8. Stichproben 8.1 Grundgesamtheit und Stichprobe

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1 8. Stchprobe 8. Grudgesamthet ud Stchprobe I der duktve Statstk (beurtelede Statstk) gehe wr vo Stchprobedate aus. Spezell stamme de Date aus Zufallsstchprobe. De Stchprobeergebsse solle auf de Grudgesamthet übertrage werde. Im Folgede beschräke wr de Begrff der Stchprobe stets auf das Kozept der Zufallsstchprobe. Ee Grudgesamthet ethält alle teresserede statstsche Ehete (Käufer, Regoe etc.), währed ee Stchprobe ur zufällg ausgewählte Ehete aus der Grudgesamthet umfasst. Aus eer Vollerhebug lasse sch Kegröße (Parameter) we z.b. Mttelwerte, Streuugsmaße, Atelswerte eer Grudgesamthet przpell exakt bestmme. Ee Stchprobe ethält dagege Iformatoe, de mt Zufallsschwakuge behaftet sd. De Verallgemeerug vo Stchprobeergebsse auf de Grudgesamthet st aufgrud uvollstädger Iformatoe daher stets mt Ugeaugkete verbude. Deser Rückschluss vo de Beobachtuge der Stchprobe auf bestmmte Charakterstka der Grudgesamthet wrd als duktver Schluss bezechet.

2 Grüde für Stchprobeerhebuge: Kosteerspars Zetgew (Aktualtät) Grüdlchere Durchführug Praktsche Umöglchket vo Vollerhebuge (zerstörede Tests vo Produkte) Uter eem duktve Schluss versteht ma de Verallgemeerug vo Stchprobeergebsse auf de Grudgesamthet. Abbldug: Iduktver Schluss Zufallsstchprobe Iduktver Schluss Grudgesamthet Stchprobefehler: Zufällge Abwechug ees Stchprobeergebsses vo eem Parameter der Grudgesamthet

3 8. Zufallsauswahl Be eer Zufallsauswahl gelagt jede statstsche Ehet der Grudgesamthet mt eer berechebare Wahrschelchket de Stchprobe. Über de Zufallsmechasmus wrd de Repräsetatvtät schergestellt. Uter Awedug des Wahrschelchketskalküls be der Auswahl der statstsche Ehete köe be eer Zufallsauswahl Aussage über de Geaugket der Ergebsse gemacht werde. Der duktve Schluss st daher stets mt eem bestmmte Grad a Scherhet verbude. Stchprobefehler ud Scherhetsgrad lasse sch be Zufallsstchprobe mt Hlfe der Wahrschelchketsrechug quatfzere. Abbldug: Verfahre der Zufallsauswahl Stchprobe (Zufallsauswahl) Efache Zufallsauswahl Geschchtete Zufallsauswahl Klumpeauswahl Mehrstufge Zufallsauswahl

4 Efache Zufallsauswahl Be der efache Zufallsauswahl gelagt jede statstsche Ehet der Grudgesamthet mt glecher Wahrschelchket de Stchprobe. De Durchführug der efache Zufallsauswahl setzt m Allgemee voraus, dass alle N Elemete der Grudgesamthet ummerert Form eer Lste oder Date vorlege. Zu uterschede sd verschedee Techke zur Auswahl der Stchprobeelemete:. Auswahl mt (Pseudo-)Zufallszahle De Elemete der Grudgesamthet werde durchummerert. De zu zehede Utersuchugsehete etmmt ma eer Zufallszahletabelle oder eem Zufallszahlegeerator, der bespelswese e Computerprogramm tegrert st. De Zufallszahle werde bede Fälle über ee Algorthmus mt eer lage Perode erzeugt. Aus desem Grud sprcht ma auch vo Pseudo-Zufallszahle. Obwohl Pseudo-Zufallszahle durch ee Rechevorschrft ermttelt werde, lasse se sch cht vo "echte" Zufallszahle (z.b. Ureauswahl) uterschede.

5 . Systematsche Zufallsauswahl a) Perodsche Auswahl: Per Zufall wrd aus de erste N/ Utersuchugsehete e Startpukt ausgewählt ud aschleßed jedes N/-te Elemet gezoge. b) Schlusszfferverfahre: Etomme werde alle Elemete, dere Schlusszffer eer umersche Lste ee durch ee Zufallsmechasmus bestmmte Wert aufwest. Bespel 8.: Be der Vorgabe der Schlusszffer 6 errecht ma z. B., dass exakt 0 %, be der Vorgabe der Schlusszffer 6 ud zusätzlch de Schlusszfferkombatoe 8,, 3 ud 99, dass exakt 4 % der Elemete aus der Grudgesamthet de Stchprobe gelage. Mt dem Schlusszfferverfahre lässt sch also jeder agestrebte Auswahlsatz geau erreche.

6 De Przpe des duktve Schlusses lasse sch besoders klar m Falle eer efache Zufallsauswahl verdeutlche, auf de wr us m Folgede kozetrere werde. Ee efache Zufallsstchprobe legt uter folgede Voraussetzuge vor: - Alle Elemete der Grudgesamthet habe de gleche Chace (Wahrschelchket), de Stchprobe zu gelage (=uegeschräkte Zufallstchprobe). - De Zehuge erfolge uabhägg voeader. De Wahrschelchket, ausgewählt zu werde, st da be jeder Zehug glech (Zehug mt Zurücklege oder Zehug aus eer uedlche Grudgesamthet). Approxmatv lege uabhägge Zehuge vor, we aus eer edlche Grudgesamthet ohe Zurücklege gezoge wrd, der Auswahlsatz /N jedoch kle st (Faustregel: /N 0,0). Bespel 8.: E Meugsforschugssttut bestzt ee Date mt alle Telefoummer Deutschlads. Der Computer wählt zufällg ee Telefoummer aus, der Haushalt mt deser Telefoummer wrd aschleßed befragt. Um zu gewährleste, dass Haushalte cht mehrmals befragt werde, wrd jede Telefoummer höchstes emal gezoge. Da der Auswahlsatz gerger als % st (aus 0 Mlloe Telefoummer werde 000 ausgewählt; somt glt 000/ < 0,0) sd de Bedguge eer efache Zufallsstchprobe approxmatv erfüllt.

7 8.3 Stchprobevarable ud -fuktoe Stchprobevarable Vor der Erhebug st cht bekat, welche Merkmalsträger de Stchprobe gelage. Damt lege kee Iformatoe über de Auspräguge bem Merkmal vor. Somt sd Zufallsvarable vorhade, de mt, =,,, symbolsert werde ud als Stchprobevarable bezechet werde. De Stchprobevarable bezechet also de potezelle Beobachtug der Zufallsvarable, de be der -te Durchführug des Zufallsvorgags gemacht wrd. Nach der Erhebug lege kokrete Realsatoe der Stchprobevarable vor, de wr mt x bezeche. Zufallsstchprobe: -dmesoale Zufallsvarable (,,, ) Kokrete Stchprobe: Realsato der -dmesoale ZV (x, x,, x )

8 Bespel 8.3: Es solle zeh Studerede ach hrem Ekomme (Merkmal ) befragt werde ( = 0). Damt lege vor der Erhebug 0 Zufallsvarable (=Stchprobevarable) vor. Es st ämlch cht bekat, was für e Ekomme bespelswese der erste Befragte habe wrd:,, 3, 4,,6, 7, 8, 9 ud 0. Nach der Erhebug sd kokrete Realsatoe vorhade. Gbt der erste Studet e Ekomme vo 449 a, so st x =449. Isgesamt möge sch be der Befragug vo 0 Studerede folgede Stchproberealsatoe ergebe habe: x 449, x 66, x3 389, x4 80, x x 339, x7 40, x8 603, x9 744,x0 6 De be eer efache Zufallsstchprobe geltede Uabhäggket (bzw. Approxmatve Uabhäggket) der Zehuge bedeutet stets, dass de Stchprobevarable uabhägg (bzw. approxmatv uabhägg) voeader sd. Ee detsche Vertelug bedeutet sbesodere, dass de Stchprobevarable de gleche Erwartugswert ud de gleche Varaz habe: (8.) ud (8.) E V σ für alle für alle. 3, 49.

9 Bespel 8.4: Das Durchschttsekomme aller Kasseler Studerede (=Grudgesamthet) soll 604 be eer Varaz vo 6400 betrage. Wrd ee Stchprobe vo =00 Kasseler Studete gezoge, da beträgt der Erwartugswert des Ekommes be jedem der befragte Studete 604. Glechzetg st be jedem der befragte Studete m Mttel mt eer Abwechug vo 80 (=σ= 6400) vo desem Erwartugswert zu reche. De Göttger oder Marburger Studete blde dagege adere Grudgesamthete, de durch völlg uterschedlche Parameter μ ud σ gekezechet se köe.

10 Stchprobefuktoe Aus eer realserte Stchprobe (x, x,...,x ) lasse sch u emprsche Kezahle bereche, de als Schätzwerte für de ubekate Parameter der Grudgesamthet oder Teststatstke verwedet werde köe. Se werde allgeme als Stchprobefuktoe bezechet, de de der Stchprobe ethaltee Iformatoe mt Hlfe geegeter Fuktoe g verdchte. Vor dem Zehe der Stchprobe sd de Stchprobefuktoe selbst Zufallsvarable, g(,,, ), da se je achdem, welche Ehete de Zufallsauswahl gelage, uterschedlche Werte aehme köe. Nach dem Zehe der Stchprobe legt ee Realsato, d.h. e kokreter Wert eer Stchprobefukto vor: g(x,x,,x ).

11 Bespel 8.: Stchprobefuktoe sd z.b. das arthmetsche Mttel ud uterschedlche Streuugsmaße der Atelswert / x / y p Werte 0, oder de Teststatstk ) / )/( ( Z ) / )/( (x z S* S,, x x s * x x s x x. / / Y P Var. 0, D x d

12 8.4 Stchprobevertelug Uter eer Stchprobevertelug versteht ma de Wahrschelchketsvertelug eer Stchprobefukto g( l,,..., ) aus alle möglche Stchprobe vom Umfag. De Stchprobevertelug lässt sch be kleem Stchprobeumfag kombatorsch (tabellarsch) durch Auswerte aller möglche Stchprobe bestmme. Erwartugswert ud Varaz der Stchprobevertelug vo Efache Zufallsstchprobe (Auswahl mt Zurücklege) Uegeschräkte Zufallsstchprobe (Auswahl ohe Zurücklege) E () E () V() V() N N N: Umfag der Grudgesamthet, : Stchprobeumfag Be großem Stchprobeumfag sd für gebräuchlche Stchprobefuktoe de Stchprobeverteluge approxmatv bekat. Isbesodere sd de bede Stchprobefuktoe ud P aufgrud des zetrale Grezwertsatzes approxmatv ormalvertelt.

13 Bespel 8.6: Aus der Patetstatstk geht de Azahl der Patetmelduge der Uterehme eer Hgh-Tech-Brache hervor: Uterehme A B C D E Azahl der Patetmelduge 4 6 a) Gebe Se de Erwartugswert ud de Varaz der Patetmelduge für de Grudgesamthet der Uterehme der Hgh-Tech-Brache a! p x E() 4 j j j 3, 9, [E()] p x V() 4 j j j

14 b) Bestmme Se de Stchprobevertelug des arthmetsche Mttels der Azahl der Patetmelduge be uegeschräkte Zufallsstchprobe (Zehe ohe Zurücklege) des Umfags! Stchprobevertelug vo für = Stchprobe N 0 P( x), {, }, {, } /0 = 0,0 {, } /0 = 0,0, {, 4} /0 = 0,0 3 {, 4}, {, 4} /0 = 0,0 3, {, 6} /0 = 0,0 4 {, 6}, {, 6} /0 = 0,0 {4, 6} /0 = 0,0 c) Bereche Se de Erwartugswert der Stchprobevertelug vo für =! E() 7 x P( x ) 0,3 0, 0, 0,6 0,3 0,8 0, 3, 0, 0,, 0, 3 0, 3, 0, 4 0, 0,

15 d) Bereche Se de Varaz der Stchprobevertelug vo für = - uter Verwedug der Tel b) ermttelte Wahrschelchketsvertelug, - uter Verwedug der Tel a) ermttelte Varaz der Grudgesamthet! Varaz der Stchprobevertelug mt der Wahrschelchketsverte-lug aus Tel b) 7 V( ) x P( x ) [E()], 3, 0, 0, 4 9 0, 9, 0,4 0,4 0,6,8, 3,, 0,, 0, 0, 3 0, 3 0, mt der Varaz der Grudgesamthet aus Tel a) N V() N 3, 3,6, 4

16 9. Puktschätzug 9. Schätzfuktoe ud hre Egeschafte Ee Stchprobefukto, de zur Schätzug ees ubekate Parameters der Grudgesamthet egesetzt wrd, heßt Schätzfukto. Se lefert ee Puktschätzer für de ubekate Parameter der Grudgesamthet. Ubekater Parameter der Grudgesamthet: Schätzfukto für : θˆ g(,,...,) Puktschätzug: θˆ g(,,...,) Puktschätzer (Schätzwert): θˆ g(x,x,...,x) De Stchprobefukto θˆ wrd als Schätzfukto bezechet, wel hre Realsatoe kokrete Schätzwerte θˆ für de ubekate Parameter der Grudgesamthet lefer. Ma beachte, dass mt θˆ zuglech ee Zufallsvarable als auch dere Realsato bezechet wrd. Aus dem jewelge Kotext geht hervor, welche Iterpretato für θˆ gerade vorlegt. I Abhäggket davo, welche Utersuchugsehete der Grudgesamthet de Stchprobe gelage, werde wr uterschedlche Puktschätzer erhalte. E Puktschätzer st also mmer mt eer Uscherhet behaftet. I der Regel wrd er cht exakt mt dem ubekate Parameter der Grudgesamthet überestmme.

17 Häufg stehe mehrere Schätzfuktoe zur Puktschätzug ees ubekate Parameters zur Verfügug. Welche Schätzfukto soll da verwedet werde? Bespel 9.: - Be symmetrsche Verteluge ka e ubekater Erwartugswert durch de Stchprobemttelwert x ud durch de Stchprobemeda geschätzt werde. Soll oder als Schätzfukto zur Schätzug vo verwedet werde? ~ x ~ - Be eer Posso-Vertelug stmme Erwartugswert E() ud Varaz V() übere. Se werde durch de Parameter wedergegebe. Soll der Parameter durch das Stchprobemttel oder de Stchprobevaraz s² geschätzt werde? x - Warum sollte de ubekate Varaz ² eer Vertelug durch de Stchprobevaraz mt dem Faktor /(-) statt mt dem Faktor / geschätzt werde? Um de Frage zu beatworte, welcher Puktschätzer be Schätzuge ees ubekate Parameters eer Grudgesamthet vorzuzehe st, beötgt ma Krtere, ach dee de Güte vo Schätzfuktoe beurtelt werde ka. Dre wchtge Gütekrtere werde m Folgede Abbldug: Gütekrtere für ee Schätzfukto Gütekrtere Erwartugstreue Effzez Kosstez

18 Erwartugstreue Aufgrud des Stchprobefehlers wrd e Puktschätzer de ubekate Parameter der Grudgesamthet cht geau treffe. Der Puktschätzer sollte aber m Durchschtt mt dem ubekate Parameter überestmme. Dese Egeschaft bezechet ma als Erwartugstreue. Ee Schätzfukto θˆ g,, für de ubekate Parameter der Grudgesamthet st erwartugstreu (uverzerrt), falls (9.) E(ˆ) = θ glt. Für E( ˆ) θ 0 st de Schätzfukto verzerrt. Das Ausmaß der Verzerrug wrd auch als Bas bezechet. Be eem erwartugstreue Schätzer stmmt der Erwartugswert der Schätzfukto mt dem Parameter der Grudgesamthet übere. Der Bas st da glech 0. ˆ

19 Abbldug: Erwartugstreuer ud verzerrter Schätzer f (ˆ ),f (ˆ ) f (ˆ ) (ˆ ) f (ˆ E ) E(ˆ ) ˆ, ˆ, E(ˆ ) θ ˆ st ke erwartugstreuer Schätzer für E(ˆ ) θ ˆ st e erwartugstreuer Schätzer für

20 Bespel 9.: Gegebe st ee belebge Grudgesamthet ees quattatve Merkmals, das durch de Zufallsvarable beschrebe wrd. Der Erwartugswert µ der Vertelug vo st ubekat. Wr wolle das arthmetsche Mttel als Schätzer für de ubekate Parameter µ verwede ud frage, ob dese Schätzfukto erwartugstreu st. Herzu blde wr de Erwartugswert vo : E E E Mt E( ) E für alle =,,, erhalte wr E() mal. Damt st gezegt, dass e erwartugstreuer Schätzer für μ st..

21 Aalog ka gezegt werde, dass der Stchprobeatelswert P mt glech, falls das Eregs A vorlegt ud 0 sost, ee erwartugstreue Schätzfukto für de ubekate Wahrschelchket oder de ubekate Atelswert p der Grudgesamthet st: E(P) p. Aufwädger st der Nachwes, dass de Schätzfukto S erwartugstreu st: E(S ) =. De Stchprobevaraz st also da e erwartugstreuer Schätzer für de ubekate Varaz der Grudgesamthet, we de Summe der Abwechugsquadrate mt dem Faktor /(-) multplzert wrd. Wrd dagege de Stchprobevaraz mt dem Faktor / gebldet, * S st se cht erwartugstreu. Der Bas beträgt her * E S.

22 Effzez De Erwartugstreue bezeht sch auf de Durchschtt aller Stchprobe ees bestmmte Umfags. Werde mehrere Stchprobe etomme, da werde sch de ezele Schätzwerte mehr oder weger voeader uterschede. De Effzez eer Schätzfukto bezeht sch auf de Streuug ees Schätzers. Je gerger de Varaz der Schätzfukto st, desto präzser st de Schätzug. De erwartugstreue Schätzfukto mt der gergste Varaz heßt effzet. Aufschluss über de relatve Effzez zweer Schätzfuktoe erhält ma durch ee Verglech hrer Varaze. Es see = g (,,..., ) ud = g (,,... ) zwe erwartugstreue Schätzfuktoe für de ubekate Parameter der Grudgesamthet. De Schätzfukto ˆ st relatv effzet zu ˆ, we für jede gegebee Stchprobeumfag (9.) Vˆ Vˆ. glt. ˆ Das Gütekrterum der Effzez besagt also, dass vo zwe alteratve erwartugstreue Schätzfuktoe dejege zu wähle st, de be festem Stchprobeumfag de kleere Varaz aufwest. ˆ

23 Abbldug: Relatve Effzez ees Schätzers f (ˆ ),f (ˆ ) f (ˆ ) f (ˆ ) E (ˆ ) E(ˆ ) ˆ, ˆ, E(ˆ ) E(ˆ ) ud V(ˆ ) V(ˆ ) ˆ st relatv effzet zu ˆ

24 Bespel 9.: Zur Schätzug des ubekate Erwartugswertes µ eer Grudgesamthet werde de Schätzfuktoe Betracht gezoge. Bede Schätzfuktoe sd erwartugstreu. De Erwartugstreue vo st berets Bespel 9. gezegt worde, da es sch herbe um das arthmetsche Mttel hadelt. De Erwartugstreue vo ergbt sch aus a... a a mt a a a ˆ ud ˆ ˆ ˆ a a a a E a E a ˆ E. Welche der bede Schätzfuktoe hat aber de kleere Varaz? De Schätzfukto mt der kleere Varaz st de relatv effzetere Schätzfukto.

25 Als Varaz vo V ˆ ˆ erhalte wr V (... ) [V() V()... V( )] Uabhäg. (... ) mal Für de Varaz vo ergbt sch V ˆ ˆ a V a V( ) a V a a a a a a. Falls alle a glech sd, st a a, so dass de Varaze vo ˆ ud ˆ detsch sd. Sofer ur e a uglech st, mmt de Summe der Größe a ee Wert größer als a. De Varaz vo ˆ st da größer als de Varaz vo ˆ. Allgeme glt damt V ˆ V ˆ, was bedeutet, dass der Schätzer ˆ relatv effzet zu ˆ st..

26 Kosstez Ee Rehe vo Schätzfuktoe, de der statstsche Praxs auftrete, habe de Egeschaft, dass hr Erwartugswert be stegedem Stchprobeumfag gege de ubekate Parameter strebt (asymptotsche Erwartugstreue), (9.3) lm E ˆ, ud auch hre Varaz verschwdet, d.h. gege 0 geht: lm (9.4) 0 V ˆ. Ma bezechet dese asymptotsche Güteegeschaft eer Schätzfukto als Kosstez. E kossteter Schätzer, der de Bedguge (9.3) ud (9.4) erfüllt, fällt be eem über alle Greze stegede Stchprobeumfag mt dem ubekate Parameter zusamme. De Kosstez eer Schätzfukto st also de Garate, dass sch e stegeder Aufwad loht, um m Durchschtt bessere Schätzergebsse zu erhalte. Kosstez wrd der Praxs häufg als mmale Güteaforderug agesehe, de a ee Schätzfukto zu stelle st.

27 Bespel 9.3: Wr wolle prüfe, ob de Schätzfukto ee kosstete Schätzug für de ubekate Erwartugswert µ eer Grudgesamthet st.. Asymptotsche Erwartugstreue I Bespel 9. habe wr gezegt, dass erwartugstreu st. Da dese Egeschaft für jede belebge Stchprobeumfag glt, st se auch für erfüllt:. Verschwdede Varaz Mt Var lm E lm V erhalte wr lm lm lm 0 0 Das Stchprobemttel st somt e kossteter Schätzer für de ubekate Mttelwert (Erwartugswert) der Grudgesamthet. Be stegedem Stchprobeumfag kozetrere sch also de Realsatoe vo mmer eger um, da de Streuug gerger wrd..

28 Bespel 9.4: Zeh Kasseler Studerede sd ach hrem Ekomme (Merkmal ) befragt worde. Aufgrud eer efache Zufallsstchprobe habe sch folgede Stchproberealsatoe ergebe: x 449, x 66, x3 389, x4 80, x 3, x6 339, x7 40, x8 603, x9 744 ud x0 49. Aus de Stchprobedate erhält ma das arthmetsche Mttel 0 x x [ ]. 0 Der Schätzwert für das Durchschttsekomme aller Kasseler Studete beträgt also. Da wr ur 0 Merkmalswerte verwedet habe, wrd das arthmetsche Mttel aller Studete,, vo dem Puktschätzer abweche. Der Stchprobemttelwert Höhe vo st jedoch ee erwartugstreue (uverzerrte) ud kosstete Schätzug des Durchschttsekommes aller Kasseler Studerede.

29 Ma weß, dass es be eer efache Zufallsstchprobe kee erwartugstreue Schätzfukto mt eer gergere Varaz als de Varaz vo gbt. Aus desem Grud st e effzeter Schätzer. De Varaz vo, x /, ka durch ˆ x s / geschätzt werde. Mt der erwartugstreue Stchprobevaraz s , [ ], 9 für de ubekate Varaz der Ekomme aller Kasseler Studete erhält ma s. 9, ˆ x 9, [ ] 0. Der Stadardfehler der Schätzug (=Stadardabwechug vo ) beträgt s ˆ x 9, 47, 87[ ]. De Effzez vo zegt sch dar, dass ke aderer erwartugstreuer Schätzer für ee größere Präzso (Geaugket), d.h. ee kleere Stadardfehler bestzt.

30 9. Methode der Puktschätzug Methode der Puktschätzug sd Verfahre zur Kostrukto vo Schätzfuktoe für de ubekate Parameter der Grudgesamthet. Bsher wurde aufgezegt, welche Egeschafte Puktschätzer aufwese solle. We ka ma für ee Parameter der Grudgesamthet aber ee Schätzfukto etwckel? Abbldug: Wchtge Schätzmethode Schätzmethode Mometemethode Maxmum-Lkelhood- Methode Klest-Quadrate- Schätzug Im Folgede stelle wr de Mometemethode ud de Methode der kleste Quadrate als Puktschätzmethode vor.

31 Mometemethode De Momete stelle ee Verallgemeerug des arthmetsche Mttels dar. Da de gewöhlche Momete, (9.) r = E( r ), r=,,, der Grudgesamthet ubekat sd, werde se durch de verglechbare emprsche Momete der Stchprobe, r (9.6) r,r,,, ersetzt. De Mometemethode verwedet de emprsche Momete eer Stchprobe, um ubekate Parameter der Grudgesamthet zu schätze. Bespel 9.6: Der ubekate Erwartugswert µ st glech dem erste gewöhlche Momet der Vertelug vo der Grudgesamthet. Nach der Mometemethode st de Schätzfukto durch das erste emprsche Momet der Stchprobe, also durch d.h. durch das arthmetsche Mttel gegebe. We wr gesehe habe, st e erwartugstreuer, effzeter ud kossteter Schätzer für.

32 Bespel 9.7: Auch de ubekate Varaz der Grudgesamthet ka ach dem Varazverschebugssatz uter Verwedug der erste bede Momete dargestellt werde: E µ µ E. Ee Mometeschätzer erhält ma, dem ma de ubekate Momete der Grudgesamthet durch de emprsche Momete der Stchprobe ersetzt: Nach ege Umformuge ergbt sch daraus, d.h. de cht-erwartugstreue Stchprobevaraz S*. De Mometemethode lefert also cht grudsätzlch erwartugstreue Schätzfuktoe.

33 Methode der kleste Quadrate De Methode der kleste Quadrate wurde berets der Deskrptve Statstk zur Schätzug der Regressoskoeffzete heragezoge. Der ubekate Parameter der Grudgesamthet wrd herbe so bestmmt, dass de quadrerte Abwechuge der Beobachtugswerte vo hrem Schätzwert mmert werde. Mt der Klest-Quadrate-Schätzug ermttelt ma de Schätzer so, dass de Summe der quadrerte Abwechuge vo dem Parameterschätzer mmert wrd. Aufgrud der Quadrerug werde absolut große Abwechuge überproportoal berückschtgt. Bespel 9.8: Ausgegage wrd vo de Zufallsvarable eer Stchprobe,,,,, de zur Schätzug des arthmetsche Mttels der Grudgesamthet μ heragezoge werde. Der Klest-Quadrate-Schätzer ˆ für de ubekate Mttelwert der Grudgesamthet ergbt sch durch Mmerug der quadrerte Abwechugsquadratsumme: Q M.

34 Letet ma Q() ach ab, dq d d d d d erhält ma uter Awedug der Ketteregel de Ausdruck dq d äußere Abletug ere Zur Bestmmug des Klest-Quadrate-Schätzers für muss de erste Abletug glech ull gesetzt werde. Dese Bezehug muss der Klest-Quadrate-Schätzer erfülle: ˆ 0. Aus ˆ 0, ˆ 0 ud ˆ erhält ma de Klest-Quadrate-Schätzer ˆ für de ubekate Mttelwert der Grudgesamthet, der dem arthmetsche Mttel der Stchprobe etsprcht.. Abletug ˆ