Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum

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1 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im Raum G Physikalische und technische Anwendungen Vektoren im Raum 11

2 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz A Grundbegriffe DEFINITION 21 Die Menge ist die Menge aller Tripel reeller Zahlen, in üblicher mengentheoretischer Notation ausgedrückt: : {( x1, x2, x): x1, x2, x } Notation Zahlentripel im nennt man auch Punkte oder Vektoren (i) Im Rahmen der Vektorrechnung ist meistens die so genannte Spaltendarstellung a1 a a2 a üblich Der Vektor werden als Nullvektor bezeichnet (ii) Punkte notiert man üblicherweise in der Form A ( a1, a2, a) Der Punkt O (0,0,0) ist der so genannte Nullpunkt (Ursprung) Je zwei Punkten A ( a1, a2, a) und B ( b1, b2, b) kann der so genannte Vektor von A nach B b1 a1 AB : b2 a2 b a zugeordnet werden A ( a, a, a ) ein Punkt, so kann diesem der so heißt der Vektor Ist 1 2 a1 ra OA : a2 a der Ortsvektor des Punktes A (iii) Im Rahmen der Vektorrechnung werden reelle Zahlen auch als Skalare bezeichnet Bemerkung (Gleichheit von Vektoren) a1 b1 Es seien a a2, b b2 ; a b a1 b1 und a2 b2 und a b a b 12

3 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz B Rechnen mit Vektoren DEFINITION 22 (Addition) a1 b1 a1 b1 Es seien ab, ; ab a2 b2 : a2 b2 a b a b (V1) (V2) (V) (V4) SATZ 2 Für die Vektoraddition gelten die folgenden Rechenregeln abc,, : ( a b) c a ( b c) (Assoziativgesetz) 0 : a : 0 a a (Existenz eines neutr Elements) a : ( a) : ( a) a 0 (Jedes Element hat ein Inverses) ab, : a b b a (Kommutativgesetz) DEFINITION 24 (Subtraktion) Es seien a1 b1 a2, b2 a b a b ; a1 b1 a b : a ( b) a2 b2 a b DEFINITION 25 (Multiplikation Skalar mal Vektor) a1 s a1 Es seien s, a ; s a s a2 : s a2 a s a (V5) SATZ 26 Es gelten die folgenden Rechenregeln st,, a : s ( t a) ( s t) a (V6) (V7) (V8) : a 1 a a s, ab, : s ( a b) s a s b st,, a : ( s t) a s a t a Sind DEFINITION 27 (Linearkombination) a 1, a 2,, a m und s1, s2,, sm, dann heißt der Vektor m v : s1 a1 s2 a2 s m am si ai i 1 eine Linearkombination der Vektoren a, a2,, a 1 m 1

4 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz DEFINITION 28 (Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit) Drei Vektoren abc,, heißen linear abhängig, wenn einer dieser Vektoren eine Linearkombination der übrigen ist Andernfalls nennt man die Vektoren ab, linear unabhängig SATZ 29 Sind 1, 2, a a a gegebene linear unabhängige Vektoren, so kann jeder weitere Vektor c in eindeutiger Weise als Linearkombination von a1, a2, a dargestellt werden; dh es gibt eindeutig bestimmte Skalare 1, 2, mit c 1a1 2 a2 a Bemerkung Sind a1, a2, a gegebene linear unabhängige Vektoren, so lässt sich jeder weitere gegebene Vektor c additiv zerlegen in so genannte Komponenten k1, k2, k mit c k1 k2 k, wobei k 1 die Richtung a 1, k 2 die Richtung von a 2 und k die Richtung von a hat C Der euklidische Betrag DEFINITION 210 (Standardbetrag / euklidischer Betrag) a Es sei a a2 ; a : a1 a2 a a (N1) (N2) (N) SATZ 211 (Grundgesetze für den Standardbetrag) a : a 0 und a 0 a 0 s, a : s a s a ab, : a b a b (Dreiecksungleichung) Bemerkungen (i) Ein Vektor u mit u 1 heißt Einheitsvektor oder auch normierter Vektor (ii) Es sei a mit a 0 Dann ist der Vektor 0 1 a : a ein Einheitsvektor a 14

5 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz Bemerkungen (Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten) (i) Jeder Vektor a1 a a 2 \ { 0} a kann stets in der Form r cos a r sin a mit eindeutig bestimmten Zahlen r 0 und [ 0, 2 [ (bzw ], ] ) hingeschrieben werden Dabei ist a2 r a, tan (im Falle a1 0) a1 Es ist üblich, die Zahlen a 1, a 2, a kartesische Koordinaten von a zu nennen und die Zahlen r, und a Zylinderkoordinaten von a zu nennen (ii) Jeder Vektor a1 a a 2 \ { 0} a kann stets in der Form sincos a r sinsin cos mit Zahlen r 0 und [ 0, 2 [ (bzw ], ] ) und [ 0, ] hingeschrieben werden Dabei ist a2 r a, tan (im Falle a1 0), arccos a a1 r Es ist üblich, die Zahlen a 1, a 2, a kartesische Koordinaten von a zu nennen und die Zahlen r, und Kugelkoordinaten von a zu nennen D Das euklidische Skalarprodukt DEFINITION 212 (Standardskalarprodukt / euklidisches Skalarprodukt) a1 b1 Es seien a a2, b b2 ; a, b : a1 b1 a2 b2 a b a b (S1) (S2) (S) (S4) SATZ 21 (Grundgesetze für das euklidische Skalarprodukt) abc,, : ab, c a, c b, c (Linearität im 1 Argument) s, ab, : s ab, s ab, (Linearität im 1 Argument) ab, : ab, ba, (Symmetrie) : a aa, 0 und aa, 0 a 0 (Positive Definitheit) 15

6 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz SATZ 214 (Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Betrag) 2 a : a a, a [bzw a a, a ] Bemerkung (Geometrische Interpretation des euklidischen Skalarprodukts) Es seien ab, und bezeichne den geometrischen Winkel zwischen den Vektoren (Pfeilen) a und b Dann gilt ab, a b cos( ) oder falls zusätzlich a 0 und b 0 ab, cos( ) a b Im Falle ab, 0 nennt man die Vektoren ab, orthogonal Für Vektoren a und b mit a 0 und b 0 ) bedeutet die Orthogonalität anschaulich, dass die Vektoren (Pfeile) a und b aufeinander senkrecht stehen Man notiert diesen Sachverhalt dann auch durch die Schreibweise a b SATZ 215 (Orthogonale Projektion) Es sei u ein fest gegebener von 0 verschiedener Vektor Jeder Vektor sich auf genau eine Weise als Summe zweier Vektoren y p v ( p u, v, u 0) pv, 2 darstellen y lässt mit der Maßgabe, dass p ein Vielfaches s u des Vektors u sein soll und dass v senkrecht auf u stehen soll Der Vektor p heißt dann die "orthogonale Projektion" des Vektors y auf den Vektor u (bzw auf die durch u festgelegte Ursprungsgerade) und kann gemäß nachstehender Formel berechnet werden yu, p u uu, Bemerkung Sind a1, a2, a gegebene von 0 verschiedene paarweise orthogonale Vektoren, so lässt sich jeder weitere gegebene Vektor c additiv zerlegen in so genannte Komponenten k1, k2, k mit c k1k2 k, wobei k 1 die Richtung a 1, k 2 die Richtung von a 2 und k die Richtung von a hat Dann ist k 1 die orthogonale Projektion von c auf a 1, k 2 ist die orthogonale Projektion von c auf a 2 und k die orthogonale Projektion von c auf a Es ist also ca, 1 ca, 2 ca, k1 a1, k2 a2, k a a1, a1 a2, a2 a, a 16

7 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz E Vektorprodukt und Spatprodukt Seien DEFINITION 216 (Vektorprodukt) a1 b1 a a2, b b2 ; a b a 2 b2 a b a 1 b1 a2b a b2 a 1 b1 a b a 2 b2 : ( a1 b a b1) a b a b a1 b2 a2 b a 1 1 b1 a2 b2 SATZ 217 (Grundgesetze für das Vektorprodukt) : (VP1) abc,, ( a b) c a c b c : (VP2) s, ab, ( s a) b s ( a b) : (VP) ab, ab ( ba ) : (VP4) a a a 0 HILFSSATZ 218 (i) (ii) ab, : ab, a 0 und abb, 0 ab, : 2,,,, a b a b a a bb ab Bemerkung (Geometrische Interpretation des Vektorprodukts) Es seien ab, \{0} und bezeichne den geometrischen Winkel zwischen den Vektoren (Pfeilen) a und b Dann gilt: (i) a b steht senkrecht auf a und auch auf b (ii) ab a b sin( ), dh die Länge von a b entspricht der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms (iii) Die Vektoren a,b, a b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Dreifingerregel der rechten Hand) Bemerkung (Test auf lineare Abhängigkeit) Genau dann sind die beiden Vektoren ab, linear abhängig, wenn ab 0 ist SATZ 219 Gegeben ist die Gleichung xb c mit gegebenen Vektoren bc, ( b 0) und gesuchten Vektoren x (i) Im Falle bc, 0 ist diese Gleichung unlösbar (ii) Im Falle bc, 0 ist diese Gleichung lösbar und die "allgemeine Lösung" lautet x 1 ( ) (, bc b bb 17

8 WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz DEFINITION 220 (Spatprodukt) [,, ]:, [ abc,, ]: ab,c( a2 b a b2) c1( a b1a1b) c2 ( a1b2 a2 b1) c SATZ 221 (Rechenregeln für das Spatprodukt) [ a, b, [ b, c, a] [ c, a, b] ; [ a, c, b] [ c, b, a] [ b, a, [ a, b, Bemerkung (Geometrische Interpretation des Spatprodukts) Es seien abc,, Dann ist [ a, b, 0 genau falls die Vektoren a, b, c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden Der Wert von [ a, b, entspricht (bis auf das Vorzeichen) dem Volumen des von den Vektoren a, b, c aufgespannten Spats Der Sonderfall [ abc,, ] 0 tritt genau dann ein, wenn die Vektoren a,b,c linear abhängig sind F Geraden und Ebenen im Raum DEFINITION 222 (Parameterdarstellung einer Geraden im ) Es seien a und u \ {0} a1 u1 x :, x x( s): asu a2 s u2 ( s ) a u DEFINITION 22 (Parameterdarstellung einer Ebene im Es seien a ) und uv, \{0} mit linear unabhängigen Vektoren u und v x :, a1 u1 v1 x x( s, t) : a s u t v a2 s u2 t v 2 ( st, ) a u v DEFINITION 224 (Normalenform der Ebenengleichung im Es seien n \{0} und c 18 ) x n E : { x :, c} {( x, x, x ) : n x n x n x c } Bemerkung (Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung im Es seien a1, a2, a \{ 0} x1 x2 x E : {( x 1, x2, x) : 1} a1 a2 a ) G Physikalische und technische Anwendungen von Vektoren im Raum