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1 y (10. y)(10 0 y) a. 6ab. 9b (a. 3b) 0,81a 01,8ab. b (0,9a 0b) 49x. 14xy. 4y nicht möglich I 36a 060ab. 5b (6a 05b) 5x 015xy. 3y nicht möglich A 5a. 49b nicht möglich R 0,01x. 0,x. 1 (0,1x. 1) x. xy. y nicht möglich P 0,36x 0 y (0,6x. y)(0,6x 0 y) 1 u 0 9 v 1 + u. 3v 1,+ u0 3v , x. 3x. 1,5 nicht möglich S Lösungswort: PARIS 14. 0,3a 3a 0,9a +, +, 1 1 a b 5 5 (0,1) 0, ab, 3 9 b b x x (0,3a) 0,09a + a, 3 9 a ab a b 7 49 x 0,48x 0,4x +, 15. a) 36a 0 5b b) y05y c) 5 x. 5 xy. y d) 07x. 51x 00 e) x 05,xy. 0,5y f) x xy y g) 9y 0 16x h) 0,16x 0 81 i) 0,5t 0 6,5 Bei b), d) und e) können die binomischen Formeln nicht angewendet werden. 16. a) 49. 8b. 4b ( 7. b) b) 6,5x 010xy. 4y (,5x 0y) c) 36x 096x. 64 ( 6x 08 ) d) 5. 10s. s ( 5. s) e) 81x 05y ( 9x 05y)(9x. 5y ) f) x 0 xy. 0,5y ( x00,5y) 17. a) (x. 5) 00 b) (x. 4) 019 c) (x 06) 016 d) (x 07) 058 e) (5x. ) 07 f) (5x 09) 081 g) (x. ). 4 h) (x. 3) 09

2 a) - b) Bild () stellt a 0 b dar; Bild (5) stellt (a 0 b) (a + b) dar. c) d) Die Puzzleteile sind die gleichen wie bei c), sie werden nur anders gelegt. Die beiden Teile a b werden auf das Teil a gelegt, weil diese Flächen abgezogen werden. Dann hat man allerdings eine Fläche b zuviel abgezogen; diese muss also nochmals ergänzt werden. 19. (a. b) 0(a 0b) a. ab. b 0+ a 0ab. b, = ab + ab = 4ab Die Gesamtfläche ist +., die vier Rechtecke. a b, das innere Quadrat + 0, a b, also verbleiben 0. a) a 0ax0 ay. xy (a0 x)(a0 y) b) ax + ay 0 xy = a (x + y) 0 xy c) Fläche des Parks: 500 m Fläche der Wege: 44 m, das sind 9,76%, also rund 10%. 1. Alle drei Terme beschreiben die richtige Lösung.. a) 18 ist das Produkt aus und 9, 11 ist die Summe. b) x. 9x. 18 x. (3. 6)x. 3 6 (x. 3)(x. 6) x. 10x. 1 x. (3. 7)x. 3 7 (x. 3)(x. 7) x. 16x. 63 x. (7. 9)x. 7 9 (x. 7)(x. 9) x. 15x. 6 x. (. 13)x. 13 (x. )(x. 13) x 04x01 x. (307)x ( 7), (x. 3)(x07) c) Der Term x. x. 17 kann nicht faktorisiert werden. 3. a) Clara zerlegt: (1) x. 8x. 7 (x. 1)(x. 7) () x. 7x. 3 (x. 1)(x. 3) x. 9x. 18 (x. 3)(x. 6) (4) 3x. 5x. (3x. )(x. 1) b) Individuelle Schülerlösungen 9 4. a) 48a. 14b. 58a. 41b. 58ab. 15 b) x. 90y. 4z. 8xy. 6xz. 46yz c) a. b. c. d. ab. ac. ad. bc. bd. cd d) 1x 0y. 1z 019x. 9y 014z. 10xy 051xz. 5yz 010

3 e) (a. b. c) a. b. c. ab. ac. bc (a. b. c. d) a. b. c. d. ab. ac. ad. bc. bd. cd (a. b. c. d. e) a. b. c. d. e. ab. ac. ad. ae. bc. bd. be. cd. ce. de a) (a. b) a. 3a b. 3ab. b c) b) - 6. a) b) Das Quadrat ergibt sich aus: Beispiel: Zeile: Produkt der beiden Ziffern = 540. Zeile: Quadrat 1. Zahl, Quadrat. Zahl = Zeile: Produkt der beiden Ziffern = 540 durch Addition der Zahlen ergibt sich die Quadratzahl: 916 c) (10a. b) 100a. 0ab. b ± ± Quadrat 1. Zahl Quadrat. Zahl M. Zeile. Produkt der beiden Ziffern 10 M Zeile d) nein a) b) (n. 1) 0n n. 1 Jede Quadratzahl ist um n + 1 größer als die vorhergehende Quadrat- zahl n.

4 c) Die Differenz zweier Quadratzahlen n und (n. 1) ist n + 1. Dies ist immer eine ungerade Zahl. Zwischen der größeren Quadratzahl und der darauffolgenden Quadratzahl liegt daher die nächste ungerade Zahl = ist die darauffolgende ungerade Zahl. Daher ist 1 = = 441 = = 484 usw a) (a. b) a. 3a b. 3ab. b (a. b) a. 4a b. 6a b. 4ab. b (a. b) a. 5a b. 10a b. 10a b. 5ab. b (a. b) a. 6a b. 15a b. 0a b. 15a b. 6ab. b b) Die Koeffizienten entsprechen den Zahlen aus dem Pascal schen Dreieck. c) Die Exponenten von a nehmen jeweils um 1 ab, die von b wachsen jeweils um 1. Die Summe der beiden Exponenten ist gleich dem Exponenten des Binoms d) (a. b) a. 8a b. 8a b. 56a b. 70a b. 56a b. 8a b ab. b 9. In beiden Fällen handelt es sich auch um Würfel aus 7 bzw. 64 Teilen. Die Anzahl der Puzzleteile ergibt sich aus der Anzahl der Summanden hoch 3. Eine Seite eines solchen Würfelpuzzles könnte z. B. so aussehen wie in der Abbildung rechts dargestellt. 3 Wenn der Term (a. b. c) ausgewertet werden soll, so gelingt dies mithilfe der schrittweisen Anwendung des Rechteckdiagramms auf (a. b. c) und (a + b + c) (a. b. c). Vgl. auch Aufgabe 0, Seite Gleichungen und Ungleichungen a) x = 11 f) allgemeingültig b) x = 4 g) a = 4 c) x = 4 h) x = 01 d) b = 7 i) allgemeingültig e) f = j) y = 3 Es fällt auf: Die Gleichungen f) und i) stellen bekannte Umformungen (Distributivgesetz bzw. binomische Formel) dar. In solchen Fällen löst jede für die Variable eingesetzte Zahl die Gleichung.

5 7 31. Zahlenrätsel I x + (x + 1) + (x + ) = 37 x = 13 Die drei Zahlen sind 13, 14 und 15. Rätselhafte Flächenveränderung a 0(a04) 7 a = 11 Die Seitenlängen des ursprünglichen Quadrates betrugen 11 cm. Zahlenrätsel II x x. 1 x = 0 Die gesuchte Zahl ist 0. Altersrätsel Mit dieser Aufgabe sollen nicht etwa schon lineare Gleichungssysteme eingeführt werden. Vielmehr sollen die Schüler erkennen, dass eine wichtige Information zum Lösen der Gleichung im zweiten Satz verborgen ist. Alter des Vaters: p; Alter der Kinder: m bzw. c p = 10 (m + c) p = 10 3 = 30 Der Vater ist 30 Jahre alt. Zahlenrätsel III (x. 1) 0 x 17 x = 8 Es handelt sich um die Quadratzahlen 64 = 8 und 81 = 9. Zahlenrätsel IV x + 7x = 10 x = 1,5 Die beiden Summanden sind 1,5 und 8,75. Zahlenrätsel V 6x 0 > x x > 1 Lösung ist jede Zahl, die größer als 1 ist a) 1. Päckchen: 87 cm < 90 cm erfüllt die Vorgabe. Päckchen: 90,5 cm > 90 cm erfüllt die Vorgabe nicht 3. Päckchen: Höhe darf maximal 15 cm sein b) L + B + H 90 cm L 15 cm B 11 cm L; B; H < 60 cm c) 0,85 m + x 0,45 m < 3,0 m; x 5 Es dürfen höchstens 5 Kisten übereinander gestapelt werden.

6 a) (1) x = 3 x > 3 () a = a < x = 00,3 x 00,3 (4) x = 01 x 01 1 b) x bzw. a 010 3, , ,5 x ,5 1, 9 8,8 8, ,5 a ,4 1 0,6 0, x 0,5 05,5 0 13,5 0,5 03,5 03,75 04,5 497, (x 0 4) ,5 0, ,6 01, ,5 ist Lösung von () (4) () (1) () c) Lösungen sind alle Zahlen, die kleiner als sind; die Lösungsmenge ist im Bild links dargestellt. () d) (1) () vgl. c) (4) () () (4) (1) 5. Um einen Durchschnitt von 8 Punkten zu erzielen, müsste er noch 43 Punkte werfen, bei einem Durchschnitt von 30 Punkten müsste er noch 55 Punkte werfen. Die meisten Punkte in einem Spiel der NBA erzielte Wilt Chemberlain am , es waren 100 Punkte. Kobe Bryant erzielte am Punkte und am Punkte. Quelle: a) x = 4 b) x = 7 c) x = 0,7 d) allgemeingültig e) x = 0 f) x = 05 g) x = 3 h) keine Lösung i) x = 0 7. a) x = 4 b) x = c) a = 3 x = 7 a = 1,5 x = 04 t = 10 x = 7 x = 9 a = 0, y = 0,15 allgemeingültig x = 14 keine Lösung s = 0,4 8. (x 0 ) (x + 3) = x (a + (a + 4)) = 56 x = 6 a = 1 Die Quadratseiten sind 6 cm Die Seiten sind 1 m und 16 m lang. lang. Der Flächeninhalt beträgt 19 m. (x + ) (x + 3) = x. 31 (a + 3a) = 40 x = 5 a = 5 Die Quadratseiten sind 5 cm Die Seiten sind 5 cm und 15 cm lang. lang. Der Flächeninhalt beträgt 75 m.

7 a) x : 4 = x + 3 b) 3x + 6 = x x = 04 x = 5 c) 4 0 x 3 = 1 d) x = 10x x = 36 x = (a. 5) 06a 750 a = 10 Der Ausgangswürfel hat die Kantenlänge 10 cm x. 1x. x. 1 x x = 60 Die Strecke war 60 km lang. 1. a) 1 x. 3 x. 175 x 3 8 x = 600 Der Garten ist 600 m groß. b) x + (x 0 4) + (x 0 9) = 60 x = Micky erhält kg, Goofi kg und Donald kg. 13. x 0,8 = 380 x 1,1 = 770 x = 475 x = 700 Vorher gab es 475 Wildunfälle. Vorher wurden Reisen ab 700 angeboten. x 1,16 = 58 x 0,8 1,15 = x = 50 x = ohne Mehrwertsteuer. Der Wagen kostete vorher a) ,5x = ,6x x = 100 Bei 100 km Fahrstrecke sind beide Mietwagen gleich teuer. b) Wenn sie mehr als 100 km fahren möchte, ist der Mietwagen mit dem niedrigeren Kilometerpreis, also Rentacar, günstiger a) - b) x sind die Einnahmen für x verkaufte Exemplare; ,45 x sind die Kosten aus Grundbetrag und Kosten pro Exemplar. Die Einnahmen sollen mindestens so hoch sein wie die Ausgaben. x ,45x x 80 Um schwarze Zahlen zu schreiben, müssen mindestens 80 Exemplare verkauft werden. 16. a) x 7 b) x 5 c) x < 1 d) x 5,5 e) a > 00,75 f) p 1

8 L = {x x 0} L = {x x > 01} L = {x x < 05,5} L = {x x > 4} L = {x x 040} 18. links rechts 4. Zeile x < 1. Zeile 0x + 19 < 15 L = {x x < 1} 0x < 04 x > L = {x x > } Mitte: richtig 19. a) 5 (x + ) > 40 x > 6 x muss größer als 6 cm sein. b) 4x 1 ( ) x 6,5 Alle Seitenlängen, die höchstens 6,5 cm betragen, sind möglich. Mathe-Kiste 0%; 15 km; 160 m Zeichenhilfe: Eiweiß Fett Kohlenhydrate Kakao Sonstiges Mittelpunktswinkel Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, nämlich jede Gerade durch den Mittelpunkt. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten a) x > 03 b) x c) t 11 x 037 x = 06,5 x = 16x 0 18 x = 0 6 = x 0 18 a x n < x 0 14x a) (x + 7) < 5 x < 5,5 Die andere Seite muss kürzer als 5,5 m sein.

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