1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve.

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1 1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1) Für a R n und x = 0 ist γ(t) = a + t x = sind also Kurven a 1 + tx 1 a n + tx n eine Kurve Graden 2) Für x, y R n ist γ : [0, 1] R n, γ(t) = x + t( y x) die Verbindungsstrecke zwischen x und y Bemerkung: Ist γ : I R R n und sind die Funktionen γ i : D R R alle differenzierbar im Punkt a I, so gilt: für t mit t a < δ i γ i (t) [ γ i (a) + γ i (a)(t a)] γ i (t) [γ i (a) + m i (t a)] Wählen wir δ := min{δ i }, so haben wir, nach Quadrieren und Aufsummieren über alle i und anschließendem Wurzelziehen: γ(t) [ γ(a) + γ (a)(t a) ] γ(t) [γ(a) + m(t a)] γ 1 (t) und m = m 1 und t a < δ Dann ist also γ(a) + γ (a)(t a) mit γ (t) = γ n(t) m n die bestapproximierende Gerade durch γ(a) für t nahe bei a (Man überzeuge sich, daß auch die Umkehrung gilt) Das gibt Anlaß zu der folgenden Definition: i) Eine Kurve γ : I R R heißt differenzierbar in a I, wenn für γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) alle Komponentenfunktionen γ i in a differenzierbar sind Wir bezeichnen die Ableitung mit γ γ 1 (t) (t) := γ n(t) γ (t) heißt der Tangentenvektor (oder auch Geschwindigkeitsvektor) von γ(t), γ (t) die Bahngeschwindigkeit Ist γ (t) = const für alle t, so beschreibt γ eine gleichförmige Bewegung

2 Ist γ (t) = 1, so heißt γ nach der Bogenlänge parametrisiert (ndbp) T γ (t) := γ (t) γ heißt der Tangenteneinheitsvektor (t) ii) Analog ist es sinnvoll, falls alle Komponentenfunktionen einer Kurve integrierbar sind, vom Integral der Kurve als komponentenweises Integral zu definieren Definition: Ist γ nach ndbp, so definieren wir die Krümmung κ(t) := T (t) Bemerkung: Für eine allgemeine (dh nicht ndbp), gilt im R 3 : κ(t) = γ (t) γ (t) γ (t) 3 Beispiel: i) Für eine Gerade g(t) = a + t v, mit v = 1 Ist g (t) = v und v = 1 Daher ist κ(t) = 0 r cos t ii) Ist γ(t) = eine Parametrisierung des Kreis um 0 mit Radius r, so ist γ (t) = r sin t sin t r und γ (t) = r Wir betrachten also cos t γ(t) := ( r cos( 1 r t) r sin( 1 r t) Dann ist γ (t) = r 2 (sin( 1 r t)2 1 + r r 2 (cos 1 2 r t) 1 = 1 und γ (t) = 1 r 2 r Bemerkung: Sind γ, ρ zwei Kurven, λ R, gilt (γ + ρ) = γ + ρ und (λρ) = λρ Ist f : R R eine differenzierbare Funktion, so gilt (γ( f (t)) = γ 1 ( f (t) (γ n ( f (t)) = ) γ 1 ( f (t)) f (t) γ n( f (t)) f (t) = f (t)γ ( f (t)) cos(t) cos(2t) Beispiel: Die Kurven γ, ρ : [0, 2π] R 2, γ(t) = und ρ(t) = sin(t) sin(2t) Beide durchlaufen den Einheitskreis, allerdings macht ρ das zweimal Es ist γ (t) = 1 und ρ(t) = 2 Es sind also die Spuren beider Kurven gleich, auch sind beides gleichförmige Bewegungen Aber nur γ ist ndbp Satz: Beschreibt γ eine gleichförmige Bewegung, so gilt γ (t) γ (t) Grund: Es ist Es ist d dt γ i (t)2 = 2 γ (t) 2 = γ i (t)2 n i=1 γ i (t) γ i (t) = 2γ (t) γ (t) = 0

3 Definition: Ist γ : [a, b] R n ndbp, so ist L [a,b] ( f ) := b Bemerkung: i) Für eine beliebige Kurve gilt a L [a,b] (γ) = γ (t) dt = b a b a γ (t) dt 1dt = b a ii) Die Bogenlänge einer beliebigen Kurve ist aber im allgemeinen nur sehr schwer auszurechen Ist beispielsweise γ(t) : [02π] R 2, γ(t) = für a = b eine Ellipse, so ist a cos(t) b sin(t) a sin(t) γ (t) = und γ (t) = a b cos(t) 2 sin(t) + b 2 cos(t) Das Integral 2π 0 γ (t) dt läßt sich nun nicht mehr elementar berechnen Man ist also auf Näherungen angewiesen cos t Beispiel: i) Die Kurve γ(t) : [0, 2π] R 2, γ(t) = beschreibt den Einheitskreis sin t sin t Es ist γ (t) = und γ (t) = 1 γ ist also ndbp Es ist also der Umkreis des cos t Einheitskreises: 2π 0 1dt = 2π Allgemeiner gilt für [0, α] [0, 2π]: L [0,α] (γ) =α Der Winkel α entspricht also dem Weg der 1 cos(α) von Punkt zum Punkt auf dem Einheitskreis zurückgelegt wird 0 sin(α) ii) Ist v R n ein Einheitsvektor, dann ist die Gerade a + t v, t R ndbp, denn a 1 + tv 1 v 1 = a n + tv n v n t iii) Ist f : R R, so ist γ(t) = eine ebene Kurve (und zwar der Graph von f ) Es f (t) ist γ (t) = 1 + f (t) cos(t) iv) Die Kurve γ(t) = sin(t) ist eine Helix 1 2γ(t) ist dann ndbp t 2 Gradienten Wir betrachten in diesem Abschnitt Funktionen von R n nach R Der Graph einer solchen Funktion f ist die Menge {(x 1, x n, f ( x))} Ihre Ableitung wird der Gradient genannt Beispiel: f (x, y) = x 2 + y 2

4 Wir betrachten die Kurven γ : R R n mit γ(0) = a Ist f : R n R, so ist das Kompositum eine Abbildung f γ : R R, bei der man die Frage der gewöhnlichen Differenzierbarkeit in 0 stellen kann Man spricht im Falle der Existenz dieser Ableitung von der Ableitung entlang der Kurve γ von f Wichtiger Spezialfall: Ist γ i = a + t e i spricht man von den partiellen Ableitungen Es ist f x i ( a) = d dt f ( a + t e i) t=0 = ( f γ) (0) die partielle Ableitung von f nach x i Der Ausdruck f f f ( a) := ( a),, ( a) x 1 x n heißt der Gradient von f in a, er ist also der Zeilenvektor aller partiellen Ableitungen Weiter gilt: f γ i (t i ) f (γ i (0)) + ( f γ i ) (0)t i = f ( a) + f x i ( a)t i für t i nahe bei 0 Unter der Voraussetzung, daß alle partiellen Ableitungen existieren und die partiellen Ableitungsfunktionen in a stetig sind, gilt f ( x) [ f ( a) + f ( a)( x a)] f ( x) [ f ( a) + v t ( x a)] für alle Vektoren v R n, für x nahe bei a, dh für x a klein Grund: Wird unten im Abschnitt über die Jacobimatrix allgemeiner gegeben Definition: Für eine Funktion f : D R n R sind die zweiten partiellen Ableitungen in einem Punkt a D gegeben durch 2 f ( a) = f ( a) x i x j x i x j Die Hessematrix hat als Eintrage alle zweiten partiellen Ableitungen: D 2 f ( a) = 2 f ( a) x i x j

5 21 Einschub: Ebenen im R 3 Ist E R 3 eine Ebene und sind x 0, x 1, x 2 E drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so ist E = { x 0 + λ( x 1 x 0 ) + µ( x 2 x 0 ) λ, µ R} Dies ist die sogenannte Drei-Punkte-Form einer Ebene Ein Normalenvektor n ist ein Vektor, der sowohl auf x 1 x 0 als auch auf x 1 x 0 senkrecht steht Wir können also das Kreuzprodukt n = ( x 1 x 0 ) ( x 2 x 0 ) bilden Ist x = x 0 + λ( x 1 x 0 ) + µ( x 2 x 0 ) E, dann gilt: ( x x 0 ) n = 0 Dies nennt man die Normalenform der Ebene Es ist also für n = ax + by + cz = x 0 n a b c und x = x y z : Die Ebene wird also fest gelegt durch einen Normalenvektor und einem Punkt der Ebene Setzen wir noch d = x 0 n, ist E also die Lösungsmenge von ax + by + cz = d Ist c = 0,dh, daß die Ebene nicht vertikal ist, können wir das nach z auflösen: z = 1 (d ax by) c Eine Funktion f : R 2 R der Form f (x, y) = ax + by + c hat also als ihren Graphen eine Ebene Anders aufgeschrieben lautet das: mit a = ( a b ) ( x, x = y Eine Höhenlinie ist für d R die Menge f ( x) = a x + c ) Ihr Gradient ist f ( x) = (a, b) H d ( f ) := { x R 2 f ( x) = d} Sie ist in diesem Fall eine Gerade: ax + by = d c Eine Streichlinie ist übrigens nichts anderes als eine Höhenlinie einer Ebene Ist x(t) = x 0 + t v eine Parametrisierung dieser Geraden in Punkt-Richtungs-Form, so gilt f ( x 0 + t v) = d

6 Ableiten liefert: [ f ( x 0 + t v)] (0) = f ( x 0 ) v = (a, b) v = 0 also ist (a, b) (t v) = (a, b)( x x 0 ) = 0, der Gradient steht also senkrecht auf der Höhenlinie Damit ergibt sich auch, daß alle Höhenlinien parallel sind Für einen beliebigen Einheitsvektor gilt: [ f ( x 0 + t v)] = f ( x 0 ) v = cos ( f ( x 0 ), v) f ( x 0 ) Der Anstieg von f in Richtung v ist also am größten (kleinsten), wenn v f ( x 0 ) Die Richtung des stärksten Abstiegs heißt in der Geologie auch true dip Steigungswinkel einer Geraden: Für eine Gerade g(t) = a + t v im R 2, mit einem Einheitsvektor v = betrachten die Gerade z( a + t v) ihre Steigung ist cos(α) sin(α) z( a + v) z( v) Für den Steigungswinkel gilt also: tan(θ) = z( a + v) z( v) Anwendung: true dip und apparent dip Wir stellen uns vor, daß wir im Gelände auf einer Ebene stehen Als Nullpunkt unseres Koordinatensystems nehmen wir unseren Standort Wir befinden uns also auf der Höhenlinie zu 0 Diese nehmen wir als x Achse Senkrecht dazu steht die Richtung des steilsten Abstiegs Das wird unsere y Achse die z Achse zeigt nach unten Unsere Ebene wird also beschrieben durch die Gleichung z = tan(θ) y, mit θ dem true dip Betrachten wir nun einen Punkt (cos(ϕ), sin(ϕ)) in der Entfernung 1 von uns, der mit der positiven x Achsel den Winkel ϕ einschließt Die Steigung dieser Geraden ist der apparent dip η, es ist z(cos(ϕ), sin(ϕ)) = tan(η) Es z(cos(ϕ), sin(ϕ)) = tan(θ) sin(ϕ) = tan(η) 22 Die Jacobimatrix Für eine allgemeine Abbildung f : R n R m, f ( x) = n Matrix D f ( a), mit f 1 ( x) f m ( x) f ( x) [ f ( a) + D f ( a)( x a)] f ( x) [ f ( a) + A ( x a)] für jede m n Matrix A und x nahe bei a Satz: Diese Tangentenmatrix ist, wenn sie existiert, eindeutig, suchen wir eine m

7 Grund: i) Ist die Funktion von der Form f ( x) = f ( a) + A ( x a) nahe bei a, so ist sie ihre eigene Tangente und damit eindeutig ii) Es seinen zwei Funktionen T( x) = f ( a) + A ( x a) und L( x) = f ( a) + B ( x a) mit m n Matrizen A und B gegeben Sind beide Tangentenmatrizen an f in a, so gilt f ( x) T( x) f ( x) L( x) nahe bei a und f ( x) L( a) f ( x) T( a) nahe bei a Also gilt f ( x) T( x) = f ( x) L( x) für x nahe bei a T( x) und L( x) befinden sich für festes x auf einer Kugeloberfläche um Mittelpunkt f ( x) mit Radius f ( x) T( x) Gibt es ein x 0 nahe bei a, mit T( x 0 ) = L( x 0 ), so ist, wegen der Konvexität der Kugel, der Mittelpunkt T( x 0)+L( x 0 ) 2 näher an f ( x 0 ) als T( x 0 ) und L( x 0 ) Aber T( x)+l( x) 2 ist wieder vom Typ f ( a) + Matrix ( x a), womit T und L keine Tangenten wären Beispiel: i) Ist f (t) = a + t v, so ist f (t) = f (0) + v(t 0) Also ist D f (0) = v ii) Ist π i : R n R, x x i die Projektion auf die i te Komponente, so gilt für jedes a R n : Also ist D f ( a) = e t i f ( x) = x i = a i + (x i a i ) = π i ( a) + e i t ( x a) Satz: Es gelten die üblichen Rechenregeln, dh sind f und g solche Funktionen,λ R, und sind f und g in a differenzierbar, so sind auch f + g und λ f in a differenzierbar und es gilt: D( f + g)( a) = D f ( a) + Dg( a) und D(λ f )( a) = λd f ( a) Sind f und g so definiert, daß f g definiert ist und ist g in a und f in g( a) differenzierbar, so ist auch f g in a differenzierbar und es gilt: D( f g)( a) = D f (g( a)) Dg( a) Grund: i) Kettenregel: Es ist für b := g( a) und y := f ( x) g( x) g( a) + Dg( a)( x a) also und Wir haben g( x) g( a) Dg( a)( x a) f ( y) f ( b) + D f ( b)( y b) f (g( x)) f (g( a)) + D f (g( a)) Dg( a)( x a) Wegen der Eindeutigkeit der Tangente folgt dann die Behauptung Bleibt noch zz: Ist x nahe bei a, so ist auch g( x) nahe bei g( a) Es ist aber g( x) g( a) = Dg( a)( x a), mit konstanter Matrix Dg( a) Ist A eine m n Matrix und z R n, so ist (A z) i = n j=1 a ijz j, also ist (A z) i n k=1 a ij z j, wir also für kleine Komponenten von z ebenfalls beliebig klein ii) Produktregel: Seien f, g : R n R m, dann ist f ( x) f ( a) + D f ( a)( x a)

8 und Also ist g( x) g( a) + Dg( a)( x a) f ( x) g( x) f ( a) g( a) + ( f ( a) Dg( a) + D f ( a) g( a))( x a) also folgt wieder, wegen der Eindeutigkeit der Tangenten: D( f g)( a) = f ( a) Dg( a) + D f ( a) g( a) Bemerkung: Die Projektion p i : R R x x i auf die i te Komponente hat die Ableitung (den Gradienten) e t i Ist f : R n R m in a differenzierbar, so betrachten wir die Gerade g(t) := a + t e j und die verkettete Abbildung π i f g : R R Dann ist d dt (π i f g)(0) = D(π i f g)(0) = Dπ i ( f (g(0)) D( f g)(0) = Dπ i ( f ( a)) D f ( a) Dg(0) = Dπ i ( f ( a)) D f ( a) e j = e t i D f ( a) e j = D f ( a) ij Andererseits ist π i f g(t) = f i ( a + t e j ), also d dt ( f i( a + t e j ))(0) = f i ( a) e j = f i x j ( a) Satz: Ist f : D R n R m in a R total differenzierbar, so ist f in a partiell differenzierbar und es gilt D f ( a) = f 1 ( a) f m ( a) Diese Matrix heißt Jacobimatrix von f = f 1 f 1 x 1 ( a) x n ( a) f m f x 1 ( a) m x n ( a)