Numerische Quadratur nach Archimedes

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Hajo Michel
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1 Huptseminr Oktläume und hierrchische Bsen Numerische Qudrtur nch Archimedes Forschungs- und Lehreinheit Inormtik V Ingenieurnwendungen in der Inormtik numerische Progrmmierung uruer Christin den

2 Inhltsverzeichnis Einleitung Der eindimensionle Fll Theorie Aruchkriterien Feste Rekursionstiee t: Adptive Rekursionstiee Bezug zu Oktläumen Beispiel Einche Erhöhung der Ordnung Der zweidimensionle Fll Rekursion Aruchkriterium... Zusmmenssung... 3 Litertur... 4

3 3 Einleitung Bei der numerischen Qudrtur eschätigt mn sich mit dem Prolem zu einer Funktion ds Integrl I = d näherungsweise zu erechnen. Für einige Funktionen knn dieses Prolem eplizit durch Ange der tmmunktion gelöst werden. In vielen Fällen lässt sich er keine eplizite Form ür die tmmunktion ngeen und mn ist u numerische Verhren ngewiesen. Im Folgenden wird ein spezielles Verhren der numerischen Qudrtur lso der numerischen Berechnung des Integrls einer gegeenen Funktion von d Veränderlichen vorgestellt. Mn olgt dei einem sehr lten divide-et-imper- Prinzip der Archimedischen Ausschöpung. Für den Üergng vom eindimensionlen zum höherdimensionlen Fll stützt mn sich u ds Cvlierische Prinzip.

4 4.0 Der eindimensionle Fll. Theorie Eine numerische Näherung des Integrls soll erechnet werden: F d = Hierzu wird ugesplten in ein Trpez T und ein Restsegment : F = T F + T A..: Ds Integrl wird ugeteilt in ein Trpez T und ein Restsegment F Die Fläche T erechnet sich durch: T = * + wird zunächst durch ein eineschrieenes Dreieck D ngenähert.

5 5 + D + A..: Zeigt ds eineschrieen Dreieck D ergit sich us der Beziehung D ls Annäherung. Fläche = Grundseite Höhe + + D = h Die Fläche knn durch Rekursion noch genuer estimmt werden. g = D

6 + + 3 4 + 4 A..3: Fläche nch dem ten Rekursions-chritt. Aruchkriterien Die Rekursion erordert ein Aruchkriterium. Hier git es mehrere Möglichkeiten:.

6 A..3: Fläche nch dem ten Rekursions-chritt. Aruchkriterien Die Rekursion erordert ein Aruchkriterium. Hier git es mehrere Möglichkeiten:.. Feste Rekursionstiee t: Bei t= lutet der Aruchll + + = = D ws gerde der eknnten Trpezsumme mit drei äquidistnten tützstellen +/ und und der Mschenweite h=-/ entspricht. Im Fll der llgemeinen Tiee t erhält mn die Trpezsumme mit t + äquidistnten t tützstellen und der Mschenweite h = / : D

7 7 -/ -/ -/ -/ -/ -/ 4 / / 4 Trpezsumme A..4: Die Auswertung der Qudrtur nch Archimedes mit ester Rekursionstiee t ergit die Trpezsumme mit t + tützstellen... Adptive Rekursionstiee Die Rekursion knn durch Ange einer vorgegeenen Genuigkeit ε gerochen werden. Mn knn zum einen Arechen wenn der Flächeninhlt des loklen Dreiecks D unter ε ällt lso + + = D lls < ε oder wenn die Breite des loklen Dreiecks unter ε ällt lso + + = D lls < ε. Bei der ten Aruchedingung ist der Flächeninhlt des loklen Dreiecks D kleiner lsε h. Flls n llen tellen u der selen Tiee t gerochen wird edeutet dies dss ε jetzt eine oere chrnke ür den Fehler ist der u der gnzen tue t entsteht. Im ersten Fll ist ε lso ein Mß ür den loklen Fehler im zweiten Fll owohl lokl gemessen ein Mß ür den glolen Fehler. Ein in eiden Fällen utretendes Prolem ist ds sich die Dreiecksläche zu Null ergeen knn owohl ds Integrl nicht verschwindet. Hier knn mn etws Ahile schen wenn mn erst richt wenn die Aruchedingung u mehreren tuen hintereinnder erüllt ist.

8 8 + + = 0 A..5: Durch ds Aruchkriterium rechts wird die Rekursion gerochen owohl Integrl nicht klein ist..3 Bezug zu Oktläumen Die Anlogie der Qudrtur nch Archimedes zu den Oktl-Bäumen liegt in der Rekursion. Es liegt ein -dimensionles Prolem vor ds sich in zwei Teilproleme uteilt. Es entsteht ein Binär-Bum dessen Teiläume Integrtions-Teil-Intervlle eschreien. Die Knoten und Blätter lieern Teilergenisse ür die Integrtion. Ds heißt je tieer der Bum wird Rekursions-Tiee umso genuer wird ds Integrtions-Ergenis. Die Qudrtur nch Archimedes ietet lso die Möglichkeit durch Erhöhen der Rekursionstiee ds Integrtions-Ergenis zu veressern. Folglich wird ei der Vereinerung der Mschenweite der Binärum vertiet und mn erhält mehr Knoten die lle ls Teilergenisse zum Gesmtergenis eitrgen. Es esteht uch die Möglichkeit Teiläume zu vertieen um in Teilintervllen genuere Integrtions-Ergenisse zu erreichen. Der wesentliche Vorteil dieses Verhrens gegenüer nderen numerischen Qudrtur-Verhren esteht nun drin dss die Mschenweite der tützstellen in Teilintervllen vereinert werden knn ohne die schon erechneten Teilergenisse wegzuweren. Ds heißt die Tiee von Teiläumen knn erhöht werden und die Teilergenisse der drüer liegenden Knoten sind weiterhin Ergenisrelevnt. Auch nchträglich knn ds Integrtions-Ergenis noch veressert werden wenn der Bum der ei der Berechnung ugeut wird gespeichert wurde.

9 9.4 Beispiel Beispiel der Prel: = 4 d = 0 3 Rekursions - tiee Höhe der Dreiecke Fläche der Dreiecke Anzhl der Dreiecke umme dieser Tiee zusmmen = i= 4 4 i = Bei Tiee git es zwei Dreiecke eines u [0] und eines u []. Um die jeweilige Höhe zu erechnen sutrhieren wir von der Prel lso von - die Funktion des Dreiecks der Tiee d.h. u [0] und - u []: u [0]: -- = -; Wert in = / ist /4 ls Fläche ergit sich /8 ; u[]: --- = --; Wert in = 3/ ist /4 ls Fläche ergit sich /8. omit ergit sich ls umme ller Flächeninhlte der Dreiecke der Tiee der Wert /4.

10 0.5 Einche Erhöhung der Ordnung Ds isherige Vorgehen integriert linere Funktionen et Trpezsumme: Polygonzug. Multipliziert mn die Dreiecksläche u letzter tue t mit 4/3 so entspricht ds nicht mehr der Trpezregel sondern der Fssregel zw. der Qudrtur nch impson omit werden jetzt lle Polynome vom Grd korrekt integriert..0 Der zweidimensionle Fll. Rekursion Üertrgung der Archimedischen Ausschöpung ins Zweidimensionle mittels des Cvlierischen Prinzips : Zerlege Volumen in gleichmäßig dünne cheien summiere die Flächen u und multipliziere mit der cheiendicke. Anlog zum eindimensionlen Fll splten wir ds Integrl nun in dünne Trpezscheien und Restsegmentscheien u und summieren diese.: F = F T ummeder T woei T = Trpez ls Funktion von

Restsegment: D F + + + + = mit 44444444 4 3 4444444 4 Dreieck + + = D D

11 A..: Funktion in rot. Die lu Funktion zeigt die Trpezscheien üer die Intergriert wird eschreit ds Restsegment: D F = mit Dreieck + + = D D eschreit den Flächeninhlt des Dreieckschnittes ei mit den äquidistnten tützstellen. A..: Ds eineschrieene Dreieck nch dem im ersten Rekursionsschritt.

12 . Aruchkriterium Wir rechen wenn der durch Aneinnderkleen der Dreiecke Richtung entstehende Körper ein Volumen ε ht: in D lls F D ε = F D Der Körper dessen Volumen zu erechnen ist wird lso unterteilt in einen Bsiskörper Aneinnderkleen in -Richtung ller Trpeze und einen Deckel Aneinderkleen in -Richtung ller -Huen. Der Deckel wird dnn rekursiv unterteilt und in einen Dreieckskörper und zwei neue hl so reite Deckel.

13 3 Zusmmenssung Der wesentliche Vorteil dieses Verhrens gegenüer nderen numerischen Qudrtur-Verhren esteht drin dss die Mschenweite der tützstellen in Teilintervllen vereinert werden knn ohne die schon erechneten Teilergenisse wegzuweren. Auch nchträglich knn ds Integrtions-Ergenis noch veressert werden woei der momentne Ergenis-Bum noch vereinert wird. In der Pris ist ds Aruchkriterium schwer estzulegen d in der Regel kein Vorwissen üer den Kurvenverlu vorliegt

14 4 Litertur Hns-Jochim Bungrtz Rekursive Verhren und hierrchische Dtenstrukturen in der numerischen Anlysis kript zur Vorlesung März 999 Christoph Zenger Konkrete Mthemtik kript zur Vorlesung W 00/0 Hns-Jochim Bungrtz Mple-heets zur Vorlesung Rekursive Verhren und hierrchische Dtenstrukturen in der numerischen Anlysis März 999

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