Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM

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1 Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser Objekte im Rum betrchten. Bei der Angbe der Koordinten eines Punktes kommt dmit eine dritte Koordinte (sprich: z-koordinte) dzu. Diese gibt prktisch die Höhe eines Punktes n: Beispiel: P( / / 5) x-koordinte y-koordinte z-koordinte Entsprechend ht uch ein Vektor im Rum nun drei sttt zwei Splten: Beispiel: P = 4 x-koordinte y-koordinte z-koordinte Ansonsten bleibt ber ds Rechnen mit Vektoren prktisch unverändert zur ebenen Koordintengeometrie: Stz: Einen Vektor zwischen zwei Punkten A und B berechnet mn: AB = B A Beispiel: Berechne den Vektor von C( / / ) nch D( / / ). CD = D C = 4 = 4 Übung: Übungsbltt 5, Aufgbe - 4

2 Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester x Stz: Die Länge (=Betrg) eines Vektors = y z dermßen: = x y z. berechnet sich im R folgen- Beispiel: Berechne die Länge des Vektors AB = = ( ) = AB 4. 4 Übung: Übungsbltt 5; Aufgbe 5-6 Auch folgende Rechenregeln sind im R identisch zum R : x Stz. Multipliktion eines Vektors = y z x v y z v x v y = v z mit einem Sklr v R : Beispiel: Berechne =

3 Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester Prllelitätskriterium: Zwei Vektoren sind genu dnn zueinender prllel, wenn der eine Vektor ein Vielfches des nderen Vektors ist: / / b b = v Übung: Übungsbltt 5; Aufgbe 7 Stz: Den Einheitsvektor 0 zu einem gegebenen Vektor berechnet mn: 0 = Der Einheitsvektor ht stets die Länge. Beispiel: Trge die Länge l = von A us prllel zur Strecke BC nch beiden Seiten b A( / 7 / ), B( / / ), C( 8 / 5/ 4) : Dmit wir die Richtung der Strecke BC ermitteln, berechnen wir den Vektor BC : 8 BC = = 5 4 Nun sollen wir von A us Einheiten in Richtung dieses Vektors gehen. Dmit die Länge richtig wird, müssen wir ber diesen Vektor BC zuerst lng mchen. Wir berechnen lso den Einheitsvektor: BC0 = BC BC = 9 ( 6) BC 0 BC 0 = BC 0 =

4 Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester Nun können wir von A us Einheiten in Richtung des Vektors BC wndern: P = A BC0 P 7 = P = 7 5 = 4 P ( / 5 / 4) Um in die ndere Richtung zu gehen, müssen wir lediglich die Orientierung des Vektors BC 0 ändern, sprich wir dürfen ihn nicht ddieren sondern subtrhieren: 6 P = 7 9 P = ( / / ) 8 Übung: Übungsbltt 5; Aufgbe 8-9 Auch den Hlbierungspunkt einer Strecke erhält mn entsprechend zum R : Stz: Die Koordinten des Hlbierungspunktes H einer Strecke mit den End- A x y z B x / y / z erhält mn: punkten ( / / ) und ( ) b b b H x x y y z z b b b / / Beispiel: Berechne den Hlbierungspunkt der Strecke zwischen A( / 4 / ) und B( / 6 / ). Um die x-koordinte des Hlbierungspunktes zu erhlten, müssen wir nur die x-koordinte von A und die x-koordinte von B ddieren und ds Ergebnis hlbieren: x = = Um die y-koordinte des Hlbierungspunktes zu erhlten, müssen wir nur die y-koordinte von A und die y-koordinte von B ddieren und ds Ergebnis hlbieren: 4 y = 6 = 5 4

5 Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester Um die z-koordinte des Hlbierungspunktes zu erhlten, müssen wir nur die z-koordinte von A und die z-koordinte von B ddieren und ds Ergebnis hlbieren: z = = Dmit hben wir den Hlbierungspunkt: H( / 5 / ) Übung: Übungsbltt 5; Aufgbe 40 Auch der Schwerpunkt eines Dreiecks lässt sich leicht berechnen. Stz: Den Schwerpunkt S eines Dreiecks A( x / y / z ), B( xb yb zb ) C( x / y / z ) erhält mn: c c c S x x x y y y z z z b c b c b c / / / /, Anmerkung. Wer sich für die Herleitung dieser Formel interessiert, rbeitet bitte im Lehrbuch REICHEL 6; Seite 9 den dort ngeführten Beweis durch: Beispiel: Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks A( / / ), B( / / ), C( 5/ 0 / ): Um die x-koordinte des Schwerpunktes zu erhlten, müssen wir nur die x-koordinte von A, die x-koordinte von B und die x-koordinte von C ddieren und ds Ergebnis dritteln: x = 5 = Um die y-koordinte des Schwerpunktes zu erhlten, müssen wir nur die y-koordinte von A, die y-koordinte von B und die y-koordinte von C ddieren und ds Ergebnis dritteln: y = 0 = Um die z-koordinte des Schwerpunktes zu erhlten, müssen wir nur die z-koordinte von A, die z-koordinte von B und die z-koordinte von C ddieren und ds Ergebnis dritteln: z = = Der Schwerpunkt ht lso folgende Koordinten: S( / / ) Übung: Übungsbltt 5; Aufgbe 4 5

6 Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester Orthogonlitätskriterium: Zwei Vektoren stehen genu dnn norml ufeinnder, wenn ihr sklres Produkt Null ergibt: b b = 0 Beispiel: Sind die beiden Vektoren = und b = 0 norml ufeinnder? Um dies zu überprüfen, berechnen wir ds sklre Produkt der beiden Vektoren: b = 0 = ( ) ( ) 0 = D ds Produkt nicht Null ergibt, sind die Vektoren nicht norml ufeinnder. Übung: Übungsbltt 5; Aufgbe 4 Bis jetzt htten wir zum R eigentlich keine Veränderungen, ußer dss wir nun eine z-koordinte benötigen. Beim Berechnen des Normlvektors uf einen gegebenen Vektor ändert sich ber dies. In der Ebene gb es uf einen gegebenen Vektor genu einen eindeutigen Normlvektor (von der Orientierung einml bgesehen), im R gibt es hingegen uf einen gegebenen Vektor unendlich viele Normlvektoren. Versuchen Sie sich dies klr zu mchen. Merke: Im Rum gibt es uf einen Vektor unendlich viele Normlvektoren. 6

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