Grundwissen Mathematik 6/1 1

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1 Bruchrechnung Grundwissen Mthemtik 6/. Formveränderung von Brüchen Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der selben Zhl multiplizieren. Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zhl dividieren. Bechte: Mn drf mit 0 weder erweitern noch kürzen. b b c = bc :c = b:c Ü:. Kürze soweit wie möglich: ) 8 b) 0 c) 80 d) Erweitere uf den Nenner in der Klmmer: ) 3 ; 7 4 ; 8 5 ; (0) b) 0 9 ; 7 ; 3 ; (54). Addition und Subtrktion gemeiner Brüche Regel: Mn bestimmt den Huptnenner und mcht die Brüche gleichnmig. Mn ddiert bzw. subtrhiert die Zähler. Mn behält den gemeinsmen Nenner bei z. B.: + = + = = = 4 3 Ü: ) 7 + = b) = c) = 5 5 d) = Multipliktion gemeiner Brüche Regeln: Bruch ml Bruch Mn multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Gemischte Zhlen werden vorher in unechte Brüche umgewndelt. c c = z. B.: = = = b d b d Bruch ml gnze Zhl Mn verwndelt die gnze Zhl in einen Bruch mit dem Nenner und verfährt c c nch obiger Regel. c = = b b b Ü: 3) = b) 3 5 = c) Division gemeiner Brüche 8 = d) = 3 Regel: Mn bildet den Kehrwert des zweiten Bruches und multipliziert nschließend die beiden Brüche. c d d : = = z. B.: 4 : = = = = 4 b d b c b c Ü: 4) 4 : 33 = b) 7 : 3 8 = c) 5 : 9 3 = d) 6 : 7 3 =

2 Bruchrechnung 5. Umwndlung von gemeinen Brüchen in Dezimlbrüche Grundwissen Mthemtik 6/ Regel: Mn wndelt einen gemeinen Bruch in einen Dezimlbruch um, indem mn den Bruchstrich durch ein Divisionszeichen ersetzt und den Zähler durch den Nenner dividiert. z. B.: 7 7 :8 0,875 8 = = 5 4 = =, =,5 9 9 Ü: 5) 8 5 b) 9 6 c) 3 8 d) 50 e) 3 6. Umwndlung von Dezimlbrüchen in gemeine Brüche 6. Endliche Dezimlbrüche Regel: Im Zähler steht die Zhl us llen Dezimlen. Im Nenner steht die entsprechende Stufenzhl. Die Gnzen werden gesondert umgewndelt. z. B.: 6 4 0,6 = = 00 5 f) , 4 = 3 = Ü: 6.) 0,5 b) 0,5 c) 0,035 d) 3,58 e) 4, f) 0,35 6. Unendlich periodische Dezimlbrüche Regel: Im Zähler steht die Periode. Im Nenner steht eine Zhl, die us so vielen Ziffern 9 besteht wie die Länge der Periode vorgibt. 3 z. B.: 0,3 = = 0,00 = (Die Regel gilt nur, wenn die Periode sofort nch dem Komm beginnt!) Ü: 6.) 0, b) 0,6 c) 0, d) 3, 43 e) 0,09 f) 0,4 7. Runden von Dezimlbrüchen Regel: Bei sehr lngen oder unendlichen Dezimlbrüchen genügt häufig ein gerundeter Näherungswert der Zhl. Dfür gilt folgendes: Abrunden: Die zu rundende Ziffer bleibt unverändert, wenn eine der Ziffern 0-4 folgt. Aufrunden: Die zu rundende Ziffer wird um erhöht, wenn eine der Ziffern 5-9 folgt. Vor dem Runden ist festzustellen, uf welche Stelle gerundet werden soll und die folgende Ziffer ist die entscheidende. z. B.: 3,8 (G) = 4 6,983 (h) = 6,98,057 (z) =, Ü: 7 Runde uf die ngegebene Stelle nch dem Komm: ) 67,345 (h) b) 7,987 (z) c) 3,354 (G) d),009 (z)

3 Bruchrechnung 8. Addition und Subtrktion von Dezimlbrüchen Grundwissen Mthemtik 6/ 3 Regel: Mn bringt die Dezimlbrüche durch Anhängen von Endnullen uf gleich viele Dezimlen. Mn ddiert bzw. subtrhiert Ziffern mit gleichem Stellenwert. z. B.: 3,4 +,345 0,7 = 3,400 +,345 0,70 = 5,035 Ü: 8) 4,8 + 30, 4 + 8,5673 = b),98 4, , 0, 056 = c) (45,3 + 4,907) (34,564 6, 0) = 9. Multipliktion von Dezimlbrüchen Regel: Mn multipliziert die beiden Dezimlbrüche zunächst ohne Komm. Mn setzt ds Komm so, dss ds Ergebnis so viele Dezimlen besitzt wie beide Fktoren zusmmen. z. B.: 4,5 0,3 =,35 Ü: 9) 3 0,04 = b) 8,6 6,0 = c),5 000 = d) 0,0 0,3 = 0. Division von Dezimlbrüchen Regel: Mn verschiebt ds Komm bei Dividend und Divisor um gleich viele Stellen soweit nch rechts bis der Divisor kommfrei ist. Mn dividiert wie in IN. Mn setzt ds Komm im Ergebnis beim Überschreiten der Kommstelle beim Dividenden. z. B.: 4,97 : 3,5 = 49,7 : 35 =, Ü: 0) 30,88:,4 = b) 5,606 : 3,06 = c) 64 : 0,06 =

4 Grundwissen Mthemtik 6/ Terme. Definition Jede Zhl z. B.: 5; 0,; 7 ;... Jede Vrible z. B.: ; x; y;... Jede sinnvolle Verknüpfung us Zhlen, z.b.: 5+ 0,3,4; 3 x 7; x 5;... Vriblen und Rechenzeichen bezeichnet mn ls Term. Jeder Term, der eine Vrible enthält, besitzt eine Grundmenge GI für die Vrible.. Drstellungsrten von Termen Wenn mn für die Vrible des Terms Zhlen der Grundmenge einsetzt, erhält mn jeweils den dzugehörigen Termwert. Terme knn mn in numerischen und grphischen Wertetbellen drstellen: Beispiel: T(x) = 0,5 x + G I = {0;; ; 3; 4; 5; 6}. Numerische Wertetbelle x ,5 x +,5 3 3,5 4 4,5 5. Grphische Wertetbelle T(x) Äquivlente Terme O x Terme sind äquivlent (gleichwertig), wenn sie bei llen Einsetzungen us der Grundmenge GI jeweils die gleichen Termwerte hben. Beispiele:. T(x) = 0+ 4 x und T (x) = (5+ x) 4 G I = {;;3} für x = T () = 4 T () = 4 für x = T () = 8 T () = 8 für x = 3 T (3) = 3 T (3) = 3 D die Termwerte für lle Einsetzungen gleich sind, sind die Terme äquivlent T (x) = T (x). T(x) = x x und T(x) = x G I = {0;;} für x = 0 T (0) = 0 T (0) = 0 für x = T () = T () = für x = T () = 4 T () = 4 D die Termwerte nicht für lle Einsetzungen nicht gleich sind, sind die Terme nicht äquivlent T (x) T (x)

5 Grundwissen Mthemtik 6/ Lösen von Gleichungen durch Äquivlenzumformungen. Äquivlenz von Gleichungen Gleichungen (Ungleichungen), die bei gleicher Grundmenge dieselbe Lösungsmenge besitzen, heißen äquivlent. Beispiel: (5 + x) 4 = 80 ist äquivlent zu x = 80 in GI = Q I + 0, d beide Gleichungen die Lösungsmenge IL = {5} hben.. Äquivlenzumformungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche Zhl ddiert oder subtrhiert beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen Zhl multipliziert oder dividiert. Eine derrtige Umformung heißt Äquivlenzumformung. Beispiele: GI = Q I + 0. x + = 5. x = 4 : x 5 3 = 5 x = x = x = IL = {} IL = {} Zur Probe setzt mn ds Lösungselement ein und überzeugt sich, dss eine whre Aussge entsteht! + = 5 (whre Aussge) 5 3 = (whre Aussge) Ü: Löse durch Äquivlenzumformungen die Gleichungen mit GI = Q I + 0 ) x0 = 4 b) 4 x = 3 5 c) x+ 3= 8 d), y 0,3 = 4,5 e) (7 3) x + 6 = f) g) z :,6 =, x = 4 4 3

6 Direkte Proportionlität Grundwissen Mthemtik 6/3 Entspricht bei einer Zuordnung von Größen ds n-fche der einen Größe dem n-fchen der nderen Größe, so heißt diese Zuordnung direkte Proportionlität. Beispiel: Wurstufschnitt M in x g Kosten K in y 0,5 M in g K in 0,60,0,40 3,00 6,00,5 0 Eigenschften: Alle Größenpre (A B) einer direkten Proportionlität sind quotientengleich. B Der konstnte Quotient k = heißt Proportionlitätsfktor oder A Proportionlitätskonstnte. Beispiel: M in g K in 0,60,0,40 3,00 6,00 K in M g 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Mn sgt: Die beiden Größen M und K sind zueinnder direkt proportionl ( K M) Der Grph einer direkten Proportionlität ist eine Hlbgerde, die im Ursprung beginnt. 6 K in O M in g

7 Prozentrechnung Grundwissen Mthemtik 6/4 Bruchteile gibt mn oft in Prozent ( von Hundert ) n. Dbei gilt: p = % = p% Beispiele: ) 9 9% 00 = b) = 50 = 50% c) = 40 = 40% d) = = 3% Begriffe der Prozentrechnung Von 35 Schülerinnen erhielten 60 %, lso 8 Schülerinnen Urkunden. Grundwert (GW) Prozentstz (p) Prozentwert (PW). Berechnungen Die Zhlen- bzw. Größenpre bei der Prozentrechnung sind quotientengleich. Es gilt: Pr ozentwert (PW) Grundwert (GW) = oder Pr ozentstz (p) 00 Pr ozentstz (p) 00 = Pr ozentwert (PW) Grundwert (GW). Berechnung des Prozentwerts Grundwert (GW) Pr ozentstz (p) Pr ozentwert (PW) = 00 Beispiel: Berechne 0% von PW = PW = Berechnung des Grundwerts Pr ozentwert (PW) 00 Grundwert (GW) = Pr ozentstz (p) Beispiel: Im einem Prkhus sind 80% der Prkplätze belegt, dss sind 0 Stellplätze. Wie viele Stellplätze ht ds Prkhus? 0 00 GW = GW = 50 Ds Prkhus ht 50 Stellplätze. 80. Berechnung des Prozentstzes Pr ozentwert (PW) 00 Pr ozentstz (p) = Grundwert (GW) Beispiel: Von 0 Elfmetern ht Sebstin 3 verwndelt. Wie hoch ist der Prozentstz? 3 00 p = p= 65 Sebstin ht 65% der Elfmeter verwndelt. 0

8 Prozentrechnung Grundwissen Mthemtik 6/4 Übungen. Berechne 75% von 800 kg.. Ein Pfhl steht 69 cm tief im Boden. 70% seiner Länge sind sichtbr. Wie lng ist der gnze Pfhl? 3. Eine Fußbllmnnschft verlor von 35 Spielen in der vergngen Sison 4 Spiele. Wie viel Prozent sind ds? 4.0 Berechne die fehlenden Größen. Prozentstz (p) Grundwert (GW) Prozentwert (PW) g m

9 Grundwissen Mthemtik 6/5 Addition und Subtrktion in Z. Zhl und Gegenzhl Zwei Zhlen, deren Zhlenpfeile sich nur durch die Richtung unterscheiden, nennt mn Zhl und Gegenzhl Beispiele: Gegenzhl zu 9: 9 Gegenzhl zu :. Absoluter Betrg einer Zhl Unter dem bsoluten Betrg einer Zhl versteht mn die Mßzhl der Länge ihres Zhlenpfeils (Abstnd zur Zhl 0). D Zhl und Gegenzhl gleichlnge Zhlenpfeile besitzen, ist ihr bsoluter Betrg gleich: z. B.: 4 = + 4 = 4 3. Rechenzeichen - Vorzeichen Die Rechenrt wird bestimmt durch ds Rechenzeichen. Ds Vorzeichen gibt n, ob die Zhl positiv oder negtiv ist. ( + 4) + ( 3) Für ds Zusmmentreffen + ( + ) = + von Vorzeichen und ( + ) = Vorzeichen Vorzeichen Rechenzeichen gilt ( + ) = Rechenzeichen folgende Regel: ( ) = + 4. Berechnung mehrgliedriger Summen ( ) + (+ 3) (+9) ( 8) + (+ 7). Klmmern uflösen nch obiger Regel = Summe der Plusglieder minus Summe der Minusglieder = 8 3. Subtrktion des kleineren Betrgs vom größeren Betrg und Zuordnen des Vorzeichens der Zhl mit größeren Betrg zur Differenz. = 3 Ü: ) ( 3) ( + 5) ( 0) + ( 7) = b) ( ) + ( 66) ( + 44) + ( + 33) = c) [( 4) + ( )] [( + 3) ( 0)] = d) 5 [(390 4) (53 56)] =

10 Grundwissen Mthemtik 6/5 Addition und Subtrktion in Z mit Hilfe von Zhlenpfeilen. Addition mit gleichen Vorzeichen (+ 4) + (+ 3) = + (4 + 3) = + 7 (+ 4) (+ 3) = (4 + 3) = 7 Regel:. Mn ddiert die Beträge.. Mn ordnet der Summe der Beträge ds gemeinsme Vorzeichen zu. (+ ) + (+ b) = + ( + b) (+ ) (+ b) = ( + b) >,b 0 Ü: ) 6 = b) 7 3= c) =. Addition mit verschiedenen Vorzeichen ( 4) + (+ 3) = (4 3) = (+ 4) + ( 3) = + (4 3) = + Regel:. Mn subtrhiert den kleineren Betrg vom größeren Betrg.. Mn ordnet der Differenz ds Vorzeichen der Zhl mit dem größeren Betrg zu. ( ) + (+ b) = ( b) (+ ) + ( b) = + ( b) > b> 0 Ü: ) 6+ 3= b) 54 = c) = d) = 3. Subtrktion Bechte: Jede Subtrktion lässt sich durch die Addition der Gegenzhl ersetzten. Beispiele: (+ 4) (+ 3) = (+ 4) + ( 3) = + (+ 4) ( 3) = (+ 4) + (+ 3) = +7 (+ b) = + ( b) ( b) = + (+ b)

11 Digrmme Grundwissen Mthemtik 6/6. Gitternetzdigrmm Verletzte im Strßenverkehr Vergleich 989/ Jnur Februr März April Mi Juni Juli August September Oktober November Dezember Reihe Reihe ) Ermittle für 989 und 990 die Gesmtzhl ller Verletzten. b) Wie groß ist der Unterschied? c) In welchem Jhr und welchem Mont gb es die meisten Verletzten? d) In welchem Mont gibt es den größten Unterschied zwischen der Zhl der Verletzten?. Kreisdigrmm Von 00 Kilowttstunden entfllen uf: 3. Blkendigrmm 0 5 Heizung Wrmwsser Hushltsgeräte Sonstiges 44 ) Wie viele Kilowttstunden (kwh) entfllen uf Wrmwsser und Heizung? b) Woruf entfllen 44 kwh? c) Dem gesmten Energiebedrf entspricht der Vollwinkel, lso 360. Wie vielen Winkelgrden entspricht der Anteil Sonstiges? d) Wie viel Prozent von 00 kwh entfllen uf Hushltsgeräte und Heizung? Montg Verteilung von je 00 Arbeitsunfällen im Betrieb uf die Wochentge 0 Dienstg Mittwoch 8 8 Donnerstg Freitg 6 Smstg 5 Sonntg ) An welchen Wochentgen ereignen sich die meisten bzw. die wenigsten Unfälle? b) Wie viele Unfälle ereignen sich im Durchschnitt n den Arbeitstgen von Montg bis Freitg? c) Wie ändert sich der Durchschnitt, wenn die Tge Smstg und Sonntg mitgerechnet werden? d) Welcher prozentule Anteil ller Arbeitsunfälle entfällt uf Smstg und Sonntg?

12 Die Achsenspiegelung Grundwissen Mthemtik 6/7 Wird einer Urfigur ( ABC) durch Spiegelung n einer Gerden umkehrbr eindeutig genu eine Bildfigur ( A B C ) zugeordnet, so hndelt es sich bei der Abbildung um eine Achsenspiegelung. A C C' Die Gerde heißt Spiegelchse. Kurzschreibweise: ABC I A 'B'C' B Urfigur und Bildfigur liegen symmetrisch zur Spiegelchse. B' A' g Eigenschften: P I P' Bei llen Achsenspiegelungen schneidet die Verbindungsstrecke von Urpunkt P und Bildpunkt P die Spiegelchse unter einem rechten Winkel und sie wird von ihr hlbiert. Bei llen Achsenspiegelungen ist nur die Spiegelchse Fixpunktgerde. Alle Senkrechten zur Spiegelchse und die Spiegelchse selbst sind Fixgerden. Alle Achsenspiegelungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzbbildung ). Alle Achsenspiegelungen sind gerden- und kreistreu. Übungen:. Eine Figur, die durch Achsenspiegelung n einer Spiegelchse uf sich bgebildet werden knn, ist chsensymmetrisch. Die Spiegelchse ist die Symmetriechse der Figur. Zeichne die Tnne fertig.. Spiegle ds Bltt erst n der Gerden g und dnn n der Gerden h. g h

13 Grundwissen Mthemtik 6/8 Winkel. Bezeichnung Ein Winkel wird von zwei Hlbgerden (Schenkel)gebildet, die einen gemeinsmen Anfngspunkt (Scheitelpunkt S oder Scheitel S) hben. Der Winkel ASB ( ASB ) ht ds Mß α. Scheitel S α. Schenkel B (Achtung: Winkel werden stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet!). Schenkel A. Winkelrten spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel 0 <α< 90 β = <γ< 80 α β γ gestreckter Winkel überstumpfer Winkel Vollwinkel δ= <ε< 360 ϕ= 360 δ ε ϕ

14 Grundwissen Mthemtik 6/9 Mittelsenkrechte, Winkelhlbierende, chsensymmetrische Dreiecke und Vierecke. Mittelsenkrechte m [AB] zur Strecke [AB] Zeichne um A und B Kreise mit dem gleichen Rdius r, wobei gilt: r > AB. Zeichne eine Gerde durch die beiden Schnittpunkte. A e e B Merke:Alle Punkte der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] sind von den Punkten A und B gleichweit entfernt. Beispiel: Strecke e. m [AB]. Winkelhlbierende w α Zeichne um den Scheitel des Winkels einen Kreis. Dieser schneidet die Schenkel in den Punkten P und Q. Zeichne um P und Q je einen Kreis mit dem gleichen Rdius r. Verbinde den Schnittpunkt R der Kreise mit dem Scheitel S. S α Q P R w α 3. Achsensymmetrische Dreiecke gleichschenkliges Dreieck gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck gleichseitiges Dreieck C C C 60 A α = β α β Schenkel Bsis Schenkel A B A B B 4. Achsensymmetrische Vierecke Drchenviereck Rute Gleichschenkliges Trpez Rechteck Qudrt

15 Lösungen Grundwissen Mthemtik 6/L 6/.: ) 9 0 : ) 7 3: ) 0 b) 4: ) b) b) 0 9 b) c) 7 c) 7 55 c) 3 c) d) 3 6 d) d) 6 7 d) : e) ; ; f) ; ; / 5: ) 0,7 b) 0,565 c),65 d) 0, e) 0,6 f) 0,53 6.: ) 5 = b) 5 = c) d) 3 e) 4 f) : ) b) c) 7 43 d) 3 e) 9 = f) : ) 67,3 b) 8,0 c) 3 d),0 6/ 3 8: ) 73,7793 b),58 c),683 9: ) 0,768 b) 5,83 c) 500 d) 0,006 0: ) 96, b) 5, c) / ) IL = {0, 4} b) IL = {4, 3} c) IL = {7, 5} d) IL = {4} e) IL = {, 5} f) 5 IL = { } g) IL = {8, 4} 9 6/ kg.,30 m 3. 40% kg ,48 m 6/5 ) 5 b) 99 c) 78 d) 37 6/5 : ) 8 b) c) 99 : ) 3 b) 4 c) 9 d) 39 6/6 : ) 837 (im Jhr 989); 846 (im Jhr 990) b) Unterschied von 9 Verletzten mehr im Jhr 990 c) Im Jhr 990 gb es im Juni die meisten Verletzten mit 94 d) Im November. Unterschied: 46 : ) 36 kwh b) Hushltsgeräte c) 00 kwh kwh 7 d) 69% 3: ) die meisten Unfälle ereignen sich m Montg und die wenigsten Unfälle m Sonntg b) 8,6 c) 4,3 d) 7%