Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA

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1 . Semester ARBEITSBLATT -6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen hben deckungsgleiche (kongruente), prllele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenknten sind lle gleich lng und zueinnder prllel. Stehen die Seitenknten norml uf die Grundfläche, so nennt mn ds Prism gerde, nsonsten nennt mn es schief. Beispiel: Gerdes, sechseitiges Prism Seitenknte Höhe Erklärung: Knte ist sichtbr Knte ist unsichtbr Definition: Unter der Höhe eines Prisms versteht mn den Abstnd zwischen Grund- und Deckfläche. 1

2 . Semester Beispiel: Schiefes, vierseitiges Prism Höhe Stz: Für ds Volumen (= Jene Menge Flüssigkeit, welche mn in den Körper schütten könnte) gilt für ds Prism: Volumen = Gundfläche Höhe oder bgekürzt V = G h Stz: Für die Oberfläche (= Flächeninhlt der Hülle des Körpers) gilt: Oberfläche = Grundfläche + Mntelfläche oder bgekürzt O = G + M. Als Mntel bezeichnet lle Seitenflächen zusmmen. Sonderformen von Prismen: DER QUADER Definition: Ein Prism mit rechteckiger oder qudrtischer Grund- und Deckfläche nennt mn einen Quder. Beispiel: Rechteckiger Quder E H F G c Legende: =Länge b=breite c=höhe A D C b Für die Volums- und Oberflächenberechnung gilt: B

3 . Semester Stz: V = G h O = G + M = b + c + bc DER WÜRFEL Definition: Ein Quder, bei dem lle Seitenknten gleich lng sind ( = b = c) nennt mn einen Würfel. Für die Volums- und Oberflächenberechnung gilt: Stz: V = O = 6 Beispiel: Berechne für ds gegebene Prism 1) ds Volumen, ) die Oberfläche. ) Zündholzschchtel: = 5, cm; b =,4 cm, c = 1,5 cm b) Qudrtischer Pfeiler: = 6 cm, h = 1,84 m c) Würfelförmiger Bustein: = 7,4 cm Lösung: ) Eine Zündholzschchtel ist ein rechteckiger Quder. Es gilt lso: V = G h = b c = 5,, 4 15, = 7, 0cm O = G + M = b + c + bc = 5,, 4 + 5, 15, +, 4 15, = 6, 14cm b) Grund- und Deckfläche sind nun Qudrte. Es gilt: V = G h = h = 6, 18, 4 = 707, 96dm O = G + M = + 4h = 6, + 4 6, 18, 4 = 5, dm c) Für den Würfel gilt: V = = 7, 4 = 405, 4cm O = 6 = 6 7, 4 = 8, 56cm Für die folgenden Aufgben ist noch eine Formel von Bedeutung: Msse = Volumen Dichte M = V D Die Dichte wird mit dem griech. Buchstben ρ bgekürzt.

4 . Semester Beispiel: Ein Aluminiumquder (Dichte Umkehrufgben: ρ = 700kg / m ) mit der Msse m = 9,45 kg ist 5 cm lng und 5 cm breit. Berechne die Höhe des Quders. Lösung: Aus der gegebenen Msse und Dichte können wir uns ds Volumen errechnen: M = V D /: D M V = D 9, 45 V = = 0, 005m =, 5dm 700 Nun setzen wir in die Volumsformel ein und berechnen drus die Höhe: V = b h, 5 =, 5 0, 5 h, 5 = 175, h /: 175, h = dm ) DIE PYRAMIDE Definition: Eine Pyrmide ht ein beliebiges n-eck ls Grundfläche und eine Spitze S. Alle Seitenknten schneiden einnder in der Spitze S. Definition: Liegt die Körperhöhe h einer Pyrmide genu über dem Umkreismittelpunkt der Grundfläche, so nennt mn die Pyrmide regelmäßig. Alle Seitenflächen sind dnn deckungsgleiche gleichschenkelige Dreiecke. Unter der Körperhöhe h versteht mn den kürzesten Abstnd der Spitze S zur Grundfläche. 4

5 . Semester Beispiel: Regelmäßige vierseitige Pyrmide. S s h D C A B b Legende: = Länge b=breite h=höhe s=seitenknte Für die Berechnung des Volumens und der Oberfläche gilt: G h Stz: V = O = G + M Beispiel: Von einer regelmäßigen rechteckigen Pyrmide kennt mn die Seite = 4 mm; b = 18 mm und h = 40 mm. Berechne ds Volumen. G h b h Lösung: V = = = = 10080mm = 10, 08cm Beispiel: Ein pyrmidenförmiges Turmdch mit rechteckiger Grundfläche soll neu gedeckt werden. Wieviel m müssen gedeckt werden, wenn = 4, m; b =,6 m; h = 6,1 m und hb = 6, m? Lösung: Wir mchen uns zunächst einml eine Skizze: 5

6 . Semester h h b h b Wenn Sie die Zeichnung betrchten, so wird hier bereits erklärt, ws wir unter h und hb zu verstehen hben. Wir müssen j den Mntel der Pyrmide berechnen. Dieser setzt sich ber us je unterschiedlichen Dreiecken zusmmen. Die ersten beiden Dreiecke werden von den Knten,s,s gebildet, die beiden nderen von den Knten b,s,s. D wir die Fläche der Dreiecke benötigen, bruchen wir für die Berechnung die Dreieckshöhe, diese ist für ds erste Dreieck h, für ds zweite hb. Ich skizziere noch einml ds Dreieck,s,s: s h s Nun können wir lso den Mntel berechnen: h b hb M = + M = h + b h M = 4, 6, 1+, 6 6, = 4m b 6

7 . Semester ) DER DREHZYLINDER Definition: Unter einem Drehzylinder ht zwei deckungsgleiche Kreise ls Grund- und Deckfläche. Rdius r DECKFLÄCHE Höhe h MANTEL GRUNDFLÄCHE Für ds Volumen und die Oberfläche gilt: Stz: V = G h = r π h O G + M = r + r h = π π Beispiel: Siehe REICHEL 4; Seite 07; Beispiel A 7

8 . Semester 4) DER DREHKEGEL S s h MANTEL r GRUNDFLÄCHE Legende: r = Rdius h = Körperhöhe s = Erzeugende Für ds Volumen und die Oberfläche gilt folgendes: Stz: V π G h r h = = O = G + M = r π + r π s Beispiel: Von einem Drehkegel kennt mn den Rdius r = 5, m und die Höhe h = 6,8 m. Berechne ds Volumen. r πh 5, π 6, 8 Lösung: V = = = 19, 5m Übungen: Übungsbltt 9; Aufgben

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