Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9

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1 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9 Wissen und Können. Zahlenmengen Aufgaen, Beispiele, Erläuterungen N Z Q R natürliche ganze rationale reelle Zahlen Zahlen Zahlen Zahlen. Wurzeln - N; Z; Q; R a (Quadratwurzel) ist diejenige nicht-negative reelle Zahl, deren Quadrat a ergit. a heißt Radikant der Wurzel, er darf nicht negativ sein! Es gilt: a a 5 5 ; 0 0 ; ( ) ist nur für definiert ( ) a a (a, 0),5 5 5 a a (a 0; > 0),5 6,5,5 Die n-te Wurzel (n N) aus einer reellen Zahl a 0 ist diejenige nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz a ergit. 8 ; , Schreiweise: n a oder und damit für a > 0 : n m. Binomische Formeln a n ( a + ) a + a + ( a ) a a + ( a + )( a ) a m n a (a ) a m n 0,5 9 ; 9 9 a a a + + ( + + 6) ( ) ( + 6) a + 0,8 y 6 a 0,8 y + 0, y + 0,6 y a a ( 0,8 y) ( ) Seite von 6

2 . Quadratische Gleichungen Eine Gleichung der Form a + + c 0 mit a 0 heißt quadratische Gleichung. Sonderfälle: () Gleichungen vom Typ a + c 0 (Reinquadratische Gleichung) Lösungen ermitteln üer - a c () Gleichungen vom Typ a + 0 Lösungen ermitteln durch Ausklammern von a Lösungsformel für quadratische Gleichungen: Um eine Gleichung der Form a + + c 0 mit a 0 auf Lösungen zu untersuchen, estimmt man zunächst die Diskriminante D a c. - Falls D < 0 hat die Gleichung keine Lösung. - Falls D 0 hat die Gleichung genau eine Lösung, nämlich - a - Falls D > 0 hat die Gleichung zwei Lösungen: / ± a ac 5. Quadratische Funktion ± a D Zu (): a) 0 0; 5; ) 5 ; - 5, 5 + 0; -9 Diese Gleichung hat in R keine Lösung, da Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind. Zu (): 0 0; Faktorisieren: a ausklammern ( 5) 0; 0, 5 Ein Produkt nimmt genau dann den Wert Null an, wenn einer der Faktoren Null ist. ) ; a, - 6, c D (-6) - 0 < 0 Keine Lösung ) ; a -,, c - 8 D (-) (-8) 0 Genau eine a ) 6 0; a 6,, c D (-) 6 (-) > 0 Zwei Lösungen : ( ) ± D ( ) ± ± / a 6 und Eine Funktion der Form f : a + + c mit a 0 und R heißt quadratische Funktion. Den zugehörigen Funktionsgraphen nennt man Parael. Paraeln haen eine Symmetrieachse. Ihr Schnittpunkt mit der Parael heißt Scheitel. Der Graph der Funktion mit der Gleichung f() heißt Normalparael. y +,5,5 Symmetrieachse:,5 Scheitel: S(,5 ) Nullstellen: 0,5,5 Seite von 6

3 Die Gleichung einer quadratischen Funktion kann in der allgemeinen Form y a + + c oder in der Scheitelform y a ( S ) + y S (Scheitel: S( S y S )) angegeen werden. Mittels quadratischer Ergänzung kann die allgemeine Form der Funktionsgleichung in die Scheitelform umgewandelt werden. Allgemeine Form: y + 6 Quadratische Ergänzung: y [ 8 + ] a ausklammern y [( 8 + ) + ] quadrat. ergänzen Man kann die Gleichung auch mithilfe der Nullstellen angeen: - zwei Nullstellen und : y a ( )( ) - eine Nullstelle : y a ( ) Verschieung der Normalparael y y [( ) ) -6 + ] inomische Formel ( ) + vereinfachen Scheitelform: y ( ) + (Scheitel: S( )) a, d.h. y + + c ( S ) + y S Leicht erkennar an der Scheitelform: ) y : keine Verschieung ) y + y S : Verschieung um y S in y-richtung ) y ( S ) : Verschieung um S in -Richtung ) y ( S ) + y S : Verschieung um S in - Richtung und y S in y-richtung Je nach Verschieung kann die neue Parael keine, eine oder zwei Nullstellen haen: y S > 0: y S 0: y S < 0: keine Nullstelle eine Nullstelle zwei Nullstellen Streckung von Normalparaeln c 0, d.h. y a a > 0: Die Parael ist nach oen offen. a < 0: Die Parael ist nach unten offen. a > : Die Parael ist enger als die Normalparael. 0 < a < : Die Parael ist weiter als die Normalparael. ) y Scheitel: S(0 0); Nullstelle: 0 ) y Scheitel: S(0 ); Nullstellen: ; ) y ( ) Scheitel: S( 0); Nullstelle: ) y ( ) Scheitel: S( ); keine Nullstellen Seite von 6

4 Nullstellen estimmen Quadratische Funktionen können entweder mit Hilfe der Scheitelform oder, ausgehend von der allgemeinen Form, mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen auf Nullstellen untersucht werden. Quadratische Funktionen können keine, eine oder zwei Nullstellen haen: - Keine Nullstelle: Der Scheitel liegt oerhal der Achse (y S > 0) und die Parael ist nach oen offen (a > 0) oder der Scheitel liegt unterhal der Achse (y S < 0) und die Parael ist nach unten offen (a < 0). oder: D < 0 - Eine Nullstelle: Der Scheitel liegt auf der Achse (y S 0) oder: D 0 - Zwei Nullstellen: Der Scheitel liegt oerhal der Achse (y S > 0) und die Parael ist nach unten offen (a < 0) oder der Scheitel liegt unterhal der Achse (y S < 0) und die Parael ist nach oen offen (a > 0). oder: D > 0 6. Mehrstufige Zufallseperimente Ein Zufallseperiment heißt mehrstufig, wenn es aus mehreren Zufallseperimenten zusammengesetzt ist. Zur Veranschaulichung dienen Baumdiagramme. Wahrscheinlichkeiten von Ergenissen zw. Ereignissen können mit Hilfe von Pfadregeln estimmt werden.. Pfadregel: Bei einem mehrstufigen Zufallseperiment erechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ergenis, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades multipliziert.. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergenisse, die zu diesem Ereignis gehören. y ( ) + Anzahl der Nullstellen: y S : + 6 der Scheitel liegt oerhal der -Achse a - 0,5: die Parael ist nach unten geöffnet Die quadratische Funktion hat zwei Nullstellen. Lage der Nullstellen: ( ) + 0; ( ) - oder und 6 oder: Anzahl der Nullstellen: + 6 0; a - 0,5,, c -6 D (-0,5) (-6) > 0 Die quadratische Funktion hat zwei Nullstellen. Lage der Nullstellen: ± D ± / ( ± ) a ( 0,5) und 6 In einer Urne efinden sich drei weiße und fünf schwarze Kugeln. Aus dieser Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Ergenisraum: Ω {ww, ws, sw, ss} Baumdiagramm: Stufe. Stufe Wahrscheinlichkeit ww P(ww) 8 8 w s 5 ws P(ws) sw P(sw) ss P(ss) Ereignis E Kugeln haen die gleiche Fare : E {ww, ss} als Teilmenge des Ergenisraumes Ω 5 P(E) P({ww, ss}) P(ww) + P(ss) Seite von 6

5 . Satz des Pythagoras Man nennt die dem rechten Winkel gegenüerliegende Seite Hypotenuse, die eiden anderen Seiten Katheten. Die Höhe zur Hypotenuse zerlegt diese in zwei Hypotenusenaschnitte. Satz des Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck haen die Quadrate üer den Katheten a und zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat üer der Hypotenuse c. Es gilt: a² + ² c² Kehrsatz zum Satz des Pythagoras Wenn in einem Dreieck ABC mit den Seiten a, und c a² + ² c² gilt, dann hat das Dreieck ei C einen rechten Winkel. 8. Trigonometrie (Sinus, Cosinus, Tangens) In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die einem spitzen Winkel gegenüerliegende Kathete seine Gegenkathete, die andere seine Ankathete. : Berechne die fehlende Seitenlänge des rechtwinkligen Dreiecks. (5 cm) (5 cm) + (8 cm) + (8 cm) 89 cm 9, cm : Berechne für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel ei C, a 8 cm und c 5 cm die fehlende Seitenlänge. a + c c a 05 cm (5 cm) 5 cm (8 cm) : Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten cm, y 5 cm und z cm..) Prüfe, o das Dreieck rechtwinklig ist. z ( cm) 69 cm + y ( cm) + (5 cm) 69 cm Somit hat das Dreieck einen rechten Winkel gegenüer der Seite z..) Berechne den Flächeninhalt. A y cm 5 cm 0 cm Gegeen sind,5 cm und α,5. Gesucht sind q und h. Ankathete von α Gegenkathete von α Gegenkathete von α sinα Hypotenuse Ankathete von α Hypotenuse Gegenkathete von α Ankathete von α cosα tanα Beziehung zwischen Sinus, Cosinus und Tangens Für alle Winkel α mit 0 α 90 gilt: () sin α cos (90 - α) cos α sin (90 - α) () sin α + cos α () tan α sinα cos α (α 90 ) h sin,5 h sin,5,5 cm sin,5, cm q cos,5 q cos,5,5 cm cos,5, cm Gegeen ist sin α 0,6. Berechne: a) cos α ) tan α a) aus () folgt: cos α sin α 0,6 0,6 cos α 0,8 (da 0 α 90 ist cos α > 0) sinα ) tan α cos α 0,6 0,8 0,5 Seite 5 von 6

6 Steigung Eine Gerade steigt auf der waagerechten Länge um die Höhe y. Der Steigungswinkel α ist der Winkel gegenüer der Höhe. Die Steigung ist dann y m tan α p % 9. Raumgeometrie Für ein Prisma und einen Zylinder mit der Grundfläche G, der Mantelfläche M und der Höhe h gilt: V G h Oerflächeninhalt: O G + M Speziell für einen Zylinder mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h gilt: V r π h r G G Der Zirler Berg hat die Steigung 6 %. a) Wie groß ist der Steigungswinkel α? tan α 6 % 0,6 α 9, ) Um wie viel Meter steigt der Berg ei einer horizontalen Länge von,0 km? y tan α,0 km 0,6 0,6 km Ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein achsensymmetrisches Trapez ist, hat die Maße a 8, cm, 6, cm, c, cm, h Trapez 5,8 cm und h, cm. Berechne das Volumen und den Oerflächeninhalt. Grundfläche: G (a + c) htrapez G (8, cm +, cm) 5,8 cm 6,5 cm Inhalt der Mantelfläche: M r π h Oerflächeninhalt: O r π + r π h r π (r + h) Für eine Pyramide und einen Kegel mit der Grundfläche G, der Mantelfläche M und der Höhe h gilt: Oerflächeninhalt: V G h O G + M Speziell für einen Kegel mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h gilt: V r π h Inhalt der Mantelfläche: M r s π Oerflächeninhalt: O r π + r s π (r + s) r π h S h r s S s M G r π V G h 6,5 cm, cm cm Oerflächeninhalt: M (a + + c) h M (8, cm + 6, cm +, cm), cm 0,5 cm O G + M 6,5 cm + 0,5 cm 5,5 cm Berechne das Volumen, den Oerflächeninhalt und den Neigungswinkel der Mantellinie eines Kegels mit dem Radius r 8 cm und der Höhe h 6 cm. V r π h (8 cm) π 6 cm 0 cm Oerflächeninhalt: s + h (8cm) (6cm) 0 cm r + O r π + r s π ((8 cm) + 8 cm 0 cm) π 5 cm Neigungswinkel: tan α h 6cm 0,5 α r 8cm α Seite 6 von 6

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