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Heinrich Siegel
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2) Welche Wahrscheinlichkeitsbegriffe kennen Sie? Charakterisieren Sie die unterschiedlichen Konzepte zur Herleitung von Wahrscheinlichkeiten.

Gewissheit für das Eintreten von Ereignissen Je nach Sichtweise können Wahrscheinlichkeiten hergeleitet werden, als ein Maß für die Unsicherheit konkreter Ereignisse

Wahrscheinlichkeitsbegriff einfache ideale Glücksspiele Statistische Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist jener Wert, bei dem sich die relative

2 2) Welche Wahrscheinlichkeitsbegriffe kennen Sie? Charakterisieren Sie die unterschiedlichen Konzepte zur Herleitung von Wahrscheinlichkeiten. (5 Punkte) Antwort: Unabhängig von der quantitativen Herleitung der Wahrscheinlichkeiten müssen sie den Axiomen von Kolmogorov genügen: Wahrscheinlichkeit ist der Grad der Gewissheit für das Eintreten von Ereignissen Je nach Sichtweise können Wahrscheinlichkeiten hergeleitet werden, als ein Maß für die Unsicherheit konkreter Ereignisse aufgrund der möglichen Alternativen (Laplace) ein Maß für die relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen (Mises) ein Maß für den Grad an persönlicher Überzeugung (de Finetti.) Das Prinzip "günstige Fälle" dividiert durch alle "möglichen Fälle" im Rahmen eines Modells gleicher Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse Laplace klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff einfache ideale Glücksspiele Statistische Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist jener Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit bei einer wachsenden Zahl von Versuchswiederholungen stabilisiert Mises frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff kann für alle Zufallsexperimente angewendet werden Das Konzept subjektiver Wahrscheinlichkeiten nach de Finetti. Eine subjektive Wahrscheinlichkeit kann für alle Zufallsvorgänge angegeben werden. Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 2 von 9

3) Die nachfolgende Tabelle enthält Daten eines Bildungstests.

15 10 0 25 Pflichtschule 40 15 0 55 GESAMT 70 70 70 210 a) Berechne das Prädiktionsmaß nach Goodman/Kruskal um den prädiktiven Wert des Merkmals Schulbildung der Eltern auf die Lesefähigkeit der

Angenommen wir wählen rein zufällig einen Schüler aus.

3 3) Die nachfolgende Tabelle enthält Daten eines Bildungstests. Abschneiden beim Lesetest Höchste Schulbildung der Eltern unterdurchschnittlich mittel überdurchschnittlich GESAMT Akademiker AHS/BHS Meister/Berufsprüfung Lehre Pflichtschule GESAMT a) Berechne das Prädiktionsmaß nach Goodman/Kruskal um den prädiktiven Wert des Merkmals Schulbildung der Eltern auf die Lesefähigkeit der Schüler zu quantifizieren (4 Punkte) Sei A das Ereignis Schulbildung der Eltern ist AHS/BHS oder Akademiker und sei B das Ereignis Abschneiden beim Lese-Test ist überdurchschnittlich. Angenommen wir wählen rein zufällig einen Schüler aus. Bestimme dann die folgenden Wahrscheinlichkeiten: (jeweils 2 Punkte) b) P(A B) c) P(A υ B) d) P( B A) Höchste Schulbildung der Eltern unterdurchschnittlich mittel überdurchschnittlich GESAMT Akademiker AHS/BHS Meister/Berufsprüfung Lehre Pflichtschule GESAMT E0 140 E1 70 a) lambda 0,50 b) P(A und B) 0,31 c) P(A oder B) 0,52 d) P(B A) 0,62 Abschneiden beim Lesetest Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 3 von 9

4) Das Lehrpersonal einer bestimmten Universität setzt sich aus ProfessorInnen und AssistentInnen zusammen.

Der Anteil der Männer beträgt bei den ProfessorInnen 75%. a) Wie teilt sich das Lehrpersonal in ProfessorInnen und Assistenten auf?

(5 Punkte) c) Sind die beiden Merkmale Geschlecht und Art der Lehrtätigkeit unabhängig? Begründung!

4 4) Das Lehrpersonal einer bestimmten Universität setzt sich aus ProfessorInnen und AssistentInnen zusammen. Von der Universität kennen wir folgende Daten: 40% des Lehrpersonals sind Frauen. 20% des weiblichen Lehrpersonals sind Professorinnen. Der Anteil der Männer beträgt bei den ProfessorInnen 75%. a) Wie teilt sich das Lehrpersonal in ProfessorInnen und Assistenten auf? (5 Punkte) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgegriffener männlicher Mitarbeiter des Lehrpersonals als Professor tätig ist? (5 Punkte) c) Sind die beiden Merkmale Geschlecht und Art der Lehrtätigkeit unabhängig? Begründung! (3 Punkte) Anteil Männer 60% Prof gegeben weiblich 20% Mann gegeben Prof 75% Männer Frauen Prof Ass Prof Ass a) 32,0% 68,0% b) 40,00% c) Nein nicht unabhängig, da die bdingten Verteilungen unterschiedlich sind Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 4 von 9

5 5) Die Fluglinie YLF-IKIN hat für einen Flughafen folgende Tabelle für die Verspätungen beim Abflug ermittelt: Faktor 6 Verspätung in Minuten Anzahl Flüge (a) Zeichnen Sie ein korrektes Histogramm, um das Muster der Verspätungen zu beschreiben und beantworten Sie folgende Frage: Um welchen Faktor ist der Histogrammbalken der Klasse höher als jener der Klasse 50 90? (5 Punkte) Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 5 von 9

0,5625 1 0,2500 20 30 60 25 0,1875 4,6875 0,75 1 0,1875 30 50 60 40 0,1875 7,5 0,9375 2 0,0938 50 90 20 70 0,0625 4,375 1 4 0,0156

6 (b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Verspätungen! (3 Punkte) (c) Berechnen Sie den Median der Verspätungen. (3 Punkte) Verspätung in Minuten Anzahl Flüge mi hi mi*hi Hi bi di ,3125 1,5625 0, , ,25 3,75 0, , ,1875 4,6875 0,75 1 0, ,1875 7,5 0, , ,0625 4, , , arith. Mittel 21, Median 17,5 Median =10+(20 10)*(0,5 0,3125)/((0,5625 0,3125)) Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 6 von 9

6) X sei die Anzahl von Quartalen, in denen ein Student neben dem Studium innerhalb eines Jahres jobbt. Die fünf möglichen Ausprägungen sind also X = 0, 1, 2, 3, 4.

Beantworten sie nachfolgende Fragen: (Insgesamt 7 Punkte) a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Student in mehr als 2 Quartalen gejobbt hat?

7 6) X sei die Anzahl von Quartalen, in denen ein Student neben dem Studium innerhalb eines Jahres jobbt. Die fünf möglichen Ausprägungen sind also X = 0, 1, 2, 3, 4. Die dazugehörigen relativen Häufigkeiten entnehmen Sie der nachfolgenden Tabelle # Quartale Rel. Häufigkeit 0,05 0,50 0,10 0,10 0,25 Wir wählen rein zufällig einen Studenten aus. Beantworten sie nachfolgende Fragen: (Insgesamt 7 Punkte) a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Student in mehr als 2 Quartalen gejobbt hat? b) Was ist der Erwartungswert für die Anzahl der Quartale, in denen der zufällig ausgewählte Student gejobbt hat? c) Angenommen wir wählen nur aus der Gruppe jener Studenten, die zumindest in einem Quartal gejobbt haben, einen Studenten nach dem Zufallsprinzip aus. Was ist der Erwartungswert für die Anzahl der Quartale, in denen der zufällig ausgewählte Student gejobbt hat? d) Erklären Sie warum sich die Ergebnisse von b und c unterscheiden und wie man das Ergebnis von c interpretieren kann. X Prob Expectation Bedingte Prob. Expectation 0 0, ,50 0,5 0,5263 0, ,10 0,2 0,1053 0, ,10 0,3 0,1053 0, ,25 1 0,2632 1, ,1053 a) 0,35 b) 2 c) 2,11 Ergebnis von c ist ein bedingter Erwartungswert, wenn z.b. nur aus einer Datei mit berufstätigen Studenten gezogen wird. Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 7 von 9

8 7) Eine Grundgesamtheit enthält 8 Personen. 5 Männer und 3 Frauen. Es soll ein Ausschuss bestehend aus 3 Personen gebildet werden. a) Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es aus den 8 Personen einen Ausschuss von 3 Personen zu bilden? (2 Punkte) b) Wie viele unterschiedliche Zusammensetzungen gibt es, wenn der Ausschuss aus 2 Frauen und einem Mann gebildet werden soll? (2 Punkte) c) Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es aus den 8 Personen eine Reihungsliste von 3 Personen zu bilden? (2 Punkte) Männer 5 Frauen 3 Gesamt 8 a) 56 8 über 3 b) 15 (5 über 2) mal (3 über 1) c) 336 8*7*6 Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 8 von 9

8) Die Preisentwicklung für Heizöl war wie folgt: Jahr 2009 2010 2011 2012 Preis in für 100 Liter 72 68 82 88 a) Wie hoch war die durchschnittliche

(4 Punkte) b) Wie hoch war der durchschnittliche Kaufpreis für einen Haushalt der in diesem Zeitraum jährlich ein Budget von 1.

9 8) Die Preisentwicklung für Heizöl war wie folgt: Jahr Preis in für 100 Liter a) Wie hoch war die durchschnittliche jährliche Preissteigerung in diesem Zeitraum? (4 Punkte) b) Wie hoch war der durchschnittliche Kaufpreis für einen Haushalt der in diesem Zeitraum jährlich ein Budget von 1.000,- für den Kauf von Heizöl aufgewendet hat? (4 Punkte) Jahr Preis Veränderung , , ,07317 Produkt: 1,22222 ==> 3.Wurzel 1,0692 Teuerung 6,92% FALSCH Harmonisches Mittel 76,70 77,5 arithm. Mittel Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 9 von 9

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