Opto-elektronische. Materialeigenschaften VL # 4

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1 Opto-elektronische Materialeigenschaften VL # 4 Vladimir Dyakonov dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Experimental Physics VI, Julius-Maximilians-University of Würzburg und Bayerisches Zentrum für Angewandte Energieforschung e.v. (ZAE Bayern) 25 April 2012

2 Allgemeine Anmerkungen Achtung: Vorlesungszeit und Ort haben sich geändert!!! Di. 15:00-16:00, Hörsaal 3, Hörsaalgebäude, Hubland Mi. 14:00-16:00, Seminarraum E36, Mathematik Übungen Di. 16:00-17:00, Seminarraum E36 2

3 Elektronische Eigenschaften von FK 2. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 2.1 Elektrische Leitfähigkeit 2.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 2.3 Thermische Leitfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 2.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells 3

4 Elektronische Eigenschaften von FK 2. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 2.1 Elektrische Leitfähigkeit 2.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 2.3 Thermische Leitfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 2.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells 4

5 Effekt eines elektrischen Felds im k-raum k y k x besetzte Zustände ("Fermi-Kugel") 5

6 Dissipative Streuprozesse Fermikugel wird nicht beliebig weit verschoben (d.h. Elektronen nicht unbegrenzt beschleunigt), da die Elektronen dissipative Streuprozesse erleiden. Elektronen erleiden Stöße an: (1) statischen Gitterfehlern* (Fremdatome, Leerstellen, Leerstellen, Defekte) (2) dynamischen Gitterfehlern* (Phononen) (3) anderen Elektronen (Coulomb-Wechselwirkung) *für Kristallelektronen stellen Atome auf idealen Gitterplätzen keine Streuzentren dar! (Begründung später) 6

7 Streuung an statischen Gitterfehlern 7

8 Streuung an dynamischen Gitterfehlern (Phononen) 8

9 Streuung an anderen Elektronen (Coulomb-Wechselwirkung) 9

10 Streurate τ -1 phänomenologische Beschreibung der Streuprozesse: Elektronen erleiden im Mittel alle τ Sekunden einen dissipativen Stoß d dt k = e E k k 0 τ m dv dt Im Ortsraum = ee m v D t im stationären Gleichgewicht gilt: δ k = k k 0 = e Eτ J q = v D = en h m et m E = µe J q = enhvi = en h m hki hki hki 0 = en h m dk d.h. die gesamte Fermi-Kugel wird im k-raum um δk konstant verschoben. Wir sehen, dass wir nur dann eine endliche Stromdichte erhalten, wenn die Impulsverteilung der E. von der Gleichgewichtsverteilung abweicht 10

11 Stationäre Verschiebung der Fermi-Kugel k y k x δk = e Eτ 11

12 Stromdichte im elektrischen Feld Leitungselektronendichte n Ladung q = -e Stromdichte " δk j = nqv = n( e) $ # m % " ' = n( e) e % $ Eτ ' & # m & d.h. Ohm sches Gesetz mit der spezifischen Leitfähigkeit: bzw. spezifischer Widerstand: 12

13 Drude Modell Aus den bei RT gemessenen Leitfähigkeiten von Metallen erhält man Streuzeiten τ"in der Größenordnung von s, was zusammen mit der thermischen Geschwindigkeit von etwa 10 5 m/s zu mittleren freien Weglängen im Å-Bereich führt Drude ging deshalb davon aus, dass die Elektronen an den Atomrümpfen gestreut werden, da ja deren Abstand auch im Å-Bereich liegt. Eine offensichtlich falsche Annahme des Drude-Modells ist, dass alle Elektronen beschleunigt und gestreut werden Diese ist jedoch nicht mit der Fermi-Dirac-Verteilung der Leitungselektronen vereinbar. Paul Drude, Zur Elektronentheorie der Metalle, Annalen der Physik 1, (1900) 13

14 Spezifischer Widerstand verschiedener Metalle Metall ρ [µωcm] bei 295 K Cu 1.70 Ag 1.61 Au 2.20 Al 2.74 Na 4.75 Fe 9.8 Ni 7.0 Ti

15 Temperaturabhängigkeit des Widerstands spez. Widerstand mit "Matthiessen- Regel" (1) Defektstreuung: d.h. T-unabhängig (2) Streuung an Phononen: (3) Elektron-Elektron-Streuung: (Pauli-Prinzip) 15

16 Temperaturabhängigkeit des Widerstands spez. Widerstand mit 16

17 Temperaturabhängigkeit des Widerstands spez. Widerstand ρ(t ) = m ne 2 τ mit 1 τ = τ imp τ ph τ ee Restwiderstand ρ 0 1 τ imp n imp Tiefe Temperaturen ρ(t ) ρ 0 +AT 2 + βt 5 1 τ ee 1 τ ph 17

18 Temperaturabhängigkeit des Widerstands 18

19 Temperaturabhängigkeit des Widerstands Anwendung der T-Abhängigkeit: Pt100-Widerstand als Temperatursensor 19

20 Temperaturabhängigkeit des Widerstands Beispiel: CeAl 3 "Schweres Fermionen-System" Tiefste Temperaturen Restwiderstand 20

21 Elektronische Eigenschaften von FK 2. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 2.1 Elektrische Leitfähigkeit 2.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 2.3 Thermische Leitfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 2.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells 21

22 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt Geometrie des Hall-Effekts 22

23 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt Aufbau eines "Hall-Bars" 23

24 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt Gemessene Hall-Konstanten Positive Ladungsträger?? Material Li Cu Ag Au Al Be In Hall-Konstante R H [10-10 m 3 C -1] Halbleiter (z.b. Si, Ge, GaAs, InP, ): R H positiv oder negativ, je nach "Dotierung" 24