Grundwissen 9. Klasse

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1 Grundwissen 9. Klasse ) Rationale und irrationale Zahlen Quadratwurzel b ist diejenige nichtnegative Zahl, die quadriert b ergibt: b b ( 5 ) 5 Die Zahl b heißt Radikand; b 0 : es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl! Unterscheide dazu: Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl s 0 ist die nichtnegative Lösung der Gleichung x = s => s x, Die Menge R der reellen Zahlen besteht aus - den rationalen Zahlen und - den irrationalen Zahlen Umgang mit den Wurzeltermen: x y x y mit x, y 0 x x mit x 0 und y 0 y y 9 aber: 5 nicht definiert! s = 5 s = 5 = 5 oder s =- 5 = - 5 L = {-5; 5} - sie lassen als endliche und unendliche periodische Dezimalzahlen darstellen; alle rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen! - sie sind die unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen; Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar Radizieren von Wurzeltermen: Wenn sich der Radikand so faktorisieren lässt, dass ein Faktor quadratisch ist, dann kann die Wurzel teilweise radiziert werden Achtung: Binomische Formel!! x 4xy y ( x y) x y ABER: Nie aus einer Summe/Differenz radizieren Rationalmachen des Nenners: Durch geeignetes Erweitern können Wurzeln aus dem Nenner beseitigt werden. ABER: 9x 6 : hier ist keine Vereinfachung möglich 5 5 ( 5 ) x y 5 5 x y x y x y x x y y

2 ) Satzgruppe des Pythagoras Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat a +b = c (a, b: Katheten, c: Hypothenuse) In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten LE bzw. 4 LE lang; wie lang ist die Hypothenuse? + 4 = c => c = 5 LE In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse 5 LE und eine Kathete LE; berechne die fehlende Kathete: 5 = + b b = 5 - => b = => b = LE Kathetensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat einer Kathetenlänge gleich dem Produkt aus der Hypotenusenlänge und der Länge des anliegenden Hypotenusenabschnitts. a = c p b = c q In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a ist 6 LE lang; der Hyothenusenabschnitt p ist LE; berechne die Länge der Hypothenuse? 6 = c c = 8 LE Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenusenhöhe gleich dem Produkt aus der Länge der beiden Hypotenusenabschnitte. h = p q Berechne den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe seiner Hypothenusenabschnitte p = cm und q = 6 cm! c = p+q => c = 8 cm h = p q h= 6 cm h = cm A = 0,5 c h A = 0,5 8cm cm A = 8 cm

3 ) Geometrische Körper Prisma Bei einem geraden n-seitigen Prisma sind die Grund- und Deckfläche kongruent, die Seitenflächen dazu sind senkrechte Rechtecke. Mantelfläche: M P = u n h (u n : Umfang des n- Ecks; h: Höhe des Prismas) O P = G P M P Ein reguläres Prisma hat als Grundfläche ein reguläres 6-Eck mit der Seitenlänge a. Die Höhe der Vase ist h; berechne die Oberfläche dieses Prismas: G P = 6 A Dreieck a G P = 6 4,5 a M P = a h O P =,5 O P = a a 6 a h 6 a h Zylinder: Ein Zylinder ist ein gerades Prisma, deren Grund- und Deckfläche ein Kreis ist. M Z = r π h r π r h O Z Rotationskörper: Ein Zylinder entsteht, wenn ein Rechteck um eine Seitenkante rotiert! Ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 5cm und b = 4 cm rotiert um die Seite a. Berechne die Oberfläche des entstandenen Zylinders. O Z = 4 π 4 5 cm O Z = 7 π cm = 6, cm Pyramide: Die Grundfläche der Pyramide ist ein n-eck und die Seitenflächen sind Dreiecke mit alle die Spitze der Pyramide gemeinsam haben. Die Dreiecke bilden zusammen die Mantelfläche, der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt Höhe. Nur bei einer geraden Pyramide sind die Seitenkanten alle gleich lang. O Py = G Py + M Py Hinweis: Mit Hilfe von Stützdreiecken kann man Längen berechnen (siehe ) Pythagoras) Eine Pyramide ABCDS hat ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a = 5 cm als Grundfläche; die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M des Quadrats. Die Höhe der Pyramide h p = 6 cm. Berechne die Länge der Seitenkante s der Pyramide und die Oberfläche!. Diagonalenlänge d der Grundfläche ABCD berechnen: d = 5+5 => d = 5 cm. Im Dreieck AMS kann die Seitenkante s berechnet werden: s = (0,5d) + h p => s = 0,5 94 cm

4 . Höhe h a eines Seitendreiecks (z.b. ABS) berechnen: a h a = s h a = 6,5 cm 4. Seitenfläche des Dreiecks ABS: A = 0,5 6,5cm 5cm A = 6,5 cm 5. Oberfläche der Pyramide: O= 5 cm + 4 6,5cm O= 90 cm (Gerader) Kreiskegel: Er entsteht durch die Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten. Mantellinie: m = r h Mantelfläche: sie entsteht, wenn ein gerader Kegel in die Ebene abgerollt wird. M K = π r m O K = π r r π m πr r m Ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypothenuse c = 5 cm, rotiert um die Kathete a = cm. Berechne die Mantellinie m, sowie die Oberfläche des Kegels:. Radius ist die zweite Kathete b: b = b = c a b = 4 cm 5. Mantellinie m: m = c = Hyphothenuse. Mantelfläche: M K = π r m M K = π 4cm5cm= 0 π cm 4. Oberfläche des Kegels: π 4cm5cm O K = 4 cm O K =6 π cm =, cm

5 4) Quadratische Funktionen Normalparabel: f(x) = x mit S(0 0) als Scheitelpunkt Normalform: f(x) = ax +bx + c Von der Normalform zur Scheitelform gelangt man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Scheitelform: f(x) = a(x - x S ) +y s a: Öffnungsfaktor a > 0 nach oben geöffnet a < 0 nach unten geöffnet Scheitel (x S y S ) Von der Scheitelform zur Normalform gelangt mit durch Ausmultiplizieren. f(x) = x + 4 x + 6 f(x) = (x +x + ) f(x) = (x + x + - +) f(x) = [(x+) +] f(x)= (x+) +4 => S(- 4) g(x) = (x+) -9 g(x) = (x + 6x+9)-9 g(x) =x + 8x + 6 Faktorisierte Form/Nullstellenform: f(x) = a(x-x ) (x-x ) wobei x und x die Nullstellen der Parabel sind. Eine Parabel mit dem Öffnungsfaktor - habe die Nullstellen -4 und -0,5; gib die Gleichung der Parabel an: f(x) = - (x+4)(x+0,5) Binomische Formeln:. Binom (Plusformel): (a+b) = a +ab + b. Binom (Minusformel) (a-b) = a - ab + b. Binom (Plus-Minus-Formel) (a+b)(a-b) = a -b (x+) = x + 6x + 9 (0,5y - 9) = 0,5 y - 9y + 8 (x+)(x-) = x - 9 Lösen von quadratischen Gleichungen: Jede Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form 0 = ax +bx +c bringen lässt, heißt quadratische Gleichung. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen der Parabel ax +bx + c; dabei werden die folgenden Fälle unterschieden: I. es gibt keine Nullstelle II. es gibt genau eine Nullstelle III. es gibt zwei Nullstellen. Der Graph der Funktion f(x) = ax +bx +c ist eine Parabel. Anschauliche Lösung I. Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-achse bzw. die Parabel ist nach unten geöffnet und S liegt unterhalb der x-achse II. Der Scheitelpunkt liegt auf der x-achse S(x 0) III. Die Parabel ist nach oben geöffnet und S liegt unterhalb der x-achse bzw. die Parabel ist nach

6 unten geöffnet und S liegt oberhalb der x-achse. Rechnerische Lösung a) reinquadratische Gleichungen: y = ax + c b) gemischtquadratische Gleichungen: 0 = ax + bx + c I. Möglichkeit: Quadratische Ergänzung II. Möglichkeit: Mitternachtsformel b b 4ac x, a wobei D = b -4ac die Diskriminante ist. a) 0 = x - => x = => x = und x =- b) x + x + = 0 4 x, x, 4 x = - und x = -0,5 Falls die Diskriminante D > 0, hat die Gleichung zwei Lösungen Falls D = 0, gibt es genau eine Lösung Falls D < 0, gibt es keine Lösung Geometrische Interpretation: Die Parabel schneidet genau zwei Mal die x-achse Der Scheitelpunkt liegt auf der x-achse (eine doppelte Nullstelle). Die Parabel schneidet nicht die x-achse. Alternative: Quadratische Ergänzung! c) Konstanter Faktor fehlt: Faktorisieren um die Nullstellen abzulesen 0 = ax + bx c) 0= x + 4x 0= x(x+) => x =0 und x = - 5) Zusammengesetze Zufallsexperimente Baumdiagramme und Pfadregeln:. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ereignis führt.. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ereignis gehören. Knotenregel: Alle Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen ergibt in der Summe immer. Beispiel: In einer Urne befinden sich 0 Kugeln, von denen 6 schwarz und 4 weiß sind. Es wird - mal mit zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei gleichfarbige Kugeln gezogen wurden? 0,6 0,4 s w 0,6 0,4 0,6 0,4 s w s w P({ss; ww}) = 0,6 + 0,4 =0,5 = 5%

7 6) Trigonometrie Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Bezeichnung: Die dem spitzen Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenkathete, die am spitzen Winkel anliegende Seite ist die Ankathete. Ankathete cos α Hypotenuse Gegenkathete sin α Hypotenuse Gegenkathete tan α Ankathete oder Für alle Winkel sinα tan α cosα α mit 0 α90 gilt: Trigonometrischer Pythagoras: cosα sinα In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypothenusenlänge c = 5 cm ist die Kathete a = cm lang. Berechne die fehlende Seite b sowie alle Innenwinkel des Dreiecks ABC! b= c a 5 9 4cm cos α oder sin α b 4cm 0,8 α 6, 9 c 5cm a cm 0,6 α 6, 9 c 5cm γ 90 β ,9 5, Vereinfache den folgenden Rechenausdruck: sinα sinα cos α sinα sinα cos α sinα sinα Komplementbezeichnungen: sin = cos (90 - ) cos = sin (90 - ) sin 60 = cos (90-60 ) = cos 0 cos 50 = sin (90-50 ) = sin sin 0 cos 0 tan 0 n.d.

8 7) Volumen von Prisma und Zylinder Volumen von Prisma und Zylinder: V Prisma = V Zylinder = G P h G Z h = π r h Volumen von Pyramide und Kegel: V Pyramide = V Kegel = G Py h GK h = r π h Ein Zylinder mit dem Radius,0 cm hat ein Volumen von 0 cm ; berechne die Höhe des Zylinders. V Zylinder = h = V π r G Z h = π r h 0cm π cm,cm Ein gerader Kreiskegel hat einen Radius r von 5 dm und eine Höhe von 7 dm. Berechne sein Volumen. V = r π h 5 dm π7dm 58 π dm V = 8) Quadratische Funktionen und ihre Anwendungen/Erweiterung des Potenzbegriffs Schnittpunkte von Graphen Berechne den Schnittpunkt der Geraden g: y = x+ und der Parabel p: y = -x +x+ Algebraische Lösung - Funktionsterme zweier Graphen werden gleichgesetzt - Auflösen nach x (Achtung x ε D) - Schnittpunkte: hier ist die dazu passende y- Koordinaten noch zu berechnen. Terme gleichsetzen: -x +x+ = x+. Alles auf eine Seite - Nullstellen berechnen 0 = x - = x x, =. Schnittpunkte angeben: y = = => S ( ) y = ( ) = 0 => S (- 0) Graphische Lösung: Die Graphen beider Funktionen sind in ein Koordinatensystem zu zeichnen und die Schnittpunkte können abgelesen werden. Beide Graphen in ein Koordinatensystem einzeichnen und Schnittpunkt ablesen!

9 Extremwertprobleme: Typische Fragestellungen: "für welche Belegung von x wird die Fläche maximal?" oder "für welches x ist der Abstand am kleinsten?"... ist der Term eine quadratische Funktion, ist bei diesen Aufgaben stets der Scheitelpunkt gefragt! Potenzen mit rationalen Exponenten: Unter der n-ten Wurzel (nεn) versteht man diejenige nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. x n = a => x = n a Löse die folgende Gleichung: x = 8 x = 8 Schreibweise: n a a n Potenzgesetze: () - (): Gleiche Basis () a () a x x a y : a y a xy a x xy () a y a xy () () 8 : = 8- = 5 () ( 4 ) 5 = 4 5 = 0 (4) und (5) gleicher Exponent: (4) x x x (5) a a x b : b x ab a b n m x m n Anmerkung: a a für alle a 0 (4) 4 4 ( ) (5) : =

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