Forschungsstatistik II

Transkript

1 Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Taubertsberg R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik II Dr. Malte Persike SS 009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Das Problem parametrischer Tests Die theoretische Verteilung ordinalskalierter Daten ist nicht nur unbekannt, sie ist auch als mathematische Formalisierung nicht ermittelbar, da das Merkmal nicht metrisch (intervallskaliert) ist. Das Problem entsteht, weil bei ordinalskalierten Daten nicht nur die gesamte Skala transformiert werden darf (z.b. von C zu F), sondern jeder einzelne Punkt separat, solange die Ordnung erhalten bleibt. Damit sind die numerischen Beobachtungen als Abszissenwerte (x-werte) in einer mathematischen Funktion nicht zu gebrauchen.

3 Ziel: Test, ob sich zwei unabhängige Stichproben in ihrer Ausprägung auf einem ordinalskalierten Merkmal unterscheiden Beispiele: Sind mündliche Bewertungen von Schülern zwischen zwei Schulklassen unterschiedlich? Sind junge Frauen anders mit einem bestimmten Produkt zufrieden als ältere Frauen (Zufriedenheitseinschätzung z.b. von 0-00%) Voraussetzungen: Die Stichproben müssen unabhängig sein. Die dem Merkmal tatsächlich zugrunde liegende Verteilungsfunktion soll stetig sein.

4 Datenlage: Man hat an zwei unabhängigen Stichproben der Größen n und n ein ordinalskaliertes Merkmal erhoben. Bewertet worden sei die Leistung von Studierenden mit ländlicher Sozialisation vs. urbaner Sozialisation in einer mündlichen Prüfung (Punkteskala von 0 50) X:, 47, 50, 35, 33,, 48, 7, 8, 34, 4, 49, 45, 39, 3, 38 X: 3, 6, 7, 4,,, 8, 7, 40, 9, 3, 3 Frage: Erreichen die Stichproben unterschiedliche Punktzahlen?

5 Testidee: Zwar kann keine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung formal abgeleitet werden, aber die empirischen Verteilungen können verglichen werden. Wenn zwei Stichproben aus derselben Population stammen, sollten ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen p(x=x) bzw. ihre Verteilungsfunktionen p(x x) gleich sein (wenn auch unbekannt) Sei x i ein Wert, der in Stichprobe beobachtet wurde, und y j ein Wert aus Stichprobe, dann sollte für jedes Wertepaar gelten, dass p(x i >y j ) = 0.5, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind.

6 Nun kann jeder Merkmalsträger in Stichprobe paarweise verglichen werden mit jedem Merkmalsträger in Stichprobe und festgestellt werden ob gilt Fall : X Fall : X Fall : X > Y < Y = Y Dies ist invers äquivalent mit der Prüfung, ob der Rang des Merkmalsträgers in Stichprobe größer, kleiner oder gleich dem Rang des Vergleichssubjektes in Stichprobe ist Fall : rg( X) < rg( Y ) Fall : rg( X) > rg( Y ) Fall : rg( X) = rg( Y ) Niedrigere Zahl, höherer Rang

7 Methode: Das Verfahren der Rangbildung beim U-Test x y x, x Stichprobe Die Daten werden zunächst in eine Tabelle geschrieben und die Zugehörigkeit festgehalten

8 Nun werden Rangplätze für die Daten vergeben x, x Stichprobe Rangplatz 8 4 Hierbei erhält wie bei Spearmans Rangkorrelation der höchste Wert den niedrigsten Rang Bei Ties (Rangbindungen) wird ein mittlerer Rang vergeben

9 Die Anzahl dieser Vergleiche jedes Merkmalsträgers in Stichprobe mit jedem in Stichprobe ist N = n n paarweise Aus dem Vergleich der Ränge erhält man nun die Summen der Rangunterschreitungen, der Rangüberschreitungen sowie der Ties. Man definiere ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) U = h rg X < rg Y Summe d. Rangunterschreitungen U' = h rg X > rg Y Summe d. Rangüberschreitungen ( ) Tie = h rg X = rg Y Summe d. Rangbindungen Lässt man Ties außer acht, so muss gelten: U + U' = n n U = n n U '

10 Man kann nun einen Binomialtest durchführen, um folgende Hypothesen zu prüfen: H0 : prg ( ( X) < rgy ( )) = 0.5; H : prg ( ( X) > rgy ( )) 0.5 H0 : p( rg( X) < rg( Y)) 0.5; H : p( rg( X) > rg( Y)) > 0.5 H : p( rg( X) < rg( Y)) 0.5; H : p( rg( X) > rg( Y)) < Oft wird dies gleichgesetzt mit der Prüfung, ob der Median der einen Stichprobe anders ist als der Median der anderen. Dies trifft nur zu, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und Y gleich sind.

11 Hinweis: Für den Binomialtest wäre die Rangbildung noch nicht erforderlich, man könnte auch die Rohdaten selbst vergleichen und auszählen. Problem: Die Zahl der notwendigen paarweisen Vergleiche wird bei zunehmendem Stichprobenumfang sehr schnell sehr groß (n n ). Zur vereinfachten Berechnung wird das Verfahren von Mann-Whitney verwendet.

12 Grundidee: Unter der H0 sollten in beiden Stichproben die Ränge ähnlich (bzw. gleich) sein Damit sollten auch die Summen der Ränge ähnlich (bzw. gleich) sein Seien R und R die Rangsummen der beiden Stichproben und R die gesamte Rangsumme, so muss gelten R = R + R = N ( N + ) mit N = n +n Wir haben zudem bereits gesehen, dass gilt U = n n U'

13 Daraus lassen sich Berechnungsformeln für Anzahl der Rangunter-/überschreitungen herleiten. Es gilt: n ( n+ ) U = n n + R n ( n + ) U' = n n + R Der kleinere der U-Werte ist bereits die Prüfgröße. Sie ist U-verteilt mit den Parametern n und n. Die U-Verteilung ist tabelliert für kleine n.

14 Bei größeren Stichproben (mindestens ein n > 0) ist die Prüfgröße U approximativ normalverteilt. Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichen Vergleiche (dies ist der Wert, wenn U = U ) Der Standardfehler lautet σ U = μ U = n n ( ) n n n n + +

15 Damit ergibt sich die Prüfgröße (mit Yates-Korrektur) z = U μu σ 0.5 Dabei ist U der kleinere oder größere beider U-Werte. Sie ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=. Bei Ties berechnet sich der korrigierte Standardfehler als k 3 3 i σ n n i = U, Korr ( N ) U N N t ti = N mit t i = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung) k = Anzahl der Gruppen mit Rangbindungen

16 U-Test und Wilcoxon Rangsummentest Hinweis: Der U-Test nach Mann-Whitney ist mathematisch äquivalent zum Wilcoxon Rangsummentest, der von einer ähnlichen Testidee ausgeht. Der U-Test wird daher manchmal auch als MWW-Test (Mann-Whitney-Wilcoxon Test) bezeichnet. Er ist nicht zu verwechseln mit dem Wilcoxon Vorzeichenrangtest für abhängige Stichproben.