ML a t he m at ik. Präferenzen. Klaus Schindler. e h r st a b 0 Universität des Saarlandes Fakultät 1

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Hanna Holzmann
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1 Präferenzen Klaus Schindler ML a t he m at ik e h r st a b 0 Universität des Saarlandes Fakultät 1 Advanced Quantitative Methods for Economists WS 2014/2015

2 Ordnung Lexikographische Ordnung Ordnung Definition: Für Vektoren x=(x 1,..., x N ) und y=(y 1,..., y N ) des R N y x k : y k x k y x k : y k > x k Bemerkung: (y x) (y x) ( k : y k x k ) ( l : yl >x l ) definiere

3 Ordnung Lexikographische Ordnung Lexikographische Ordnung Definition: Für Vektoren x und y des R N definiere y x, falls gilt (x=y) oder die erste von Null verschiedene Komponente von y x ist positiv. Bemerkung: ist eine Totalordnung in R N, die als lexikographische Ordnung bezeichnet wird.

4 Rationale Präferenzen Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Im Folgenden bezeichne X R N + die Menge sämtlicher Güterbündel ( Alternativen ). Eine Relation in X heißt rationale Präferenzrelation, wenn sie vollständig und transitiv ist. Man definiert daraus die Relationen der Indifferenz und der strikten Präferenz durch y x (y x) (x y) y x (y x) (x y) Für jedes x X definiert man die Indifferenzmenge und die obere bzw. untere Konturmenge (Besser- bzw. Schlechtermenge) durch { y X y x } { y X y x } { y X y x }

5 Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Manchmal ist es plausibel, dass größere Güterbündel kleineren Güterbündeln vorgezogen werden.

6 Monotone Präferenzen Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Eine Relation in X heißt monoton, wenn für alle x X gilt y x = y x streng monoton, wenn für alle x X gilt (y x) (y x) = y x Bemerkung: Strenge Monotonie impliziert Monotonie! In der Literatur sind teilweise leicht unterschiedliche Definitionen der Monotonie zu finden!

7 Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Wenn es Goods gibt, die Bads sind, kann keine monotone Präferenz vorliegen. In diesem Fall bietet sich statt der Monotonie ein schwächerer Begriff an.

8 Lokal nicht gesättigte Präferenzen Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Eine Relation in X heißt lokal nicht gesättigt, wenn gilt Bemerkung: x X ε>0 y U ε (x) : y x Jede monotone Relation ist lokal nicht gesättigt! Dicke Indifferenzmengen, deren Inneres (!) nicht leer ist, sind nicht verträglich mit lokaler Nichtsättigung!

9 Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Bei der Konvexität von Präferenzen beschäftigt man sich mit der Frage nach trade-offs zwischen verschiedenen Gütern (Alternativen).

10 Konvexe Präferenzen Ordnungsrelationen in R N Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Eine Relation in X heißt konvex, wenn für jedes x X die obere Konturmenge von x konvex ist, d.h. (y x) (z x) = α [0, 1] : α y + (1 α) z x Eine Relation in X heißt streng konvex, wenn für jedes x X gilt (y x) (z x) (y z) = α ]0, 1[: α y + (1 α) z x

11 Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen In Anwendungen (vor allem in der Ökonometrie) konzentriert man sich häufig auf Präferenzen, bei denen es möglich ist, die gesamte Präferenzrelation aus einer einzigen Indifferenzmenge abzuleiten.

12 Homothetische Präferenzen Rationale Präferenzen Monotone und streng monotone Präferenzen Lokal nicht gesättigte Präferenzen Konvexe Präferenzen Homothetische Präferenzen Eine Relation in X heißt homothetisch, wenn sich alle Indifferenzmengen durch proportionale Entwicklung in Richtung von Ursprungsgeraden ergeben, d.h. (y x) = α R + : α y α x

13 Aus Gründen der Optimierung ist es optimal, mittels einer Nutzenfunktion u darzustellen. Ist diese sogar differenzierbar stehen dann sogar alle Optimierungsmethoden der Differentialrechnung zur Verfügung.

14 Repräsentierende Nutzenfunktion Eine Funktion U : X R heißt repräsentierende Nutzenfunktion der Präferenzordnung, falls x, y X : x y U(x) U(y) Bemerkung: Insbesondere folgt: (x y) U(x)=U(y) (x y) U(x)>U(y)

15 Lexikographische Ordnung und Nutzenfunktion Die lexikographische Ordnung im R N besitzt keine repräsentierende Nutzenfunktion U! Beweis: Indirekt, wobei o.e. N=2 und X=R N gelte. Nach Definition der lexikographischen Ordnung müsste für U gelten x R : U(x, 2) > U(x, 1) Wähle für jedes x R eine rationale Zahl r(x) Q mit U(x, 2) > r(x) > U(x, 1) r : R Q ist streng mowa, denn für y > x gilt U(y, 2) > r(y) > U(y, 1) > U(x, 2) > r(x) > U(x, 1) Also ist r injektiv im Widerspruch zur Überabzählbarkeit von R.

16 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Eine Relation in X heißt stetig, wenn sie verträglich bzgl. Grenzwertbildung ist, d.h. ist (x n, y n ) eine Folge in X mit so gilt auch x y Bemerkung: 1) n N : x n y n 2) lim n (x n, y n ) = (x, y) 1 Beachte Analogie zu Grenzwerten in R N, d.h. x n y n = lim n x n lim n y n 2 Die lexikographische Ordnung ist unstetig, denn es gilt ( 1 n, 0) (1, 0), aber lim ( 1 n n, 0) = (0, 0) (1, 0)

17 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Stetigkeit und Konturmengen Satz: ist genau dann stetig, wenn alle oberen und unteren Konturmengen topologisch abgeschlossen sind. Beweis: = : Gilt y n x bzw. y n x, so folgt aus der Stetigkeit lim y n x bzw. lim y n x n n

18 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Anforderungen an die Präferenzordnung wirken sich auf die repräsentierende Nutzenfunktion aus!

19 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Eigenschaften von Zu jeder stetigen Präferenzordnung existiert eine stetige repräsentierende Nutzenfunktion. Eine stetige Präferenzordnung ist genau dann homothetisch, wenn eine repräsentierende Nutzenfunktion existiert, die homogen vom Grad 1 ist. Ist die Präferenzordnung monoton, so ist jede repräsentierende Nutzenfunktion U monoton, d.h. x y = U(x) U(y)

20 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Quasikonkave/konvexe Funktionen Sei f : X R eine Funktion auf einer konvexen Menge X. f heißt quasikonkav, wenn alle oberen Konturmengen konvex sind, d.h. wenn gilt t R : { x X f(x) t } ist konvex f heißt quasikonvex, wenn alle unteren Konturmengen konvex sind, d.h. wenn gilt t R : { x X f(x) t } ist konvex Satz: ist genau dann konvex, wenn jede repräsentierende Nutzenfunktion quasikonkav ist.

21 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Quasikonkave/Quasikonvexe Funktionen Satz: Sei f : X R eine Funktion auf einer konvexen Menge X. f ist genau dann quasikonkav, wenn gilt x, y X α [0, 1] : f ( αx + (1 α)y ) min { f(x), f(y) } f ist genau dann quasikonvex, wenn gilt x, y X α [0, 1] : f ( αx + (1 α)y ) max { f(x), f(y) }

22 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Eigenschaften Satz: f : X R quasikonkav f quasikonvex Jede konkave Funktion ist quasikonkav und jede konvexe Funktion ist quasikonvex. Jede monotone Funktion in einer Variablen ist quasikonkav und quasikonvex.

23 Konturmengen und Homothetische und monotone Quasikonkave Aufgaben 1 Erläutere die Unterschiede zwischen quasikonvex und konvex bzw. quasikonkav und konkav. 2 Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen f i : R R konvex, quasikonvex, konkav oder quasikonkav sind. i) f 1 (x)=x 4 ii) f 2 (x)=x 5 iii) f 3 (x)= x 6 iv) f 4 (x)= e ( x 2 ) 3 Untersuchen Sie, ob f : R 2 R mit f(x 1, x 2 ) := e (x 2 1 +x 2 2 ) konvex, quasikonvex, konkav oder quasikonkav ist.

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