5 Zusammenhangsmaße, Korrelation und Regression

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1 5 Zusammenhangsmaße, Korrelation und Regression 5.1 Zusammenhangsmaße und Korrelation Aufgabe 5.1 In einem Hauptstudiumsseminar des Lehrstuhls für Wirtschafts- und Sozialstatistik machten die Teilnehmer für die Merkmale Semesterzahl (X) bzw. Studienfach (Y) folgende Angaben. 1. VWL SOZ 6 2. VWL MATHE 6 3. BWL VWL 5 4. MATHE SOZ 4 5. MATHE MATHE 8 6. MATHE VWL 9 7. VWL VWL 4 8. SOZ MATHE 6 9. MATHE BWL BWL MATHE 9 a) Erstellen Sie anhand der Urliste eine gemeinsame Häufigkeitsverteilung (absolut und relativ). b) Bestimmen Sie die Anteile der Studenten aus den verschiedenen Fachrichtungen in diesem Seminar. c) Ermitteln Sie die Verteilung der Studiensemester der Veranstaltung. d) Wie groß ist der Anteil der Wirtschaftswissenschaftler an allen Seminarteilnehmern? Aufgabe 5.2 Bei einer Untersuchung sollte überprüft werden, ob ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen Studienzeit und späterem Jahreseinkommen (Brutto) besteht. Folgende Tabelle wurde dabei erstellt: Semesterzahl Einkommen (in e) b. u b. u b. u b. u b. u a) Bestimmen Sie die die relativen und absoluten Randverteilungen der Häufigkeitstabelle. b) Überprüfen Sie die beiden Merkmale auf Unabhängigkeit. Aufgabensammlung Statistik I, 2007 Seite 23

2 c) Wie groß ist der Anteil der Personen, die mindestens 11 Semester studiert haben und mindestens e im Jahr verdienen? d) Erstellen Sie eine Tabelle mit der gemeinsamen empirischen Verteilungsfunktion. e) Berechnen Sie den Wert des Kontingenzkoeffizienten. Interpretieren Sie das Ergebnis und nehmen Sie Stellung zu der Vorgehensweise. Aufgabe 5.3 Im Fachbereich IV interessiert man sich, ob es einen Zusammenhang zwischen den Noten in Methodenlehre und Statistik gibt. Deshalb fasst man die Klausurnoten der Studenten eines Semesters in einer Tabelle zusammen. Methodenlehre Statistik a) Erklären und begründen Sie kurz, ob die beiden Merkmale voneinander unabhängig sind. b) Wie müsste die Tabelle aussehen, wenn beide Merkmale voneinander unabhängig wären? c) Ermitteln Sie die Randverteilungen beider Merkmale. d) Erstellen Sie die empirische Verteilungsfunktion beider Merkmale. e) Diskutieren Sie die in der Vorlesung besprochenen Zusammenhangsmaße auf Ihre Eignung in diesem Beispiel. Aufgabe 5.4 Das Ergebnis einer Abiturientenbefragung (n=300 Abiturienten) nach ihrer Studienabsicht ist aus folgender Tabelle abzulesen: Geschlecht Studienabsicht weiblich männlich Studium: Ja Studium: Nein Unentschlossen a) Interpretieren Sie die Werte n 12 und n 21. b) Berechnen und Interpretieren Sie die Werte der Randhäufikeiten. Aufgabensammlung Statistik I, 2007 Seite 24

3 c) Berechnen sie die bedingte Häufigkeiten der Studienabsicht. d) Berechnen sie die relativen Häufigkeiten unter der Annahme die Merkmale seien unabhängig. e) Berechnen Sie den Wert des Kontingenzkoeffizienten. Welchen Wert würde dieser bei Unabhängigkeit der Merkmale annehmen? f) Könnte man die Ausmaß des Zusammenhangs in dieser Aufgabe auch anhand des Bravais Pearson Korrelationskoeffizienten berechnen? Aufgabe 5.5 Bei einer Befragung von hundert 40-jährigen Männern nach ihrem Familienstand (y 1 =ledig, y 2 =verheiratet, y 3 =geschieden) und ihrer Religionszugehörigkeit (x 1 =katholisch, x 2 = evangelisch, x 3 =sonstige) kam man zu dem in folgender Tabelle zusammengefassten Ergebnis. Religionszugehörigkeit Familienstand katholisch evangelisch sonstiges ledig verheiratet geschieden Berechnen Sie den Wert eines geeigneten Zusammenhangsmaßes und anschließend eines normierten Koeffizienten. Aufgabe 5.6 Folgende Kontingenztabelle mit relativen Häufigkeiten sei gegeben. Vervollständigen Sie diese unter Annahme, die beiden Merkmale seien unabhängig. x 1 x 2 x 3 y 1 0,12 0,75 y 2 0,05 Hätten Sie die Tabelle auch ohne die getroffene Annahme vervollständigen können? Wie wären Sie dann vorgegangen. Aufgabe 5.7 Zeigen Sie, dass folgendes gilt: s (X+Y 2 ) = s X 2 + s Y s X,Y Aufgabe 5.8 Zeigen Sie, dass folgendes gilt: a) s X,Y = 1 n b) s X,Y = 1 n n x i y i x y i=1 m j=1 k=1 r x j y k n kj x y Aufgabensammlung Statistik I, 2007 Seite 25

4 5.2 Lineare Regression Aufgabe 5.9 Erklären Sie Idee und Vorgehensweise bei der empirischen Regression. Aufgabe 5.10 Eine PBSF-Gruppe beschäftigt sich mit Medizin-Soziologie. Im Rahmen einer Befragung erheben Sie bei 25 Personen die Merkmale Zigarettenkonsum und Anzahl der Arztbesuche und erstellen folgende Tabelle: mit: UT i X Y UT i X Y UT: Untersuchungsteilnehmer X: Anzahl der Päckchen pro Monat Y: Anzahl der Arztbesuche pro Jahr Berechnen Sie eine Regressionfunktion nach der Methode der Kleinsten Quadrate. Ermitteln Sie ferner den Wert eines geeigneten Gütemaßes für die Regression. Aufgabe 5.11 Der Betreiber eines Lieferservices hat festgestellt, dass sich die Abhängigkeit seines Umsatzes (in e) von der Anzahl seiner Fahrer durch die folgende Funktion beschreiben lässt: ŷ = x Er beschließt nun, drei weitere Fahrer einzustellen. Definieren Sie sinnvoll unabhängige und abhängige Variable. Mit welchem Effekt rechnet der Betreiber des Lieferservices auf den Umsatz? Aufgabe 5.12 Eine Studie untersuchte die Abhängigkeit der Mietausgaben Y vom monatlichen Nettoeinkommen X. Die Regressionsanalyse ergab folgende Regressionsfunktion: ŷ = ,2 x Welche Auswirkung hätte eine Erhöhung aller Einkommen um 100 e? Aufgabensammlung Statistik I, 2007 Seite 26

5 Aufgabe 5.13 Ein Computerhändler hat über den Zeitraum von zwei Jahren hinweg seine monatlichen Beschaffungskosten (BK in Tsd.) und die Anzahl (n j ) der von ihm vertriebenen PC s in einer Tabelle zusammengestellt: Jahr 2004 JAN FEB MÄR APR MAI JUN JUL AUG SEP OKT NOV DEZ BK n j Jahr 2005 JAN FEB MÄR APR MAI JUN JUL AUG SEP OKT NOV DEZ BK n j Bestimmen Sie die lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate. Ermitteln Sie die geschätzten monatlichen Beschaffungskosten für Mai Überlegen Sie, ob diese Angabe hier sinnvoll ist. Aufgabensammlung Statistik I, 2007 Seite 27

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a) Zeichnen Sie in das nebenstehende Streudiagramm mit Lineal eine Regressionsgerade ein, die Sie für passend halten. Statistik für Kommunikationswissenschaftler Wintersemester 2009/200 Vorlesung Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Übung Cornelia Oberhauser, Monia Mahling, Juliane Manitz Thema 4 Homepage zur Veranstaltung: http://www.statistik.lmu.de/~helmut/kw09.html

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