KOMPETENZHEFT ZUM DIFFERENZIEREN, II. d) s(x) = 5 x x e) k(x) = 2 x 3. f) q(x) = 4 x 3 6 x 2 24 x + 31

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1 KOMPETENZHEFT ZUM DIFFERENZIEREN, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Berechne die Punkte, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt, sowie das globale Minimum bzw. Maximum der Funktion im Intervall [ 2; 3]. Zeichne jeweils das globale Minimum bzw. Maximum ein. a) f(x) = 2 x + 3 d) s(x) = 5 x x + 17 b) g(x) = 3 x 2 6 x + 1 e) k(x) = 2 x 3 c) h(x) = x 2 10 x + 4 f) q(x) = 4 x 3 6 x 2 24 x + 31 Datum: 19. September

2 Aufgabe 1.2. In der Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Setze in die Lücken das zutreffende Symbol >, < oder = ein. f(0) 0 f(π/2) 0 f(π) 0 f(3π/2) 0 f(2π) 0 f (0) 0 f (π/2) 0 f (π) 0 f (3π/2) 0 f (2π) 0 f (0) 0 f (π/2) 0 f (π) 0 f (3π/2) 0 f (2π) 0 Aufgabe 1.3. Ein Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m. Ermitteln Sie jene Polynomfunktion 2. Grades, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt. Aufgabe 1.4. Eine Polynomfunktion 2. Grades hat an der Stelle x = 3 die Steigung k = 4 und bei E = (2 3) einen Extrempunkt. Ermittle die Funktionsgleichung. Aufgabe 1.5. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat ein lokales Maximum im Punkt M = ( 1 2), verläuft durch den Punkt P = ( 3 4) und hat an der Stelle x = 3 den Steigungswinkel 45. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, aus dem die Koeffizienten der Polynomfunktion berechnet werden können. Aufgabe 1.6. Für einen frei fallenden Körper ist eine Weg-Zeit-Funktion s(t) durch s(t) = g 2 t2 gegeben. Dabei ist g 10 m/s 2 die Fallbeschleunigung. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in m/s im Zeitintervall [2; 4] Sekunden. Aufgabe 1.7. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1 x 2. 2

3 Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind. Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß. Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den Intervallen [0; 2] und [2; 4] ist gleich. Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert 2,5. Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6. Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3 f(3)) und B = (6 f(6)) ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3. Aufgabe 1.8. Gesucht ist eine Polynomfunktion 3. Grades. Der Punkt ( 1 1) liegt auf dem Graphen. Die Tangente an den Graphen in diesem Punkt ist horizontal. Die Gleichung der Tangente des Graphen in jenem Punkt, wo der Graph die y-achse schneidet, lautet y + 6 x + 3 = 0. Aufgabe 1.9. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat in 1 eine Wendestelle mit Wendetangente y + 3 x + 5 = 0 und eine Nullstelle in 2. Gesucht sind die Gleichung der Polynomfunktion, die Nullstellen, die kritischen Stellen (also jene, wo die erste Ableitung verschwindet) gemeinsam mit einer Charakterisierung. Aufgabe Eine Polynomfunktion 3. Grades hat in 2 eine Wendestelle mit Wendetangente 9 y+3 x = 8. Der Graph verläuft durch den Ursprung. Bestimme die Gleichung der Polynomfunktion. Aufgabe Die Fahrt eines Skifahrers wird für die ersten 5 Sekunden eines bestimmten Streckenabschnitts durch die folgende Funktion s beschrieben: s(t) = 0,7 t 2 + 1,5 t mit 0 t 5 t... Zeit in Sekunden (s) s(t)... bis zum Zeitpunkt t zurückgelegter Weg in Metern (m) 3

4 a) Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit des Skifahrers zum Zeitpunkt t = 4 Sekunden. b) Veranschaulichen Sie anhand der Grafik, dass die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 Sekunden größer als die mittlere Geschwindigkeit während der ersten 5 Fahrsekunden ist. Aufgabe Die Flugkurve eines Motorrads nach dem Absprung von einer Motocross- Rampe kann unter Vernachlässigung des Luftwiderstands mit einer quadratischen Funktion f beschrieben werden: 10 (x 5,4)2 f(x) = 2,7 + x v 2 0 mit x > 5,4 x... waagrechte Entfernung vom Anfangspunkt der Rampe in Metern (m) f(x)... Höhe in Abhängigkeit von der waagrechten Entfernung x in Metern (m) v 0... Geschwindigkeit beim Absprung in m/s a) Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugkurve für eine Geschwindigkeit von v 0 = 14 m/s. b) Um die Sicherheit der Motocross-Fahrer nicht zu gefährden, wird auf der schrägen Landerampe eine sogenannte Safety-Zone markiert. Der Fahrer soll für eine sichere Landung in diesem Bereich landen. 4

5 Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit v 0 der Fahrer beim Absprung erreichen muss, damit die Flugkurve in der Mitte dieser Safety-Zone endet. Aufgabe Für die Strecke zwischen der Haltestelle Rathaus und der Haltestelle Volkstheater benötigt ein Zug der U-Bahn-Linie U2 in Wien durchschnittlich 60 Sekunden. Der zurückgelegte Weg des Zugs zwischen diesen beiden Haltestellen lässt sich annähernd durch die Weg-Zeit- Funktion s wie folgt beschreiben: s(t) = t t2 t... Zeit nach der Abfahrt in Sekunden (s), 0 t 60 s(t)... zurückgelegter Weg in Metern zum Zeitpunkt t a) Berechnen Sie die Strecke s in Metern, die der U-Bahn-Zug zwischen den beiden Haltestellen zurücklegt. b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des U-Bahn-Zugs in m/s für das Zeitintervall [30; 45]. c) Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit des U-Bahn-Zugs in m/s für t = 45 s. d) Erklären Sie, wie im abgebildeten Weg-Zeit-Diagramm die Momentangeschwindigkeit abgelesen werden kann. Lesen Sie näherungsweise den Zeitpunkt ab, zu dem die Momentangeschwindigkeit maximal ist. 5

6 1.1 a) f (x) = 2 hat keine Nullstelle, Globales Minimum: (3 3), Globales Maximum: ( 2 7) b) g (x) = 6 x 6 hat eine Nullstelle bei x = 1, Globales Minimum: (1 2), Globales Maximum: ( 2 25) c) h (x) = 2 x 10 hat eine Nullstelle bei x = 5, Globales Minimum: (3 35), Globales Maximum: ( 2 20) d) s (x) = 10 x + 10 hat eine Nullstelle bei x = 1, Globales Minimum: ( 2 23), Globales Maximum: (1 22) e) k (x) = 6 x 2 hat eine (doppelte) Nullstelle bei x = 0, Globales Minimum: ( 2 16), Globales Maximum: (3 54) f) q (x) = 12 x 2 12 x 24 hat Nullstellen x 1 = 2, x2 = 1 Globales Minimum: (2 9), Globales Maximum: ( 1 45) 1.2 Zuordnung 1.Zeile: f), b), e), 2. Zeile: a), d), c) 1.3 h(x) = 1 6 x2 + x f(x) = 2 x 2 8 x + 5 f(0) < 0 f(π/2) = 0 f(π) > 0 f(3π/2) = 0 f(2π) < 0 f (0) = 0 f (π/2) > 0 f (π) = 0 f (3π/2) < 0 f (2π) = 0 f (0) > 0 f (π/2) = 0 f (π) < 0 f (3π/2) = 0 f (2π) > f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d = f (x) = 3 a x b x + c f( 1) = 2 = I : a + b c + d = 2, f ( 1) = 0 = II : 3a 2b + c = 0 f( 3) = 4 = 27a + 9b 3c + d = 4, f (3) = tan(45 ) = 1 = IV : 27a + 6b + c = Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 30 m/s. 1.7 Folgende Aussagen sind zutreffend: a), e) 1.8 f(x) = 2 x 3 6 x f(x) = x x f(x) = 1 9 x3 2 3 x2 + x 1.11 a) s (4) = 7,1 m/s b) Die Steigung der Geraden durch (0 0) und (5 25) ist kleiner als die Steigung der Tangente im Punkt (4 17,2) a) H = (15,2 m 7,6 m) b) v 0 13,84 m 1.13 a) 600 m b) 13,75 m/s c) 11,25 m/s d) Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 ist geometrisch die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle t 0. Der Graph hat im Wendepunkt bei t = 30 s die größte Steigung. 6

7 2. Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Ableitung Unter welchem Winkel sollte man einen Schlagball abwerfen, damit er möglichst weit fliegt? Wie sollte eine zylindrische Konservendose mit 500 ml Volumen geformt sein, damit möglichst wenig Aluminium verbraucht wird? Bei Optimierungsproblemen interessiert man sich allgemein für jene Stellen einer Funktion, an denen der Funktionswert am größten oder kleinsten ist. Vielleicht kennst du eine solche Aufgabenstellung aber auch schon von früher: Als Kind verlangte ich wöchentlich von meinem Großvater, doch meine Höhe zu messen. Ich stellte mich dann in der Küche mit dem Rücken an die Wand. Mein Großvater nahm ein Buch zur Hand, das er mit dem Buchrücken an die Wand und der Unterseite nach unten über mir anlegte und nach unten führte, bis es schließlich meinen Kopf berührte. Die Unterseite des Buchs blieb durch den leichten Druck gegen die Wand horizontal. Größter Funktionswert in einem Intervall Wir können genau wie mein Großvater damals vorgehen, um den größten Wert einer differenzierbaren Funktion f im Intervall [a; b] zu finden: Der größte Funktionswert wird in diesem Beispiel an einer Stelle x max im Inneren des Intervalls angenommen. Die Tangente an den Graphen im Punkt (x max f(x max )) ist horizontal. Es gilt also In diesem Beispiel finden wir den größten Funktionswert ganz am Rand des Intervalls. Die Tangente an den Graphen im Punkt (x max f(x max )) ist in diesem Beispiel nicht horizontal. f (x max ) = 0. 7

8 Kleinster Funktionswert in einem Intervall Erkläre in eigenen Worten, warum es eine Stelle x min im Intervall [a; b] geben muss, an der die differenzierbare Funktion f den kleinsten Wert annimmt. Wie kannst du sie grafisch bestimmen? Globales Minimum und Maximum in einem Intervall Um x max und x min einer solchen Funktion herauszufinden, gehen wir also wie folgt vor: 1) Finde alle x 0 ]a; b[ mit f (x 0 ) = 0. Jede solche Stelle x 0 nennen wir kritische Stelle von f. Der zugehörige Punkt (x 0 f(x 0 )) am Funktionsgraphen heißt kritischer Punkt. 2) Berechne f(x 0 ) für alle kritischen Stellen x 0 ]a; b[ und vergleiche mit f(a) und f(b). 3) Finde x max und x min. Die Punkte (x max f(x max )) bzw. (x min f(x min )) nennen wir dann auch globales Maximum bzw. globales Minimum. Beispiel 2.1. Berechne das globale Minimum und Maximum der Funktion f(x) = x 3 3 x im Intervall [0; 2]. Skizziere den Graphen der Funktion. Lösung. 1) Die Ableitung ist f (x) = 3 x 2 3. Wir berechnen die Nullstellen der ersten Ableitung: f (x) = 0 3 x 2 3 = 0 x 2 = 1 Die einzige kritische Stelle im gegebenen Intervall [0; 2] ist also x 0 = 1. 2) Es gilt f(0) = 0, f(1) = 2 und f(2) = 2. 3) Das globale Minimum befindet sich also im kritischen Punkt (1 2) und das globale Maximum (2 2) liegt am Rand. 8

9 Aufgabe 2.2. Zeichne alle kritischen Punkte, das globale Minimum und globale Maximum der dargestellten Funktion im Intervall [1; 10] ein. Kritische Punkte Es gibt drei verschiedene Arten von kritischen Punkten: 1) Einen kritischen Punkt wie (2 1) nennen wir auch Sattelpunkt. 2) Einen kritischen Punkt wie (5 1) nennen wir auch lokales Maximum. 3) Einen kritischen Punkt wie (8 3) nennen wir auch lokales Minimum. Lokale Minima und Maxima werden zusammenfassend auch als Extrempunkte bezeichnet. Bei Extrempunkten ändert die Funktion ihr Monotonieverhalten von monoton wachsend auf monoton fallend oder umgekehrt. Das lokale Minimum ist in diesem Beispiel auch ein globales Minimum. Das globale Maximum wird jedoch am rechten Rand des Intervalls an der Stelle x max = 10 angenommen. In so einem Fall sprechen wir auch von einem Randmaximum. 3. Höhere Ableitungen und Kurvenuntersuchungen Erinnere dich, dass f (x 0 ) die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen von f im Punkt (x 0 f(x 0 )) angibt. Wenn diese Tangente in jedem Punkt des Funktionsgraphen existiert, dann können wir auch an jeder Stelle die Steigung der zugehörigen Tangente berechnen. Diese Funktion x f (x) haben wir die 1. Ableitung von f genannt. Mit der 1. Ableitung von f verstehen wir deren Steigung und das Monotonieverhalten, also in welchen Bereichen die Funktionswerte von f immer größer werden (f (x) > 0), in welchen Bereichen sie immer kleiner werden (f (x) < 0), und an welchen Stellen die Tangente waagrecht ist (f (x) = 0). 9

10 Wenn die Ableitungsfunktion f auch überall differenzierbar ist, dann nennen wir die 1. Ableitung von f auch die 2. Ableitung von f und schreiben statt (f ) (x) auch f (x). Mit der 2. Ableitung von f verstehen wir deren Krümmungsverhalten: Krümmungsverhalten Vervollständige die Sätze: Wenn in einem Intervall f (x) > 0 gilt, dann ist die 1. Ableitung von f in dem Intervall stets. Die Funktionswerte von f werden in diesem Intervall also immer. Die Steigung von f wird in dem Intervall also immer : f (x) > 0 f positiv gekrümmt linksgekrümmt (Straße in Vogelperspektive ; Auto in Linkskurve) Gilt in einem Intervall umgekehrt f (x) < 0, dann wird die Steigung von f in diesem Intervall immer : f (x) < 0 f negativ gekrümmt rechtsgekrümmt (Straße in Vogelperspektive ; Auto in Rechtskurve) Eselsbrücke: Positive Krümmung: + + Negative Krümmung: Rechts siehst du eine Funktion f, die ihr Krümmungsverhalten bei W 1 von negativ auf positiv gekrümmt ändert und bei W 2 umgekehrt von positiv auf negativ gekrümmt. Jede Stelle x 0, an der f das Vorzeichen wechselt, nennen wir Wendestelle von f. An der Wendestelle selbst gilt f (x 0 ) = 0. Den Punkt (x 0 f(x 0 )) nennen wir einen Wendepunkt und die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Wendepunkt 10

11 Die Ableitungen einer Funktion f erfüllen f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0. Wie verhält sich dann die Funktion in der Nähe von der Stelle x 0? Hinreichende Bedingung für lokales Minimum In der Nähe von x 0 ist die zweite Ableitung auch positiv. Wir nehmen an, dass f stetig ist, also nicht wild herumspringt. Also wächst die erste Ableitung in der Nähe von x 0. f ist ja die erste Ableitung von f und beschreibt somit die Steigung von f. Wegen f (x 0 ) = 0 wechselt f von negativ auf positiv bei x 0. Sehen wir uns also die Funktion f um x 0 herum an: Links von x 0 fällt sie, rechts von x 0 steigt sie. Kurz gesagt: Die Funktion f hat an der Stelle x 0 ein lokales Minimum. Hinreichende Bedingung für lokales Maximum Die Ableitungen einer Funktion f erfüllen f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0. Erkläre, warum die Funktion f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum hat. Zeichne den zugehörigen Extrempunkt rechts in der Skizze ein. 11

12 Höhere Ableitungen Wenn auch die Funktion f an jeder Stelle differenzierbar ist, schreiben wir für deren Ableitung f und sprechen von der 3. Ableitung von f. Genauso können wir uns auch noch höhere Ableitungen einer Funktion ansehen. Zur besseren Lesbarkeit schreiben wir dann aber zum Beispiel f (10) für die 10. Ableitung von f. Beispiel 3.1. Berechne die ersten vier Ableitungen von f(x) = 2 x 3 5 x 2 + x 10. Lösung. f (x) = 6 x 2 10 x + 1 = f (x) = 12 x 10 = f (x) = 12 = f (4) (x) = 0 1) Eine Funktion f erfüllt f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0. Erkläre, warum die Steigung von f an der Stelle x 0 ein lokales Minimum hat. Zeichne den zugehörigen Wendepunkt von f rechts in der Skizze ein. Hinreichende Bedingung für Wendepunkt 2) Eine Funktion f erfüllt f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0. Erkläre, warum die Steigung von f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum hat. Zeichne den zugehörigen Wendepunkt von f rechts in der Skizze ein. Bei einem lokalen Minimum muss nicht f (x 0 ) > 0 gelten. Nur mit den Informationen f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 wissen wir nicht, ob f an der Stelle x )... ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Sattelpunkt hat. 2)... eine Wendestelle hat. Erkläre das anhand der folgenden drei Funktionen: 12

13 Zeichne jeweils in drei verschiedenen Farben ein: 1) alle Punkte, an denen es bergauf geht (1. Ableitung ist positiv) 2) alle Punkte, an denen es bergab geht (1. Ableitung ist negativ) 3) alle kritischen Punkte (1. Ableitung ist Null) Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten 1) alle Punkte, an denen die Steigung wächst (2. Ableitung ist positiv) 2) alle Punkte, an denen die Steigung fällt (2. Ableitung ist negativ) 3) alle Wendepunkte (Vorzeichen der 2. Ableitung ändert sich) Beispiel 3.2. Untersuche rechnerisch das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion und skizziere den Funktionsgraphen. f(x) = x 3 6 x x + 1 Lösung. Wir berechnen die ersten drei Ableitungen von f: f (x) = 3 x 2 12 x + 9 f (x) = 6 x 12 f (x) = 6 Für die Suche nach lokalen Minima und Maxima berechnen wir die Nullstellen von f, also jene Stellen an denen die Tangente waagrecht ist: f (x) = 0 3 x 2 12 x + 9 = 0 ; x 1 = 1, x 2 = 3 Aus f (1) = 6 < 0 folgt, dass H = (1 f(1) = 5) ein lokales Maximum ist. Aus f (3) = 6 > 0 folgt, dass T = (3 f(3) = 1) ein lokales Minimum ist. 13

14 Monotonieverhalten: Die Funktion f ist also in den Intervallen ] ; 1[ und ]3; [ streng monoton steigend und im Intervall ]1; 3[ streng monoton fallend. Für die Suche nach Wendepunkten berechnen wir die Nullstellen von f : f (x) = 0 6 x 12 = 0 x = 2 Aus f (2) = 0 und f (2) = 6 0 folgt, dass W = (2 f(2) = 3) ein Wendepunkt der Funktion ist. Da f (2) positiv ist, wechselt das Vorzeichen der 2. Ableitung im Wendepunkt von negativ auf positiv. Krümmungsverhalten: Die Funktion f ist im Intervall ] ; 2[ also negativ gekrümmt und im Intervall ]2; [ positiv gekrümmt. Änderungsmaße Die absolute Änderung von f im Intervall [a; b] ist f(b) f(a). Die relative Änderung von f im Intervall [a; b] ist f(b) f(a). f(a) 0 f(a) Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a; b] ist f(b) f(a). Differenzenquotient b a Die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x 0 ist f(x f 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. Differentialquotient h 0 h 14

15 Grafisches Differenzieren Wir sehen hier die Graphen fünf verschiedener differenzierbarer Funktionen. x x x x x (1) (2) (3) (4) (5) Ordne jeder der Funktionen (1) - (5) die entsprechende Ableitungsfunktion (a) - (e) zu. x x x x x (a) (b) (c) (d) (e) Versuche, zu jeder der Funktionen (a) - (e) jeweils unterhalb die Ableitungsfunktion zu skizzieren. Die exakte Skalierung ist zweitrangig wichtig ist, dass du auf Monotonieverhalten und Vorzeichen wertlegst. x x x x x 15

16 4. Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Bei zeitabhängigen Funktion f(t) wird der Differentialquotient f (t 0 ) = lim h 0 f(t 0 + h) f(t 0 ) h (Steigung der Tangente an der Stelle t 0 ) auch als momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t 0 bezeichnet. Momentane Änderungsrate Läufst du mit einer konstanten Geschwindigkeit von v = 3 m/s, dann legst du in t Sekunden insgesamt 3 t Meter zurück. Allgemein ist bei einer konstanten Geschwindigkeit v der nach t Zeiteinheiten zurückgelegte Weg eine lineare Funktion mit Steigung v: s(t) = v t Aufgabe 4.1. Lies die konstante Geschwindigkeit der beiden Personen aus dem Diagramm ab: Gleichförmige Bewegung 1) Erkläre, warum die momentane Änderungsrate der Weg-Zeit-Funktion zu jedem Zeitpunkt genau die konstante Geschwindigkeit der Person ist. Kurz: s 1(t) = v 1 und s 2(t) = v 2. 2) Eine dritte Person bewegt sich ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit, möchte aber weder am langsamsten, noch am schnellsten sein. Erkläre, wie ein Graph der Weg-Zeit-Funktion s 3 aussehen kann, und zeichne ihn oben ein. 16

17 Was bedeutet Momentangeschwindigkeit? Aus dem Alltag kennst du sicher Beispiele von Bewegungen mit nicht konstanter Geschwindigkeit. Stellen wir uns vor, wir fahren mit einem Auto auf der mittleren von drei Fahrspuren. Was bedeutet es, dass wir zu einem Zeitpunkt t 0 die Momentangeschwindigkeit v(t 0 ) haben? Zum Zeitpunkt t 0 befindet sich auf der rechten Fahrbahn auf gleicher Höhe ein langsameres Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit v 1 fährt. Auf der linken Fahrbahn hingegen befindet sich auf gleicher Höhe ein schnelleres Auto mit konstanter Geschwindigkeit v 2. Wenn unsere Momentangeschwindigkeit v(t 0 ) größer als v 1 ist, soll das bedeuten, dass wir das rechte Auto augenblicklich überholen, d.h. in jedem noch so kurzen Zeitraum beginnend bei t 0 legen wir einen größeren Weg als das rechte Auto zurück. Umgekehrt legt das Auto links von uns in jedem noch so kurzen Zeitraum beginnend bei t 0 einen größeren Weg zurück es überholt uns sofort. Es gibt genau einen Wert v(t 0 ), der diese Eigenschaft hat, und zwar s (t 0 ), also die Steigung der Tangente an s an der Stelle t 0. Denn: Jedes Auto auf gleicher Höhe mit einer größeren Geschwindigkeit als s (t 0 ) überholt uns augenblicklich, während wir jedes Auto mit einer kleineren Geschwindigkeit als s (t 0 ) überholen. Daher nennen wir diesen Wert s (t 0 ) die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 und kürzen ihn mit v(t 0 ) ab. Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [t 0 ; t 1 ] ist die mittlere Änderungsrate von s im Intervall [t 0 ; t 1 ], also s(t 1 ) s(t 0 ) zurückgelegter Weg =. t 1 t 0 benötigte Zeit Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 ist die momentane Änderungsrate von s zum Zeitpunkt t 0, d.h. v(t 0 ) = s (t 0 ). Die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion s ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v, kurz: Mittlere Geschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit v(t) = s (t) (= ṡ(t)). 17

18 Beispiel 4.2. Der Graph einer Weg-Zeit-Funktion s ist dargestellt. s(t)... zurückgelegter Weg (in m) nach t Sekunden a) Bestimme die Länge jenes Wegs, der im Zeitintervall [1 s; 3 s] zurückgelegt wurde. b) Bestimme die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [1 s; 3 s]. c) Bestimme die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1 s. Lösung. a) Der zurückgelegte Weg beträgt s(3) s(1) = 14 2 = 12 m. b) Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [1 s; 3 s] beträgt s(3) s(1) 3 1 = 12 m 2 s = 6 m/s. c) Die gesuchte Momentangeschwindigkeit ist die Steigung der Tangente an der Stelle t = 1: v(1) = s (1) = 4 m/s. Ein Auto beschleunigt in 5 Sekunden von 0 m/s auf 30 m/s. Wenn die Beschleunigung konstant ist, dann wird das Auto also pro Sekunde um 6 m/s schneller. Kurz: Die Beschleunigung beträgt a = 6 m/s 2. Allgemein ist bei einer konstanten Beschleunigung a die Geschwindigkeit v nach t Zeiteinheiten eine lineare Funktion mit Steigung a: v(t) = a t Momentanbeschleunigung Was passiert, wenn a nicht konstant ist, sondern sich zeitabhängig verändert? Wir gehen dann also von einer Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t) aus. Versuche wie bei der Momentangeschwindigkeit zu erklären, warum die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t 0 a(t 0 ) = v (t 0 ) ist. 18

19 Die mittlere Beschleunigung im Intervall [t 0 ; t 1 ] ist die mittlere Änderungsrate von v im Intervall [t 0 ; t 1 ], also v(t 1 ) v(t 0 ) = Geschwindigkeitsänderung. t 1 t 0 benötigte Zeit Die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t 0 ist die momentane Änderungsrate von v zum Zeitpunkt t 0, d.h. a(t 0 ) = v (t 0 ). Die Ableitung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v ist daher die Beschleunigung-Zeit-Funktion a, kurz: Mittlere Beschleunigung und Momentanbeschleunigung a(t) = v (t) (= v(t)). Beispiel 4.3. Der Graph einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v ist dargestellt. v(t)... Geschwindigkeit (in m/s) nach t Sekunden a) Bestimme die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall [0 s; 3 s]. b) Bestimme die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall [0 s; 3 s]. c) Bestimme die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t = 7 s. Lösung. a) Die Geschwindigkeitsänderung beträgt v(3) v(0) = 8 3 = 5 m/s. b) Die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall [0 s; 3 s] beträgt v(3) v(0) 3 0 = 5 m/s 3 s = 1, m/s 2. c) Die gesuchte Momentanbeschleunigung ist die Steigung der Tangente an der Stelle t = 7: a(7) = v (7) = 0 m/s 2. Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Erkläre, warum die zweite Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion s die zugehörige Beschleunigung- Zeit-Funktion a ist: s (t) = a(t). 19

20 Beispiel 4.4. Der von einem Auto zurückgelegte Weg s lässt sich in einem Abschnitt näherungsweise durch folgende Funktion beschreiben: s(t) = 1 24 t t 3... vergangene Zeit in Sekunden 3 t3 + t t s(t)... zurückgelegter Weg in Metern nach t Sekunden Berechne jene Zeitpunkte im Zeitraum [0 s; 3 s], an denen die Momentanbeschleunigung des Autos maximal bzw. minimal ist. Lösung. v(t) = s (t) = 1 6 t3 + t t + 8 a(t) = v (t) = 1 2 t2 + 2 t + 2 a (t) = t + 2 Kritische Stellen von a berechnen: a (t) = 0 t = 2 s Funktionswerte am Rand und an der kritischen Stelle berechnen: a(0) = 2 m/s 2, a(2) = 4 m/s 2, a(3) = 3,5 m/s 2 Die Momentanbeschleunigung ist nach 2 Sekunden maximal (lokales und globales Maximum) und nach 0 Sekunden minimal (Randminimum). 5. Mittelwertsatz der Differentialrechnung Steigung der Sehne In der Grafik rechts siehst du den Graphen einer differenzierbaren Funktion f und zwei Stellen a und b mit a < b: Erkläre, warum die Steigung der Sehne, die (a f(a)) und (b f(b)) miteinander verbindet, beträgt. f(b) f(a) b a 20

21 Sehne und parallele Tangente Wir nehmen jetzt die Sehne und heben sie parallel nach oben, bis sie den Graphen von f unter sich zurück lässt. Dann senken wir die Sehne Stück für Stück ab, bis sie den Graphen erstmals berührt: f(b) f(a) Erkläre, weshalb f (s) =, wobei s die Berührstelle ist. b a Kurz gesagt: Zu jeder Sehne gibt es eine parallele Tangente. Diese Tatsache hat ein paar wirklich tolle und wichtige Konsequenzen. Mittelwertsatz der Differentialrechnung Gegeben ist eine Funktion f, die im Intervall [a; b] stetig ist und in ]a; b[ differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle s in ]a; b[ mit f(b) f(a) f (s) =. b a Beispiel 5.1. In der Abbildung ist der Graph der Weg-Zeit-Funktion s(t) = 0,3 t 3 dargestellt. 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit in km/h im Zeitintervall [1 h; 3 h]. 2) Berechne jenen Zeitpunkt im Intervall [1 h; 3 h], an dem die Momentangeschwindigkeit mit der mittleren Geschwindigkeit übereinstimmt. 3) Veranschauliche die Ergebnisse in der Abbildung. 4) Erkläre, warum es in jedem Zeitintervall einen Zeitpunkt geben muss, an dem die Momentangeschwindigkeit mit der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall übereinstimmt. 21

22 Lösung. 1) Der zurückgelegte Weg im Zeitraum [1 h; 3 h] beträgt s(3) s(1) = 7,8 km. Die mittlere Geschwindigkeit ist also 7,8 km = 3,9 km/h. 2 h 2) Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ist v(t) = s (t) = 0,9 t 2. Die Gleichung v(t) = 3,9 hat die Lösungen t 1 = 2, h und (t 2 = 2, h). Nach rund 2 Stunden und 5 Minuten stimmt also die Momentangeschwindigkeit mit der mittleren Geschwindigkeit im Zeitraum [1 h; 3 h] überein. 3) 4) Die Momentangeschwindigkeit kann nicht zu jedem Zeitpunkt kleiner als die mittlere Geschwindigkeit sein. Erklärung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Die mittlere Geschwindigkeit ist die Steigung der Sehne, und die Momentangeschwindigkeit ist die Steigung der Tangente. Monotonieverhalten 1) Angenommen f (x) > 0 für alle x ]a; b[. Erkläre, weshalb f(a) < f(b) gilt. Tatsächlich ist die Funktion f streng monoton wachsend auf dem Intervall. 2) Angenommen f (x) < 0 für alle x ]a; b[. Erkläre, weshalb f(a) > f(b) gilt. Tatsächlich ist die Funktion f streng monoton fallend auf dem Intervall. 3) Angenommen f (x) = 0 für alle x ]a; b[. Erkläre, weshalb f(a) = f(b) gilt. Tatsächlich ist die Funktion f konstant auf dem Intervall. 22

23 6. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe 6.1. Für den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung bei einem Entladevorgang gilt: u C (t) = U 0 e t τ t... Zeit ab Beginn des Entladevorgangs u C (t)... Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t U 0, τ... positive Parameter Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen dieser Funktion zum Zeitpunkt t = τ auf. Zeigen Sie, dass diese Tangente die t-achse zum Zeitpunkt t = 2 τ schneidet. Aufgabe 6.2. Um die Unebenheit eines Bodens zu ermitteln, soll der Punkt T bestimmt werden. Im Punkt T ist die Tangente an den Graphen von p parallel zur Geraden f (siehe nachstehende Skizze). Es gilt: p(x) = 70,000 x ,000 x 3 100,000 x ,000 x + 3,000 f(x) = 4,046 x + 4,378 x... horizontale Koordinate in Metern (m) p(x), f(x)... vertikale Koordinate in Millimetern (mm) Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die x-koordinate des Punktes T berechnet werden kann. Berechnen Sie die x-koordinate des Punktes T. 6.1 y = U 0 e 1 ( 1 τ ) (t τ) + U0 e 1 t = 2 τ: y = U 0 e 1 ( 1 τ ) τ + U0 e 1 = U 0 e 1 ( 1) + U 0 e 1 = p (x) = f (x) = 280 x x x + 17 = 4,046 = (x 1 = 0, ), x2 = 0, , (x3 = 0, ) Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.