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1 Tangentialebene Sei f eine stetig differenzierbare Funktion und p = (p 1,..., p n ) die Koordinaten eines Punktes P auf der durch implizit definierten Fläche. f (x 1,..., x n ) = c Tangentialebene 1-1

2 Tangentialebene Sei f eine stetig differenzierbare Funktion und p = (p 1,..., p n ) die Koordinaten eines Punktes P auf der durch implizit definierten Fläche. f (x 1,..., x n ) = c Ist grad f (p) 0, so hat die Tangentialebene im Punkt P die Gleichung E : (grad f (p)) t (x p) = 0. Der Normalenvektor ist also parallel zu grad f. Tangentialebene 1-2

3 grad f(p) x P Tangentialebene 1-3

4 Speziell ist für den Graph einer Funktion x y = g (x 1,..., x n 1 ) n 1 E : y g(q) = i g(q) (x i q i ) die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (q i,..., q n 1, g(q)) t. Die partielle Ableitung i g entspricht somit der Steigung der Tangentialebene in Richtung der i-ten Koordinatenachse. i=1 Tangentialebene 1-4

5 Beweis: (i) Implizite Darstellung einer Fläche durch f (x 1,..., x n ) = c: Tangentialebene 2-1

6 Beweis: (i) Implizite Darstellung einer Fläche durch f (x 1,..., x n ) = c: Definition der totalen Ableitung f = (grad f ) t = f (x) = f (p) + (grad f ) t (x p) + o( x p ) Tangentialebene 2-2

7 Beweis: (i) Implizite Darstellung einer Fläche durch f (x 1,..., x n ) = c: Definition der totalen Ableitung f = (grad f ) t = f (x) = f (p) + (grad f ) t (x p) + o( x p ) Vernachlässigung des Terms o( x p ), f (x) = f (p) = c Gleichung der Tangentialebene Tangentialebene 2-3

8 Beweis: (i) Implizite Darstellung einer Fläche durch f (x 1,..., x n ) = c: Definition der totalen Ableitung f = (grad f ) t = f (x) = f (p) + (grad f ) t (x p) + o( x p ) Vernachlässigung des Terms o( x p ), f (x) = f (p) = c Gleichung der Tangentialebene (ii) Darstellung einer Fläche als Funktionsgraph y = g (x 1,..., x n 1 ): Tangentialebene 2-4

9 Beweis: (i) Implizite Darstellung einer Fläche durch f (x 1,..., x n ) = c: Definition der totalen Ableitung f = (grad f ) t = f (x) = f (p) + (grad f ) t (x p) + o( x p ) Vernachlässigung des Terms o( x p ), f (x) = f (p) = c Gleichung der Tangentialebene (ii) Darstellung einer Fläche als Funktionsgraph y = g (x 1,..., x n 1 ): n 1 y = i g(q)( x i ) + o( x ) i=1 mit y = y g(q) und x = x q Tangentialebene 2-5

10 Beweis: (i) Implizite Darstellung einer Fläche durch f (x 1,..., x n ) = c: Definition der totalen Ableitung f = (grad f ) t = f (x) = f (p) + (grad f ) t (x p) + o( x p ) Vernachlässigung des Terms o( x p ), f (x) = f (p) = c Gleichung der Tangentialebene (ii) Darstellung einer Fläche als Funktionsgraph y = g (x 1,..., x n 1 ): n 1 y = i g(q)( x i ) + o( x ) i=1 mit y = y g(q) und x = x q Vernachlässigung des Restgliedes Darstellung der Tangentialebene Tangentialebene 2-6

11 Beispiel: Kegel K : f (x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 = 0 grad f (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) t Tangentialebene im Punkt (x 0, y 0, z 0 ) E : 2x(x x 0 ) + 2y(y y 0 ) 2z 0 (z z 0 ) = 0 Tangentialebene 3-1

12 Tangentialebene im Punkt P = (3, 4, 5) E : 10z + 8y + 6x = 0 Tangentialebene 3-2

13 Tangentialebene im Punkt P = (3, 4, 5) grad f (p) = (0, 0, 0) für p = (0, 0, 0) E : 10z + 8y + 6x = 0 Tangentialebene 3-3

14 Tangentialebene im Punkt P = (3, 4, 5) E : 10z + 8y + 6x = 0 grad f (p) = (0, 0, 0) für p = (0, 0, 0) keine Tangentialebene an der Spitze des Kegels Tangentialebene 3-4

15 Beispiel: Potential eines Dipols mit Ladungen in den Punkten P und P (mit Koordinaten ±p = ±(p 1, p 2 )) g(x) = x p 1 x + p 1, x = (x 1, x 2 ) Tangentialebene 4-1

16 Beispiel: Potential eines Dipols mit Ladungen in den Punkten P und P (mit Koordinaten ±p = ±(p 1, p 2 )) g(x) = x p 1 x + p 1, x = (x 1, x 2 ) ν (x x 2 2 ) 1/2 = ( 1/2)(x x 2 2 ) 3/2 (2x ν ) Gradient grad g(x) = (x + p) (x p) x + p 3 x p 3 Tangentialebene 4-2

17 Beispiel: Potential eines Dipols mit Ladungen in den Punkten P und P (mit Koordinaten ±p = ±(p 1, p 2 )) g(x) = x p 1 x + p 1, x = (x 1, x 2 ) ν (x x 2 2 ) 1/2 = ( 1/2)(x x 2 2 ) 3/2 (2x ν ) Gradient grad g(x) = (x + p) (x p) x + p 3 x p 3 Tangentialebene im Punkt A mit Koordinaten a = (a 1, a 2 ) x 3 = g(a) + (grad g(a)) t (x a) Tangentialebene 4-3

18 Beispiel: Potential eines Dipols mit Ladungen in den Punkten P und P (mit Koordinaten ±p = ±(p 1, p 2 )) g(x) = x p 1 x + p 1, x = (x 1, x 2 ) ν (x x 2 2 ) 1/2 = ( 1/2)(x x 2 2 ) 3/2 (2x ν ) Gradient grad g(x) = (x + p) (x p) x + p 3 x p 3 Tangentialebene im Punkt A mit Koordinaten a = (a 1, a 2 ) x 3 = g(a) + (grad g(a)) t (x a) z.b. für a = (0, 0) x 3 = 0 + (2p r / p 3 )(x 1, x 2 ) t Tangentialebene 4-4

19 Tangentialebene verläuft durch den Ursprung und enthält die Gerade senkrecht zu P. Tangentialebene 4-5

20 Tangentialebene verläuft durch den Ursprung und enthält die Gerade senkrecht zu P. Tangentialebene 4-6

21 Tangentialebene verläuft durch den Ursprung und enthält die Gerade senkrecht zu P. keine Tangentialebenen in den Singularitäten P und P Tangentialebene 4-7

22 Tangentialebene einer parametrisierten Fläche Durch eine stetig differenzierbare Abbildung s 1 f 1 (s.. f n (s) s n 1 wird eine (n 1)-dimensionale Fläche S R n definiert. Sind die partiellen Ableitungen k f (s) linear unabhängig, so spannen diese Vektoren die Tangentialebene im Punkt p = f (s) auf: n 1 E : p + λ k k f (s), λ k R. k=1 Tangentialebene 5-1

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