Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 6. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHENREGELN FÜR DAS DIFFERENZIEREN VERKETTETER FUNKTIONEN
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- Carl Fuhrmann
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1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester ARBEITSBLATT RECHENREGELN FÜR DAS DIFFERENZIEREN VERKETTETER FUNKTIONEN Schauen wir uns nun noch das Differenzieren von komplizierteren Ausdrücken an. Beispiel: Differenziere y ( ) ( ) Da hier zwei Terme, in denen jeweils vorkommt, mit Mal verbunden sind, können wir nicht direkt differenzieren. Ein Weg wäre hier aber, dass wir die beiden Ausdrücke vor dem Differenzieren ausmultiplizieren: y ( ) ( ) y + Nun können wir nach den bisherigen Regeln differenzieren: Was würden wir aber nun tun, wenn die Ausdrücke in den beiden Klammern wesentlich länger wären, so dass ein ausmultiplizieren vor dem Differenzieren nur äußerst mühsam wäre. Für diesen Fall gibt es eine eigene Regel, wie man Ausdrücke, welche multiplikativ verbunden sind, differenziert, die sogenannte Produktregel: Produktregel: ( f g) ' f ' g + f g' Merke die Regel als: Erster Ausdruck differenziert mal zweitem Ausdruck gleich lassen plus erster Ausdruck gleich lassen mal zweitem Ausdruck differenziert. Differenzieren wir nun das obige Beispiel nach der Produktregel: Beispiel: Differenziere y ( ) ( ) Wir nennen den ersten Ausdruck f, den zweiten Ausdruck g: y f g Laut der Produktregel gilt nun: f ' g + f g' Wir können nun gleich die ersten Ableitungen von f und g bilden: f ' g' Nun setzen wir in die Produktregel ein:
2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester ( ) + ( ) ( ) f g f g Nun können wir die erste Ableitung noch verschönern. Wir multiplizieren die Klammern aus: Wir fassen entsprechende Ausdrücke zusammen und erhalten das Ergebnis: y ' Übung: Übungsblatt ; Aufgabe Für das Differenzieren der Winkelfunktionen und Eponentialfunktion gibt es eigene Ableitungen: Definition: Folgende Ableitungsfunktionen gelten: ( sin ) ' cos ( cos ) ' sin e ' e Beispiel: Differenziere y sin Hier müssen wir nach der Produktregel differenzieren, da wir zwei Terme mit haben, die mit Mal verbunden sind. Wir setzen f und g sin und differenzieren nach der Regel f ' g + f g' : sin + cos Übung: Übungsblatt ; Aufgabe Ein weiteres Problem taucht beim Differenzieren von Brüchen auf, bei denen im Nenner vorkommt. Für diese verwendet man die sogenannte Quotientenregel: f f ' g f Quotientenregel: g g ' g'
3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Sehen wir uns dies an einem Beispiel an: + Beispiel: Differenziere y. + Laut Quotientenregel ist der Zähler des Bruches das f, der Nenner das g: f + y + g Für die Quotientenregel benötigen wir noch die ersten Ableitungen von f und g: f ' g' f ' g f g' Nun setzen wir in die Quotientenregel ein: g f g f g y ' ( ) ( + ) ( + ) ( + ) g Damit haben wir differenziert. Nun können wir den Zähler noch vereinfachen. Wir multiplizieren die Klammern aus: + + y ' + Wir fassen im Zähler zusammen und erhalten das Resultat: 8 y ' + Noch ein Bespiel dazu: Beispiel: Differenziere y Der Zähler f, der Nenner g. Wir bilden wieder die ersten Ableitungen: f ' 0 g' Nun setzen wir in die Quotientenregel ein:
4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester 0 y ' ( ) ( ) Wenn wir den Zähler vereinfachen erhalten wir das Resultat: 0 y ' Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 7 Die verschiedenen Regeln für das Differenzieren können durchaus unterschiedlich angewandt werden: Beispiel: Differenziere y.weg: Wir können den ersten Ausdruck umschreiben als. Somit erhalten wir die Funktion y. Nun können wir nach der Potenzregel differenzieren: Den ersten Ausdruck schreiben wir nun wieder um:.weg: Wir differenzieren den ersten Ausdruck nach der Quotientenregel, den zweiten Ausdruck nach der Potenzregel. Für den ersten Ausdruck setzen wir f und g. Nach der Quotientenregel erhalten wir: ' 0 ( ) Den zweiten Ausdruck differenzieren wir nach der ' Potenzregel. Wir erhalten ( ) Wenn wir diese beiden Ausdrücke aneinander hängen, erhalten wir das Resultat:.Weg: Wir bringen zuerst den gesamten Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner: y
5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Nun differenzieren wir nach der Quotientenregel, wobei f und g. Wir erhalten: 0 ( ) Diesen Ausdruck können wir noch vereinfachen. Dazu führen wir im Zähler die Multiplikationen durch, im Nenner potenzieren wir: Den Zähler können wir zusammenfassen: Damit wären wir eigentlich fertig. Damit sie aber sehen, dass dies derselbe Ausdruck ist wie bei den anderen Wegen, zerlegen wir obigen Bruch in die Einzelbrüche: Wir kürzen die Einzelbrüche und erhalten: Sie sehen also, dass es oft viele Wege gibt, die zum Ziel führen. Welchen Sie wählen, ist ihnen überlassen. Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 8 Kettenregel: ( f ( g) ) f ' ( g) g' ' Merke: Bei verketteten Funktionen wird immer von außen nach innen differenziert. Die Kettenregel ist sicher die komplizierteste Regel zum Differenzieren. Zunächst müssen wir einmal klären, was wir überhaupt unter verketteten Funktionen verstehen. Definition: Unter einer verketteten Funktion versteht man eine Funktion, in welcher auf eine Funktion andere Funktionen angewandt werden. Sehen wir uns dies an einem ganz einfachen Beispiel an. Wir haben die einfache Funktion y +. Wenn man diese Funktion wieder zum Quadrat nimmt, so wird erneut eine Funktion (Das Quadrieren) auf eine bereits bestehende Funktion angewandt. Die Funktion y ( + ) ist also eine verkettete Funktion.
6 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Die Kettenregel sagt nun nur aus, dass wir immer von der äußeren Funktion beginnend nach innen differenzieren müssen. Sehen wir uns dies an unserem einfachen Beispiel an: Beispiel: Differenziere die Funktion y + nach der Kettenregel. Das äußerste Rechenzeichen ist in diesem Fall das Quadrat. Wir müssen also zunächst das Quadrat multiplizieren. Das was unter dem Quadrat steht bleibt vorerst vollkommen erhalten. Wir könnten also statt dem Ausdruck + theoretisch zunächst z schreiben. Wir müssen also z differenzieren, was nach der Potenzregel z ergibt. Statt dem z setzen wir nun wieder + ein. Damit hat man nach der Kettenregel das Quadrat differenziert und kann es praktisch wegstreichen. Nun muss man den Rest noch differenzieren. Diesen differenzierten Rest nennt man die innere Ableitung. Wir erhalten also als Zwischenergebnis: ( + ) Innere Ableitung Für die Innere Ableitung müssen wir jetzt den übrig gebliebenen Rest differenzieren. Wenn Sie das Quadrat wegstreichen bleibt als Restausdruck +. Dies differenziert ergibt. Dies ist die Innere Ableitung. Wir setzen ein und erhalten als Ergebnis: y ' ( + ) Dies lässt sich nun nur noch ausmultiplizieren: y ' 8 + Dieses Prinzip des runterdifferenzierens muss man solange anwenden, bis man bei der untersten Funktion angelangt ist. Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 9 Beispiel: Differenziere y + Wir schreiben die Funktion in die Potenzschreibweise um: ( + ) y Wir erkennen, dass hier wieder zwei Funktionen ineinander verschachtelt sind, wir also die Kettenregel anwenden müssen. Die äußere Funktion ist in diesem Fall das hoch. Wir differenzieren also zunächst nach dem und lassen den Ausdruck in der Klammer vollkommen gleich:
7 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester ( + ) Innere Ableitung Für die innere Ableitung müssen wir noch den Ausdruck + differenzieren. Wir erhalten hier:. Wir setzen dies in die erste Ableitung ein: y ( ) ' + ( ) Damit sind wir mit dem Differenzieren fertig. Der Ausdruck lässt sich aber noch schöner schreiben. Wir beseitigen zunächst den negativen n Eponenten nach der Regel. n ( ) + Den Eponenten schreiben wir in eine Wurzel um: ( ) + Wir schreiben alles auf einen Bruchstrich: y ' + Im Zähler lässt sich noch herausheben: ( ) y ' + Nun können wir noch kürzen: y ' + Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 0 Auch auf Winkelfunktionen lässt sich dieses Prinzip natürlich anwenden: Beispiel: Differenziere y sin Wir schreiben die Wurzel als Potenz: y ( sin ) Nach der Kettenregel differenzieren wir zunächst nach dem. ( sin ) Innere Ableitung 7
8 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Für die Innere Ableitung müssen wir sin differenzieren. Dies ergibt cos. Wir setzen ein und erhalten: ( sin ) ( cos ) Nun können wir den Ausdruck wieder vereinfachen. Wir entfernen den negativen Eponenten: ( cos ) sin Wir schreiben in eine Wurzel um: cos sin Wir schreiben auf einem Bruchstrich: cos sin Beispiel: Differenziere y cos Auch hier liegt wieder eine verkettete Funktion vor. Die innere Funktion ist die äußere Funktion ist der Cosinus. Wir müssen also zunächst nach dem Cosinus differenzieren. Dieser ist differenziert sin. Wir erhalten: sin Innere Ableitung Damit haben wir den Cosinus erledigt. Nun müssen wir noch den Ausdruck differenzieren. Dies ergibt. somit erhalten wir: sin Multiplikative Ausdrücke schreibt man normalerweise vor der Winkelfunktion: sin Übung: Übungsblatt ; Aufgaben - 8
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