Logarithmusfunktion - Differenzieren & Integrieren

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Logarithmusfunktion - Differenzieren & Integrieren"

Daniela Blau
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass. Ggbn ist di Funktion f() ln( 2 + 4). Diskutir di Funktion und zichn si. In wlchm Punkt ist di Tangnt paralll zur Gradn 2y 0? Di Fläch zwischn -, y-achs, Kurv und Ordinat im Wndpunkt rotirt um di y-achs. Brchn das Rotationsvolumn. [P(2 ln 8), V ] 2. Ggbn ist di Funktion f() +ln. Diskutir di Funktion und zichn si. Brchn di Fläch zwischn Kurv, -Achs und. Dis Fläch rotirt um di -Achs. Wi groß ist das Rotationsvolumn? [A 2, V 5.52] 3. Ggbn ist di Funktion f() (ln ). Diskutir und zichn di Funktion. Brchn di Fläch zwischn Kurv und -Achs. [A ] 4. Ggbn ist di Funktion f() ln. Diskutir und zichn di Funktion. Brchn di Fläch zwischn y-achs, Kurv und dr Tangnt in P( y). Dis Fläch rotirt um di -Achs. Wi groß ist das Volumn? [A 0.25, V 7π 27 ] 5. Ggbn ist di Funktion f() 3 ln. Diskutir und zichn di Funktion. Brchn di Fläch zwischn Kurv, -Achs und. Di Fläch zwischn Kur- v, -Achs und rotirt um di -Achs. Brchn das Rotationsvolumn. [A 3, V 4.54] 2 6. Ggbn ist di Funktion f() ln 2 + ln 2. Bstimm D, N, E, W dr Funktion und stll si graphisch dar. Brchn di Fläch, di von dr Kurv und dr Gradn y 2 ingschlossn wird. [A 0.] 7. Diskutir di Funktion f() + ln (Nullstlln nährungswis!). Brchn di Fläch zwischn dr Kurv und dn Gradn y 0,, 3. Bstimm dn Schnittpunkt dr Tangnt in P( y) mit dn Koordinatnachsn. [A , S (0 ), S 2 (0.5 0)] 8. Von inr Funktion knnt man ihr. Ablitung f () ln. Dr Punkt A( 0) ligt auf dr Funktion. Bstimm di Funktionsglichung, untrsuch si und zichn si. Brchn das von f() und f () ingschlossn Flächnstück. [A 0.65] 9. Diskutir di Funktion f() 2 ln (Dfinitionsmng, Grnzwrt, Nullstlln, Etrmwrt, Wndpunkt, Graph). Untr wlchm Winkl schnidt di 4 Funktion di Parabl y 2? Brchn dn Flächninhalt dr gschlossnn Flach zwischn dr -Achs und dr Funktion! [N(4 0), T( 4 8), W ( 4 24 ), 3 α , A E 2 ]

2 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass. Ggbn ist di Funktion f() ln( 2 + 4). Diskutir di Funktion und zichn si. In wlchm Punkt ist di Tangnt paralll zur Gradn 2y 0? Di Fläch zwischn -, y-achs, Kurv und Ordinat im Wndpunkt rotirt um di y-achs. Brchn das Rotationsvolumn. f() ln( 2 + 4) f () (2) f () 2 (2 + 4) 2 2 ( 2 + 4) ( 2 + 4) ( 2 + 4) 2 f () 4 (2 + 4) 2 (8 2 2 ) 2 ( 2 + 4) 2 ( 2 + 4) ( 2 + 4) ( 2 + 4) 3 () Dfinitionsmng: DR (2) Nullstlln: (3) Etrmwrt: f() > 0 2 > 4 ln( 2 + 4) kin rlln Nullstlln! f () f (0) > 0 T (0 ln 4)

3 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass (4) Wndpunkt: f () ±2 f (2) 0 W (2 ln 8) f ( 2) 0 W 2 ( 2 ln 8) Wndtangnt: y k + d k f (2) ln d d ln 8 t : y 2 + ln 8 k 2 f ( 2) ln 8 2 ( 2) + d d ln 8 t 2 : y 2 + ln 8 (5) Graph: (6) Tangnt paralll zu 2y 0 2y y 2 k 2

Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass f () 2 2 2 + 4 2 4 2 + 4 2 4 + 4 0,2 2± 4 4 2 P (2 ln 8) (7) Rotationsvolumn: y ln( 2 + 4).

4 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass f () ,2 2± P (2 ln 8) (7) Rotationsvolumn: y ln( 2 + 4)... y y 4 V Drhzylindr - Intgral V r 2 π h 2 2 π ln 8 4π ln 8 V 2 π π ln8 ln 4 ln8 ln 4 2 dy ( y 4) dy π [ y 4y] ln 8 ln 4 π [( ln 8 4 ln 8 ) ( ln 4 4 ln 4 )] π [8 4 ln ln 2 2] π [4 2 ln ln 2] π [4 4 ln 2] 3.86 E 3 V V V 2 4π ln 8 π (4 4 ln 2) 2π ln 2 4π + 4π ln 2 6π ln 2 4π E 3

5 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 2. Ggbn ist di Funktion f() +ln. Diskutir di Funktion und zichn si. Brchn di Fläch zwischn Kurv, -Achs und. Dis Fläch rotirt um di -Achs. Wi groß ist das Rotationsvolumn? f() + ln f () ( + ln ) 2 ln 2 f () 2 ( ln ) ln 2 ln f () 3 (2 ln ) ln ln 4 ln 2 () Dfinitionsmng: DR + (2) Nullstlln: f() 0 ln N( 0) (3) Etrmwrt: f () f () 0 ln 0 < 0 H( ) (4) Wndpunkt: f () ln 0 ( + 2 ln ) 0 0 / D 2 ln ln 2

6 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass f ( ) f( ) + ln W ( 3 2 ) Wndtangnt: y k + d k f ( 2 ) 2 (5 3) d d t : y (5) Graph: (6) Flächninhalt: A f() d + ln }{{} g () d ( + ln ) }{{} g() d

7 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 2 ( + ln )2 (7) Rotationsvolumn: [ 2 + ln ( + 2 ln + (ln ) 2) (ln )2 ] 2 + ln + 2 (ln )2 2 ln 2 (ln ) E2 V π b a f() 2 d f() + ln ( ) 2 + ln f() 2 ( + ln ) ln + ln ln + 2 ln2 Um dn Übrblick zu bhaltn: Nbnrchnungn! (Di Intgrationskonstant C wurd bi dr Nbnrchnung wgglassn.) 2 f() 2 d d + ln d ln2 d 2 d 2 ln d 2 ln() d Pratill Intgration [ ln ] d [ 2 ln ( + )] 2 ln 2 2 ln 2

8 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 2 ln2 d (ln )2 2 ln d (ln )2 2 + ln d nochmals partill Intgration! 2 ln2 ( + 2 ) ln 2 d ln2 2 ln ln2 2 ln 2 2 f() 2 d + 2 ln 2 + ln2 2 ln 2 2 ln 2 ln2 2 ln 2 ln2 4 ln 5 V π f() 2 d π [ (ln ln + 5 )] π [ ] ( ) + ( 4 + 5) [ π 0 ] π 5.52 E 3

9 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 3. Ggbn ist di Funktion f() (ln ). Diskutir und zichn di Funktion. Brchn di Fläch zwischn Kurv und -Achs. [A ] 4. Ggbn ist di Funktion f() ln. Diskutir und zichn di Funktion. Brchn di Fläch zwischn y-achs, Kurv und dr Tangnt in P( y). Dis Fläch rotirt um di -Achs. Wi groß ist das Volumn? [A 0.25, V 7π 27 ] 5. Ggbn ist di Funktion f() 3 ln. Diskutir und zichn di Funktion. Brchn di Fläch zwischn Kurv, -Achs und. Di Fläch zwischn Kur- v, -Achs und rotirt um di -Achs. Brchn das Rotationsvolumn. [A 3, V 4.54] 2

10 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 6. Ggbn ist di Funktion f() ln 2 + ln 2. Bstimm D, N, E, W dr Funktion und stll si graphisch dar. Brchn di Fläch, di von dr Kurv und dr Gradn y 2 ingschlossn wird. [A 0.] f() ln 2 + ln 2 f () 2 ln + 2 ln + f () 2 ( ) 2 ln ( ) ln (2 ln 2 + ) (2 ln ) 2 2 f () ( 2) 3 (2 ln ) + ( ) (2 2 2 (2 ln ) (2 ln 2) (ln ) 3 () Dfinitionsmng: DR + (2) Nullstlln: f() 0 u 2 + u 2 0 ln u u,2 2 ± ± 3 2 u ln u 2 2 ln N ( 0) N 2 ( 2 0)

11 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass (3) Etrmwrt: f () ln ln 0 ln 2 f ( ) (2 ( 2 ) ) ( 2) 2 > 0 T f( ) T ( 9 4 ) (4) Wndpunkt: f () 0 (2 ln ) ln f ( ) ( 2 f( ) W ( 5 4 ) 3 ) Wndtangnt: y k + d k f ( ) d d 3 4 t : y (5) Graph:

12 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass (6) Flächninhalt: Schnittpunkt 2 ln 2 + ln 2 0 ln / ln + ) 2 A f() d }{{} Fläch zw. Kurv und -Achs 2 ( }{{ } Rchtck ( (ln ) 2 + ln 2 ) d Nbnrchnungn: ln 2 d ln ln d (Partill Intgration) ( ln ) ln ( ln ) d [ ] ln 2 ln (ln ) d ln 2 ln [( ln ) ] ln 2 ln ln + + ln 2 2 ln + 2 (ln 2 2 ln + 2)

13 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass (ln 2 + ln 2) d (ln 2 2 ln + 2) + ( ln ) 2 + C ln 2 2 ln ln 2 + C ln 2 ln + C (ln 2 ln ) + C A ( (ln ) 2 + ln 2 ) d [ (ln 2 ln ) ] [( ] ( ( ) )) ( (0 0 )) [ ] ( ) ( 0.04E 2) HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER HIER (7) Rotationsvolumn: V π b a f() 2 d f() + ln ( ) 2 + ln f() 2 ( + ln ) ln + ln ln + 2 ln2 Um dn Übrblick zu bhaltn: Nbnrchnungn! (Di Intgrationskonstant C wurd bi dr Nbnrchnung wgglassn.) 2 f() 2 d d + ln d ln2 d 2 d

14 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 2 ln d 2 ln() d Pratill Intgration [ ln ] d [ 2 ln ( + )] 2 ln 2 2 ln 2 2 ln2 d (ln )2 2 ln d (ln )2 2 + ln d nochmals partill Intgration! 2 ln2 ( + 2 ) ln 2 d ln2 2 ln ln2 2 ln 2 2 f() 2 d + 2 ln 2 + ln2 2 ln 2 2 ln 2 ln2 2 ln 2 ln2 4 ln 5 V π f() 2 d π [ (ln ln + 5 )] π [ ] ( ) + ( 4 + 5) [ π 0 ] π 5.52 E 3

15 Logarithmusfunktion - Diffrnzirn & Intgrirn 8. Klass 7. Diskutir di Funktion f() + ln (Nullstlln nährungswis!). Brchn di Fläch zwischn dr Kurv und dn Gradn y 0,, 3. Bstimm dn Schnittpunkt dr Tangnt in P( y) mit dn Koordinatnachsn. [A , S (0 ), S 2 (0.5 0)] 8. Von inr Funktion knnt man ihr. Ablitung f () ln. Dr Punkt A( 0) ligt auf dr Funktion. Bstimm di Funktionsglichung, untrsuch si und zichn si. Brchn das von f() und f () ingschlossn Flächnstück. [A 0.65] 9. Diskutir di Funktion f() 2 ln (Dfinitionsmng, Grnzwrt, Nullstlln, Etrmwrt, Wndpunkt, Graph). Untr wlchm Winkl schnidt di 4 Funktion di Parabl y 2? Brchn dn Flächninhalt dr gschlossnn Flach zwischn dr -Achs und dr Funktion! [DR +, lim 0+ 2 ln 0, 4 lim 2 ln, N(4 0), T( 4 4 8), W ( 4 24 ), t 3 W : y 8 + 8, α , A E 2 ]

Ähnliche Dokumente

5.5.Abituraufgaben zu Logarithmusfunktionen

5.5.Abituraufgaben zu Logarithmusfunktionen 5.5.Aiturufgn zu Logrithmusfunktionn Aufg : urvnuntrsuchung mit Prmtr, Intgrtion ohn GTR () Für jds rll t und > 0 sind di Funktionn f t und g ggn durch f t () (ln + t) und g() Ds Schuild von f t hißt t