4,226 4, ,75 113,43 131,06 86, ,401 4,657 4, ,21 112,52 131,55 86, ,873 5,147 5, ,01 111,68 131,94 85, ,401 5,696 6, ,84 110,89 131,83 85, ,993 6,309 6, ,65 110,16 130,83 86,11

23 Tabelle 1 (Fortsetzung) Alter t~ L~ q x q~ r qx q~ qx q7 q~ qvb ,655 6,995 7, ,47 109,47 128,78 87, ,391 7,759 8, ,33 108,83 126,24 88, ,202 8,612 9, ,35 108,25 123,51 90, ,082 9,528 10, ,25 107,73 121,34 92, ,029 10,501 11, ,04 107,27 119,95 93, ,044 11,532 12, ,73 106,86 119,52 93, ,127 12,635 13, ,48 106,50 119,90 92, ,283 13,817 14, ,30 106,17 120,61 92, ,521 15,094 16, ,22 105,89 121,41 91, ,854 16,472 17, ,17 105,62 121,86 91, ,296 17,965 19, ,14 105,38 122,00 91, ,860 19,585 20, ,12 105,16 122,01 91, ,561 21,339 22, ,05 104,95 122,18 90, ,416 23,232 24, ,89 104,76 122,63 90, ,455 25,302 27, ,71 104,58 123,45 89, ,710 27,618 29, ,64 104,41 124,48 88, ,228 30,234 32, ,68 104,24 125,53 88, ,057 33,301 35, ,15 104,07 126,55 87, ,238 36,658 39, ,31 103,90 127,45 87, ,812 40,306 43, ,12 103,74 128,18 86, ,820 44,299 47, ,70 103,59 128,66 86, ,297 48,701 52, ,18 103,44 128,80 85, ,277 53,712 57, ,94 103,30 128,43 85, ,783 59,290 63, ,79 103,16 127,60 86, ,830 65,457 70, ,73 103,04 126,48 86, ,429 72,194 77, ,68 102,93 125,25 87, ,593 79,508 85, ,64 102,82 124,11 88, ,336 87,415 93, ,61 102,73 123,15 89, ,674 95, , ,59 102,65 122,25 89, , , , ,60 102,57 121,40 90, , , , ,63 102,50 120,52 90, , , , ,68 102,44 119,54 91, , , , ,76 102,39 118,49 92, , , , ,88 102,34 117,34 93, , , , ,03 102,30 115,94 94, , , , ,23 102,27 113,98 96, , , , ,51 102,24 112,16 98, , , , ,87 102,21 110,29 100, , , , ,31 102,19 108,39 102, , , , ,79 102,18 106,45 105, , , , ,40 102,17 104,49 107, , , , ,11 102,17 102,51 110, , , , ,97 102,17 100,52 113, , , , ,10 102,19 98,53 116, , , , ,34 102,23 96,54 120, , , , ,04 102,31 94,55 124, , , , ,53 102,46 92,58 130, , , , ,34 102,76 90,62 136, , , , ,23 103,55 88,67 142, , , , ,37 107,42 247,32 52,71 Summe

24 Tabelle 2. DAV-Sterbetafel 1994T Frauen Alter t x L~ q~ q~ q~ -- qx qx q~ qvb ,016 7,503 9, ,32 102,73 14,25 900, ,582 0,722 0, ,86 133,35 171,79 86, ,402 0,520 0, ,02 148,86 248,56 62, ,273 0,370 0, ,62 172,98 366,47 44, ,204 0,287 0, ,80 198,79 489,60 34, ,179 0,256 0, ,85 214,35 559,19 30, ,169 0,244 0, ,50 222,65 591,72 29, ,161 0,235 0, ,57 230,59 621,43 28, ,155 0,229 0, ,42 237,54 645,41 27, ,150 0,223 0, ,34 243,88 665,69 26, ,146 0,217 0, ,11 250,64 687,00 26, ,145 0,217 0, ,88 253,01 687,71 26, ,151 0,222 0, ,24 250,01 664,32 26, ,161 0,234 0, ,27 241,98 619,39 28, ,181 0,256 0, ,29 228,28 551,18 30, ,216 0,294 0, ,99 209,21 471,31 34, ,265 0,346 0, ,07 190,71 392,97 39, ,314 0,400 0, ,60 177,61 337,29 45, ,360 0,448 0, ,27 168,86 300,09 49, ,379 0,467 0, ,63 166,41 290,01 50, ,380 0,466 0, ,27 167,36 294,57 50, ,376 0,461 0, ,78 169,21 302,91 49, ,374 0,457 0, ,92 170,94 310,58 48, ,375 0,459 0, ,38 171,93 314,78 47, ,380 0,465 0, ,24 172,17 315,54 46, ,388 0,475 0, ,16 171,95 314,08 45, ,401 0,491 0, ,47 170,90 308,86 45, ,421 0,514 0, ,93 168,88 299,24 46, ,447 0,546 0, ,92 166,14 286,39 47, ,479 0,581 0, ,65 162,88 275,37 48, ,518 0,626 0, ,87 159,31 262,36 50, ,561 0,674 0, ,00 155,90 249,50 52, ,606 0,725 0, ,18 152,82 240,86 53, ,654 0,779 0, ,31 149,96 235,30 54, ,709 0,838 0, ,53 147,10 228,46 55, ,773 0,908 0, ,69 144,17 219,99 57, ,847 0,988 1, ,79 141,19 213,61 58, ,932 1,080 1, ,96 138,28 205,91 60, ,027 1,184 1, ,35 135,57 197,66 62, ,130 1,299 1, ,03 133,10 189,38 64, ,241 1,424 1, ,75 130,86 182,07 67, ,362 1,563 1, ,79 128,83 176,23 69, ,492 1,693 1, ,47 126,98 171,62 70, ,631 1,836 1, ,42 125,31 168,59 71, ,780 1,987 2, ,46 123,81 165,73 72, ,938 2,145 2, ,41 122,46 164,06 72, ,107 2,318 2, ,69 121,23 163,24 72, ,289 2,501 2, ,91 120,10 162,51 71, ,488 2,712 2, ,67 119,03 162,01 72, ,706 2,945 3, ,47 118,02 161,89 71, ,946 3,201 3, ,23 117,05 160,87 72,25

25 Tabelle 2 (Fortsetzung) Alter t~ L M q~ q~ ~1~ q~ q~ q~ qvb q~ qvb ,213 3,484 3, ,00 116,12 159,95 72, ,511 3,800 4, ,82 115,23 157,81 73, ,840 4,159 4, ,90 114,38 155,22 74, ,200 4,544 4, ,76 113,59 152,61 75, ,595 4,956 5, ,39 t12,85 149,93 76, ,029 5,399 5, ,87 1t2,16 147,93 77, ,507 5,890 6, ,44 111,52 148,19 77, ,035 6,434 6, ,07 110,91 148,97 76, ,620 7,038 7, ,76 110,33 149,56 76, ,266 7,701 8, ,40 109,78 149,59 75, ,980 8,432 9, ,05 109,28 149,37 75, ,768 9,238 9, ,73 108,80 148,61 75, ,638 10,130 10, ,46 108,36 148,16 75, ,602 11,112 11, ,14 107,94 147,90 75, ,674 12,200 13, ,82 107,55 148,11 75, ,870 13,431 14, ,66 107,18 148,79 75, ,217 14,836 15, ,66 106,82 149,82 74, ,747 16,511 17, ,19 106,48 151,27 74, ,497 18,371 19, ,35 106,14 153,06 73, ,512 20,431 21, ,04 105,81 155,19 72, ,845 22,752 24, ,44 105,49 155,92 71, ,553 25,412 27, ,74 105,17 156,28 70, ,694 28,576 30, ,41 104,87 155,92 70, ,317 32,247 34, ,18 104,57 154,90 71, ,469 36,477 39, ,04 104,30 153,32 71, ,201 41,294 44, ,91 104,04 151,27 72, ,557 46,742 50, ,78 103,81 149,00 73, ,584 52,873 56, ,67 103,59 146,64 74, ,324 59,739 63, ,60 103,40 144,31 75, ,817 67,384 72, ,55 103,23 142,05 77, ,094 75,842 81, ,52 103,07 139,79 78, ,184 85,137 91, ,51 102,94 137,59 79, ,114 95, , ,51 102,82 135,39 80, , , , ,52 102,71 t33,25 82, , , , ,56 102,62 131,20 83, , , , ,63 102,54 129,08 84, , , , ,73 102,47 127,27 86, , , , ,87 102,41 125,02 87, , , ,318 1t0,03 102,36 122,39 89, , , , ,24 102,33 119,42 92, , , , ,53 102,30 117,31 94, , , , ,89 102,28 114,88 96, , , , ,34 102,27 112,17 99, , , , ,94 102,28 109,23 102, , , , ,70 102,32 106,08 106, , , , ,88 102,40 102,76 110, , , , ,13 102,55 99,30 115, , , , ,82 102,88 95,73 122, , , , ,84 103,72 92,08 129, , , , ,27 107,86 261,93 46,30 Summe

26 Tabelle 3. Unternehmenseigene Sterbetafel u~ Alter t~ L~ q[ q[" q~ + 0,2q~ ~1~ 9 q~ O ,008 0,596 0,763 0,916 91, ,054 0,417 0,537 0,645 88, ,095 0,300 0,390 0,468 86, ,131 0,258 0,337 0,404 85, ,162 0,246 0,321 0,385 85, ,187 0,234 0,305 0,366 85, ,208 0,218 0,285 0,343 84, ,226 0,199 0,262 0,314 83, ,243 0,183 0,241 0,290 82, ,262 0,173 0,228 0,274 82, ,285 0,171 0,226 0,271 82, ,314 0,177 0,233 0,280 82, ,351 0,197 0,258 0,310 83, ,394 0,248 0,323 0,387 86, ,442 0,340 0,438 0,526 89, ,494 0,470 0,602 0,722 91, ,549 0,635 0,808 0,969 93, ,605 0,808 1,024 1,229 94, ,659 0,903 1,142 1,371 95, ,709 0,931 1,177 1,412 95, ,752 0,951 1,194 1,420 96, ,786 0,928 1,165 1,375 93, ,808 0,904 1,136 1,329 90, ,816 0,885 1,112 1,290 87, ,808 0,874 1,098 1,263 85, ,785 0,872 1,097 1,250 84, ,750 0,882 1,109 1,254 85, ,706 0,904 1,137 1,274 86, ,658 0,938 1,179 1,309 88, ,613 0,977 1,229 1,352 91, ,579 0,386 0,649 0,707 47, ,564 0,405 0,680 0,734 49, ,576 0,426 0,716 0,766 49, ,612 0,452 0,758 0,811 49, ,666 0,773 1,098 1,175 67, ,723 0,832 1,180 1,263 67, ,775 0,873 1,248 1,335 66, ,816 0,916 1,320 1,412 65, ,845 0,939 1,378 1,474 62, ,869 0,955 1,434 1,534 59, ,906 0,986 1,513 1,619 57, ,979 1,058 1,634 1,748 56, ,110 1,185 1,817 1,944 57, ,305 1,391 2,087 2,233 60, ,546 1,635 2,401 2,569 62, ,799 1,897 2,741 2,933 64, ,013 2,111 3,041 3,254 65, ,157 2,262 3,291 3,52 64, ,245 2,354 3,492 3,737 61, ,329 2,443 3,704 3,963 58, , ,14 490,64 308,13 238,08 195,78 164,67 139,29 119,41 104,78 95,04 88,97 88,35 98,42 119,00 146,07 176,41 203,10 208,01 199,18 188,82 174,86 164,44 158,18 156,34 159,16 167,17 180,56 199,02 220,55 122,12 130,15 133,03 132,44 176,42 174,57 172,32 173,17 174,50 176,56 178,65 178,54 175,54 171,13 166,12 163,07 161,63 163,28 166,43 170,16