3 Elemente der Komplexitätstheorie Definitionen und ein Beispiel Nichtdeterminismus und das P-NP-Problem... 57

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1 Ihaltsverzeichis 1 Berechebarkeit ud Algorithme Berechebarkeit LOOP/WHILE-Berechebarkeit Turig-Maschie Äquivalez der Berechebarkeitsbegriffe Etscheidbarkeit vo Probleme Übugsaufgabe Formale Sprache ud Automate 47 3 Elemete der Komplexitätstheorie Defiitioe ud ei Beispiel Nichtdetermiismus ud das P-NP-Problem Ergäzuge I : Weitere Modelle der Berechebarkeit Rekursive Fuktioe Registermaschie Komplexitätstheoretische Beziehuge Ergäzug II : Abschluss- ud Etscheidbarkeitseigeschafte formaler Grammatike ud Sprache 91 6 Ergäzug III : Beschreibugs- komplexität edlicher Automate Eie algebraische Charakterisierug der Klasse der reguläre Sprache Miimierug determiistischer edlicher Automate Ergäzuge IV : Eideutigkeit kotextfreier Grammatike Ergäzug V: Kolmogorov-Komplexität 111 Literaturverzeichis 117 5

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3 Kapitel 8 Ergäzug V: Kolmogorov-Komplexität I diesem Abschitt behadel wir die miimale Komplexität zur Beschreibug eies Wortes. Dabei sei V ei Alphabet mit midestes zwei Buchstabe. Die Wörter solle da we icht ausdrücklich aders festgelegt immer über V gebildet werde. Die i diesem Abschitt betrachtete Turig-Maschie solle stets determiistisch sei. Defiitio 8.1 Es sei A ei Algorithmus, der Wörter über {0, 1} i Wörter über V trasformiert. Die Komplexität K A (x) eies Wortes x V + bezüglich eies Algorithmus A ist die Läge der kürzeste Eigabe p {0, 1} + mit A(p) = x, d. h. i formalisierter Form K A (x) = mi{ p p {0, 1} +, A(p) = x}. Falls kei it A(p) = x existiert, so setze wir K A (x) =. We wir de Algorithmus A id betrachte, der die idetische Abbildug vo {0, 1} + i {0, 1} + realisiert, so gilt wege A id (x) = x ud A id (y) x für alle y x offebar, K Aid (x) = x. Für ei Wort a 1 a 2... a m {0, 1, 2,..., k 1} defiiere wir val k (a 1 a 2... a m ) = a 1 k m 1 + a 2 k m a m 2 k 2 + a m 1 k + a m, d. h. a 1 a 2... a m ist die k-äre Darstellug vo val k (a 1 a 2... a m ). Es sei A 2,3 der Algorithmus, der {0, 1} + i {0, 1, 2} + wie folgt abbildet. Für ei Wort x 1 x 2... x {0, 1} + bereche wir m = val 2 (x 1 x 2... x ). Da setze wir A 2,3 (x 1 x 2... x ) = y 1 y 2... y k {0, 1, 2} +, wobei für val 2 (x 1 x 2... x ) = 0 die Beziehuge y 1 = 0 ud k = 1 gelte, für val 2 (x 1 x 2... x ) 0 die Beziehuge y 1 0 ud m = val 3 (y 1 y 2... y k ) erfüllt sid. 111

4 Es sei x = 120 {0, 1, 2} + gegebe. Da ergibt sich val 3 (120) = 15. Damit gilt für jedes Wort mit 0, dass es durch A 2,3 auf 120 abgebildet wird, da val 2 (0 1111) = 15 ist. Folglich habe wir K A2,3 (x) = 1111 = 4. Aalog erhalte wir für das Wort y = 1021 de Wert val 3 (1021) = 34 ud damit K A2,3 (y) = = 6 da das kürzeste Wort z über {0, 1} mit val 2 (z) = 34 ist. Falls das Wort x mit 0 begit, aber vo 0 verschiede ist, so gibt es kei Wort z {0, 1} +, das durch A 2,3 auf x abgebildet wird. Allgemei erhalte wir K A2,3 (x) = 1 für x = 0, log 2 (val 3 (x)) für x = ax, a {1, 2}, x {0, 1, 2}, sost Offesichtlich hägt die Komplexität K A (x) bez. A i etscheidedem Maße vom Algorithmus A ab. Wir wolle u solche A suche, die bis auf additive Kostate eie miimale Größe der Komplexität liefer. Formalisiert wird dies durch die folgede Defiitio. Defiitio 8.2 Ei Algorithmus A 1 ist asymptotisch icht schlechter als ei Algorithmus A 2, we es eie Kostate c A2 so gibt, dass für alle x V gilt. K A1 (x) K A2 (x) + c A2 Wir wolle zeige, dass es Algorithme gibt, die asymptotisch besser als jeder adere Algorithmus sid. Wir schreibe eie gegebee Turigmaschie ausführlich als M = ({x 1, x 2,... x }, {z 0, z 1,..., z m }, z 0, {z r, z r+1,..., z m }, δ ), x 1, x 2,..., x ; z 0, z 1,..., z m ; z r, z r+1,..., z m ; (, z 0, u 1, v 1, R 1 ), (, z 1, u 2, v 2, R 2 ),..., (, z r 1, u r, v r, R r ), (x 1, z 0, u r+1, v r+1, R r+1 ), (x 1, z 1, u r+2, v r+2, R r+2 ),..., (x 1, z r 1, u 2r, v 2r, R 2r ),... (x, z 0, u r+1, v r+1, R r+1 ),..., (x, z r 1, u (r+1), v (r+1), R (r+1) ), wobei das Blaksymbol bezeichet ud für ei Eigabesymbol x ud eie Zustad z das Tupel (x, z, u, v, R) durch δ (x, z) = (u, v, R) festgelegt ist. Damit wird die Turig- Maschie M durch ei Wort über B = {, x 1, x 2,..., x, z 0, z 1,..., z m, R, L, N, (, ), ; } {, } beschriebe. Die + m + 9 Elemete vo B lasse z.b. durch die Wörter 01 i 0 mit 1 i + m + 9 codiere. Dadurch etsteht eie Beschreibug vo M über dem Alphabet {0, 1}. Aalog köe auch Wörter über {x 1, x 2,... x } durch Wörter über {0, 1} codiert werde. Mit M ud w bezeiche wir die Beschreibuge der Turig-Maschie M = (X, Z, z 0, Q, δ) ud w X + durch Biärwörter. 112.

5 Defiitio 8.3 Eie Turig-Maschie M = ({0, 1}, Z, z 0, Q, δ ) heißt uiversell, we sie für jede Eigabe N w de Wert f N (w) berechet, falls f N (w) defiiert ist ud icht stoppt, falls N auf w icht stoppt. Es gilt der folgede Satz. Satz 8.4 Es gibt uiverselle Turig-Maschie. Beweis. Die uiverselle Turig-Maschie N arbeitet wie folgt: Zuerst fügt N das Wort z am Ede a ud kehrt zur erste 0 zurück, die der Codierug eier schließede Klammer folgt (dies ist der erste Buchstabe vo w. Ageomme auf dem Bad steht u M x z, wobei y bzw. z die Beschreibug eies Wortes y über {, x 1, x 2,..., x } ist bzw. eies Zustades z sid, ud der Lesekopf befidet sich über eier 0, der eie 1 folgt (d. h. der Lesekopf steht über dem erste Buchstabe der Codierug eies Buchstabe x aus {, x 1, x 2,..., x }. Da ersetzt N die 0 durch 0 (dazu werde die Buchstabe hiter alle um eie Positio ach liks verschobe). Dadurch wird die Positio des Kopfes markiert. Nu sucht N durch Vergleich des Wortes hiter dem ud z ach dem Teilstück (z, x, z, x, r) i der Beschreibug vo M (dabei wird die Stelle, bis zu der der Vergleich scho erfolgte stets mit eiem zusätzliche markiert). Da ersetzt N das am Ede stehede z durch z ud die hiter dem zuerst eigeführte stehede Codierug vo x durch die vo x, löscht das davor ud bewegt sich etspreched r ach liks (d. h. zur zweite Null ach liks) bzw. ach rechts (d. h. zur dritte Null ach liks) bzw. bewegt sich icht. Damit wurde ei Schritt vo M simuliert. Ist z ei Stoppzustad, so wird kei passedes Teilstück (z, x, z, x, r) gefude ud N streicht eifach die Beschreibug vo M ud z, womit die Beschreibug des Ergebisses auf dem Bad verbleibt. Es sei V ei Alphabet mit midestes zwei Buchstabe. Ferer sei Z V die Mege aller Turig-Maschie N mit f N : {0, 1} + V +, d.h. die Maschie aus Z V stoppe ur auf ichtleere Wörter über {0, 1} ud gebe ur ichtleere Wörter über V aus. Defiitio 8.5 Eie Turig-Maschie M = ({0, 1} V, Z, z 0, Q, δ ) heißt uiversell für Z V, we sie für jede Eigabe N w mit N Z V ud w {0, 1} de Wert f N (w) berechet. Satz 8.6 Für jedes Alphabet V mit midestes zwei Buchstabe gibt es für Z V uiverselle Turig-Maschie. Beweis. Die zu kostruierede uiverselle Turig-Maschie arbeitet wie eie uiverselle Turig-Maschie, ur dass sie och über eie Kovertierug vo {0, 1} + i V + ud umgekehrt verfügt. Im Folgede spreche wir vo uiverselle Algorithme, we sie durch uiverselle Turig-Maschie für Z V gegebe sid. Satz 8.7 Es sei U ei uiverseller Algorithmus ud x V. Da gilt K U (x) K A (x) + c A für jede Algorithmus A, wobei c A eie ur vo A (ud icht vo x) abhägige Kostate ist (d. h. U ist asymptotisch icht schlechter als jeder adere Algorithmus A). 113

6 Beweis. Es seie U ei uiverseller Algorithmus, A ei beliebiger Algorithmus ud s A die Beschreibug vo A, die U ebe p erhalte muss, um A(p) zu bereche. Es sei c A die Läge der Beschreibug s A. Aus der Eigabe s A p der Läge c A + p berechet U de Wert A(p). Es sei u p ei Wort kürzester Läge mit A(p) = x. Da gelte K A (x) = p ud U(s A p) = A(p) = x. Damit erhalte wir K U (x) = mi{ y U(y) = x} s A p = p + c A = K A (x) + c A. Aus Satz 8.7 folgt sofort, dass für zwei uiverselle Algorithme U 1 ud U 2 eie Kostate c mit K U1 (x) K U2 (x) c existiert. Die Komplexitäte bez. der beide uiverselle Algorithme uterscheide sich also höchstes um eie Kostate. Daher ist es im Folgede icht wesetlich, welche uiverselle Algorithmus wir wähle. Defiitio 8.8 Es sei U ei (fest gewählter) uiverseller Algorithmus. Da defiiere wir die Kolmogorov-Komplexität K(x) durch K(x) = K U (x). Für eie Zahl atüürliche Zahl sei bi() die Biärdarstellug vo. Defiitio 8.9 Für eie Zahl atüürliche Zahl setze wir K() = K(bi()). Wir gebe u eiige Eigeschafte der Kolmogorov-Komplexität a. Lemma 8.10 Es sei V = {0, 1}. Es gibt eie Kostate c derart, dass für alle x {0, 1} + die Beziehug K(x) x + c gilt. Beweis. Da die Kolmogorov-Komplexität auf eiem uiverselle Algorithmus beruht, erhalte wir für de Algorithmus A id aus Lemma 8.7 K(x) K Aid (x) + c Aid = x + c Aid ud damit die gewüschte Aussage mit c = c Aid. Lemma 8.11 Es sei V = {0, 1}. Für jede atürliche Zahl gibt es eie Kostate c derart, dass 2 c #({x x {0, 1} +, K(x) }) < 2 +1 gilt. 114

7 Beweis. Es seie A = {x V + K(x) } ud B = {y {0, 1} + y }. Für jedes Wort x gilt: Falls x i A liegt, so gibt es eie Beschreibug y x zu x i B. Für je zwei uterschiedliche Wörter x 1, x 2 aus A gilt y x1 y x2 (uterschiedliche Beschreibuge liefer verschiedee Wörter). Daraus folgt: #(A ) #(B ). Beachte wir och, dass es 2 i Wörter der Läge i über dem Alphabet {0, 1} gibt, so ergibt sich #(A ) #(B ) = < Ferer erhalte wir aus der erste Aussage, dass für eie gewisse Kostate c alle Wörter der Läge c eie Kolmogorov-Komplexität habe, die höchstes c + c = ist. Damit gibt es midestes 2 c Wörter, dere Komplexität höchstes beträgt. Folglich gilt 2 c #(A ). Folgerug 8.12 Es sei V = {0, 1}. Für jedes 1 gibt es ei Wort w der Läge derart, dass K(w) gilt. Beweis. Nach Lemma 8.11 gibt es höchstes 2 1 Wörter z mit K(z) 1, aber es gibt 2 Wörter der Läge. Folglich muss K(w) für ei Wort w der Läge gelte. Wir bemerke, dass fast alle Kolmogorov-Komplexitäte vo Wörter der Läge über {0, 1} i eiem Itervall vo c bis + c liege, wobei c eie passede Kostate ist. Nach Lemma 8.11 erfüllt jedes Wort der Läge die Relatio K(x) + c für eie Kostate c. Es sei u c c. Da gilt erst recht K(x) + c für alle x der Läge. Die Azahl der Wörter mit K(x) < c ist sicher durch die Azahl der Wörter über {0, 1} mit eier Läge < c, d. h. durch 2 c, beschräkt. Damit ist der Ateil der Wörter der Läge mit c K(x) + c bezoge auf alle Wörter der Läge midestes 2 2 c 2 = 1 2 c. Für hireiched großes c liegt der Ateil da ahe 1. Damit ka ur ei kleier Ateil aller Wörter komprimiert werde, d. h. durch ei (deutlich) kürzeres Wort beschriebe werde. Dass trotzdem die Komprimierug vo Texte möglich ist, liegt dara, dass Texte i der Regel eie Struktur aufweise ud daher ur spezielle Wörter dabei betrachtet werde. Lemma 8.13 Für jede berechebare Fuktio f gibt es eie Kostate c f für alle x, für die f(x) defiiert ist, derart, dass K(f(x)) K(x) + c f gilt. Beweis. Es sei U der uiverselle Algorithmus mit K U (x) = K(x). Da f berechebar ist, gibt es eie Beschreibug s f der Fuktio f, dass U auf der Eigabe s f x de Wert f(x) berechet, d. h. es gilt U(s f x) = f(x). Es sei u p ei kürzestes Wort mit U(p) = x. Damit ergibt sich K(x) = p. Wir verwede u die Eigabe s f p für U. Da gibt es eie Algorithmus A, der bei der Eigabe s f zuerst aalog zu U das Wort p i x überführt, 115

8 d. h. wir erhalte s f x, ud da ereut aalog zu U das Wort s f x i f(x) überführt. Da gilt K A (f(x)) s f + p da s f p icht ei kürzestes Wort sei muss, dass durch A i f(x) überführt wird. Beachte wir och Lemma 8.7, so erhalte wir K(f(x)) = K U (f(x)) K A (f(x)) + c A p + s f + c A = K(x) + s f + c A ud damit die Aussage mit c = s f + c A. Lemma 8.14 Zu jeder berechebare Fuktio h : V + N mit h(x) K(x) für alle x V + gibt es eie Kostate C derart, dass h(x) C für alle x V + gilt. Beweis. Es sei h eie Fuktio mit de geforderte Eigeschafte. Wir ehme a, dass keie kostate obere Schrake C für h existiert. Da gibt es zu jeder Zahl m ei Wort x m mit m < h(x m ) K(x m ), (8.1) eq-kk0 wobei die letzte Relatio ach Voraussetzug gilt. Die Fuktio f mit f(m) = x m ist sogar berechebar. Dazu zähle wir alle Wörter über V auf ud bereche da der Reihe ach die Werte h(x), bis ei x mit h(x) > m gefude wird. Offesichtlich köe wir dabei statt vo m auch vo der biäre Darstellug bi(m) ausgehe. Es sei f : {0, 1} + V + die Fuktio, die bi(m) das Wort x m zuordet. Wege Lemma 8.13 erhalte wir K(x m ) = K(f (bi(m)) = K(bi(m)) + c f (8.2) für eie passede Kostate c f. Nach Lemma 8.7 habe wir och K(bi(m)) bi(m) + c = log 2 (m + 1) + c (8.3) für eie kostate c. Aus (??), (8.2) ud (8.3) erhalte wir m log 2 (m + 1) + c + c f < log 2 (m) + c mit der Kostate c = c + c f + 1. Dies ist für große m aber offesichtlich icht möglich. Folglich ist usere Aahme falsch ud es gibt eie obere Schrake für h. Folgerug 8.15 Die Kolmogorov-Komplexität ist keie berechebare Fuktio. Beweis. Wir ehme a, dass die Kolmogorov-Komplexität berechebar sei. Es gilt K(x) K(x) für alle Wörter x. Nach Lemma 8.11 gibt es eie kostate obere Schrake C für die Werte vo K(x). Dies widerspricht der Aussage vo Lemma??, ach der es ur edlich viele Wörter gibt, für die die Kolmogorov-Komplexität kleier als C ist. Wir wolle u eie Awedug der Kolmogorov-Komplexität auf ei zahletheoretisches Problem gebe ud dadurch die Brauchbarkeit des Kozepts demostriere. Bereits im Altertum (z. B. i de Elemete Euklids, ca. 300 v. Chr.) war bekat, dass es uedlich viele Primzahle gibt. Dagege war es offe, wie die Primzahle verteilt sid, oder aders gefragt, wie viele Primzahle kleier als eie vorgegebee atürliche 116

9 Zahl sid. Wir defiiere π() als die Azahl der Primzahle it p. I de Jahre 1795 ud 1798 vermutete C. F. Gauß ( ) ud A. M. Legedre ( ), dass π() ageähert durch / l() beschriebe wird, wobei l de atürliche Logarithmus (zur Basis e) bezeichet. Der russische Mathematiker P. L. Tschebycheff ( ) zeigte im Jahre 1851, dass π() / l() gilt. Im Jahre 1896 bewiese der frazösische ud der belgische Mathematiker J. S. Hadamard ( ) ud Ch. J. de la Vallee Poussi ( ) die folgede heute meist Primzahlsatz geate Aussage. Satz 8.16 (Primzahlsatz) lim π() / l() = 1. Alle bekate Beweise für de Primzahlsatz sid sehr kompliziert ud lag. Außerdem setze sie viele Vorketise aus der Zahletheorie voraus. Wir wolle jetzt mittels der Kolmogorov-Komplexität eie (eifache) Beweis für eie etwas schwächere Form des Primzahlsatzes gebe. Dafür beötige wir die folgede Aussage. Lemma 8.17 Es sei 1, 2, 3,... eie uedliche Folge atürlicher Zahle mit de Eigeschafte i i+1 ud K( i ) log 2( i ) 2 für i 1. Weiterhi sei q i, i 1, die größte Primzahl, die die Zahl i teilt. Da ist die Mege Q = {q i i 1} uedlich. Beweis. Wir ehme a, dass Q edlich ist (ud werde eie Widerspruch herleite). Es seie p die größte Primzahl i Q ud p 1, p 2,..., die Primzahle mit p i p. Da hat jede Zahl i eie Primzahldarstellug i = p r i,1 1 p r i, p r m,1 m mit gewisse Zahle r j,i N 0. Daher existiert ei Algorithmus A, der zu eier Eigabe (r i,1, r i,2,..., r i,m ) die Biärdarstellug vo i berechet. Da gibt es ach Lemma 8.10 eie Kostate c mit K( i ) log 2 (r i,1 + 1) + log 2 (r i,2 + 1) log 2 (r i,m + 1) + c. Wege r i,j log 2 ( i + 1) liefert dies K( i ) m log 2 (log 2 ( i + 1)) + c. Aufgrud der Voraussetzug K( i ) log 2 ( i) 2 erhalte wir log 2 ( i + 1) 2 K( i ) m log 2 (log 2 ( i + 1)) + c für alle i 1. Dies ist aber umöglich, da m ud c kostate Werte sid. 117

10 Satz 8.18 Für uedlich viele N gilt 64 log 2 () (log 2 (log 2 ())) 2 π(). Beweis. Es sei p j die j-te Primzahl etspreched der atürliche Ordug der atürliche Zahle. Es seie N ud die größte Primzahl, die teilt. Da lässt sich eifach aus ud durch Multiplikatio gewie. Wege der Existez eier Aufzählug aller Primzahle, ka auch aus de Zahle m ud bestimmt werde, idem ma aus der Aufzählug ud m die Primzahl ermittelt ud da mit multipliziert. Als Eigabe ist das Wort bi(m)bi( ) aber icht verwedbar, da keie Iformatio vorliegt, wo bi(m) aufhört. Deshalb setze wir für k mit der Biärdarstellug bi(k) = a 1 a 2... a log2 (k) Bi(k) = a 1 0a a log2 (k) 10a log2 (k) 1. Wir betrachte u Bi(m)bi( ). Dieses Wort ermöglicht die Berechug vo aus m ud, da die erste 1 a eier gerade Positio azeigt, dass die Biärdarstellug vo m gerade aus de Buchstabe davor a ugerader Positio gebildet wird. Es gilt Bi(m)bi( ) = 2 log 2 (m) + log 2 ( ). Wir verkürze diese Eigabe zur Berechug vo och weiter (die Läge der kürzeste Eigabe liefert die Kolmogorov-Komplexität). Dazu betrachte wir w = Bi( log 2 (m + 1) )bi(m)bi( ). Tatsächlich ermöglicht Bi( log 2 (m) ) die Ketis, dass die erste log 2 (m) Positioe ach der erste 1 a gerader Positio gerade bi(m) sid ud die restliche Werte da bi( ) agebe. Offebar gilt w = 2 log 2 ( log 2 (m + 1) ) + log 2 (m + 1) + log 2 ( + 1). Dieser Prozess ka beliebig weiter iteriert werde. Wir führe ur och eie Iteratiosschritt durch. Wir betrachte also v(m, mit der Läge ) = Bi( log p 2 ( log 2 (m + 1) ) )bi( log 2 (m + 1) )bi(m)bi( ) m v(m, ) = 2 log p 2 ( log 2 ( log 2 (m+1) ) ) + log 2 ( log 2 (m+1) ) + log 2 (m+1) + log 2 ( +1). m (8.4) Wir betrachte u die Zahle mit 2 i 2 i+1 1. Dies sid 2 i Zahle. Jede dieser Zahle hat eie Biärdarstellug der Läge i + 1. Nach der zweite Aussage vo Lemma 8.10 gibt es höchste 2 i 2 Zahle mit eier Kolmogorov-Komplexität (i 3). 118

11 Damit gilt für mehr als die Hälfte der Zahle mit 2 i 2 i+1 1 die Beziehug K() log 2 ( + 1) 2. Es gibt höchstes 2 i 1 Biärwörter der Läge i 2. Somit gibt es auch höchstes 2 i 1 Wörter v(m, ) der Läge i 2. Damit müsse midestes die Hälfte der Zahle mit 2 i 2 i+1 1 die Bedigug v(m, erfülle. Somit gibt es für jedes i N eie Zahl i mit ) i = log 2 ( + 1) 2 i i 2 i+1 1, K( i ) log 2 ( i + 1) 2 ud v(m, i ) log 2 ( i + 1) 1. (8.5) Ausführlich lautet die letzte der Beziehuge wege (8.4) log 2 ( i + 1) 1 2 log 2 ( log 2 ( log 2 (m+1) ) ) + log 2 ( log 2 (m+1) ) + log 2 (m+1) + log 2 ( i +1), woraus wege log 2 ( i ) = log 2 ( i ) log 2 ( ) log 2 ( ) 2 log 2 ( log 2 ( log 2 (m + 1) ) ) + log 2 ( log 2 (m + 1) ) + log 2 (m + 1) log 2 (log 2 (log 2 (m))) + log 2 (log 2 (m)) + log 2 (m) + 6 folgt (wobei die 6 aus der 2 dadurch etsteht, dass wir jedes Mal icht zur ächste gaze Zahl übergehe ud dadurch eie Verkleierug um 4 eitrete ka), woraus sich 64 m log 2 (m) (log 2 (log 2 (m))) 2 (8.6) ergibt. Nach (8.5) erfüllt die Folge 1, 2,... die Voraussetzuge des Lemmas Damit gilt (8.6) für uedlich viele atürliche Zahle m. Somit gibt es uter de erste 64 m log 2 (m) (log 2 (log 2 (m))) 2 atürliche Zahle midestes m Primzahle, d. h. π(32 m log 2 (m) (log 2 (log 2 (m))) 2 ) m. Wir setze u = 32 m log 2 (m) (log 2 (log 2 (m))) 2. Es ergibt sich π() m = 32 log 2 (m) (log 2 (log 2 (m))) 2. Wege m ergibt sich π() 32 log 2 () (log 2 (log 2 ())) 2 ud damit die gewüschte Aussage. 119