Die Knickfestigkeit von Stäben und Stabwerken

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1 Die Knickfestigkeit von Stäben und Stabwerken Von Prof. Dr. Ing. Julius Ratzersdorier Mit 151 Abbildungen im Text Springer-Verlag Wien GmbH 1936

2 ISBN ISBN (ebook) DOI / Alle Recht,e, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen. vorbehalten Copyright 1936 by Springer-Verlag Wien Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Vienna 1936.

3 Vorwort. Das fundamentale Problem der elastischen Stabilität ist die Bestimmung der Knickfestigkeit des geraden Stabes mit konstantem Querschnitt. Die Lösung dieser Aufgabe wurde schon im Jahre 1744, lange bevor es eine vollständige Elastizitätstheorie gab,,durch EULER geleistet, der den kritischen Wert der Last feststellte und auch das Verhalten des Stabes bei Überschreiten dieser Last untersuchte. Die technische Literatur übernahm, in Einklang mit dem praktischen Bedürfnis, hiervon nur die Stabilitätsgrenze, die als EULERsche Knickformel bezeichnet wurde. Zur Klarlegung des Problems sind aber genauere Berechnungen unerläßlich, und ich habe mich im ersten Abschnitt mit diesen Fragen ausführlich beschäftigt. Auch auf Knickversuche mußte hier eingegangen werden. Im Bereich der Gültigkeit des HooKEschen Gesetzes dient das Experiment als eine wertvolle Kontrolle; außerhalb dieses Gebietes wird eine theoretische Formel nur unter gewissen Annahmen mit Hilfe der Arbeitslinie des Materials gewonnen und Versuche sind eine wesentliche Grundlage der praktischen Berechnung. Im zweiten Abschnitt untersuche ich axial gedrückte Stäbe mit gleichzeitiger Biegebeanspruchung, d. h. vom Standpunkt der Analysis aus gesehen, Belastungsfälle, die ein nichthomogenes Randwertproblem bilden. Bei vollständiger Elastizität liegen Spannungsaufgaben vor, aber mit wenigen Einschränkungen lassen sich hier wieder die maßgebenden Knicklasten in einfacher Weise auffinden. Für Stäbe aus einem Material, das nicht unbeschränkt dem HooKEschen Gesetz folgt, wird die Verformung und die kritische Traglast auf Grund einer für Axialkräfte modifizierten Biegetheorie unter Heranziehen der Arbeitslinie des Baustoffes bestimmt. Der dritt~ Abschnitt behandelt die Knickfestigkeit von Stäben mit stetig veränderlichem Querschnitt und stetig veränderlicher Kraftwirkung. Die exakten Knicklasten sind durch Lösung der Differentialgleichung der elastischen Linie hergeleitet; angenäherte Resultate werden mit sukzessiven Approximationen oder mit einem Verfahren aus der Integralgleichung des Problems ermittelt. Bei der Berechnung der Knicklast von kontinuierlich gelagerten Stäben wird im vierten Abschnitt von der in der Literatur üblichen Annahme ausgegangen, daß zwischen Bettungsdruck und Ausbiegung ein linearer Zusammenhang besteht. Ferner wird der Weg gezeigt, wie man auch einer strengeren Formulierung näherungsweise entsprechen kann.

4 IV Vorwort. Der umfangreiche fünfte Abschnitt enthält Untersuchungen über die Knickfestigkeit von idealen Fachwerken, von Fachwerkgitterträgern mit biegesteifen Gurten und von Rahmentragwerken. Auch der Gleichgewichtszustand eines Fachwerkes mit reibungslosen Gelenken kann instabil werden, und zwar unter besonders leicht realisierbaren und in der Technik oft realisierten Umständen. Dieser reinen Fachwerkknickung, bei der nur Längenänderungen der Stäbe in Betracht gezogen werden, ist die reine Rahmenknickung gegenübergestellt, bei der die einzelnen Stäbe biegesteif, aber keiner Dehnung fähig sind. Die Zusammenfassung beider Ansätze ergibt eine vollständige Theorie der Stabwerkknickung, die für jedes ebene Stabwerk mit steifen oder gelenkigen Knoten anwendbar ist. Nach einem Absatz über räumliche Systeme werden noch einige weitere Fragen der Stabilitätstheorie erörtert, die mit unseren Problemen in Verbindung stehen. Der sechste Abschnitt behandelt die Knickfestigkeit durchlaufender gerader Stäbe und das Problem der nsteifigkeit der Druckgurte offener Brücken. Diese Aufgaben, die im allgemeinen nach der Theorie der reinen Rahmenknickung vom fünften Abschnitt zu berechnen sind, habe ich wegen der vielseitigen Verwendung gesondert untersucht. Im letzten Abschnitt wird anhangsweise die Knickbedingung von Bogenträgern mit Kreis- und Parabelform bei unveränderlichem Querschnitt bestimmt. Die ausführliche Behandlung hätte die verschiedenartigen Fragen der früheren Abschnitte nochmals neu anzuschneiden. Hiermit sind Stabilitätsprobleme dargestellt, die in der praktischen Baustatik eine wichtige Rolle spielen. Eine Vollständigkeit ließ sich natürlich nicht in dem Sinne erreichen, daß die angeführten Beispiele jedem möglichen Fall unmittelbar gerecht werden. Die gegebenen Unterlagen gestatten jedoch, alle bei Stäben und Stabwerken auftretenden Knickprobleme ohne grundsätzliche Schwierigkeit zwangläufig zu erledigen. Mein verehrter Freund, Herr Professor Dr. Dr. h. c. R. von MISES in Istanbul hat durch sein andauerndes Interesse meine Arbeit weitgehend gefördert. :Für die freundliche Unterstützung danke ich ihm auch an dieser Stelle aufs beste. Wien, im Juni J. Ratzersdorfer.

5 Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt. Die Knickfestigkeit des geraden Stabes mit konstantem Querschnitt. I. Der an einem Ende eingespannte, am anderen Ende freie Stab: Der EULERsche Grundfall I I. Bestimmung des kritischen Wertes der Last Eine zweite Näherung. Die Ausbiegung des Stabendes Die genauere Behandlung des Problems. Aufstellen der Gleichungen Der Zusammenhang zwischen Druckkraft und Ausbieglmg des Stabendes. Die Form der Elastica Berücksichtigen der Zusammendrückung des Stabes Die Stabilität der Gleichgewichtslagen Der gerade Stab bei verschiedenen Randbedingungen Die weiteren EULERschen Knickfälle Der elastisch gestützte Stab Der in Schneiden gelagerte Stab Der gerade Stab unter verschiedenen Belastungen Das Knicken unter Temperaturspannungen Der durch zwei zentrische Kräfte beanspruchte Stab Der durch eine zentrische Kraft und ein Drillingsmoment beanspruchte Stab Weitere Untersuchungen Überlegungen zur BERNOULLI-EuLERschen Biegegleichung Vorläufige Bemerkungen zum KIRcHHoFFsehen Satz über die "Eindeutigkeit des elastischen Gleichgewichtes" Der Stab aus einem Material, das nicht unbeschränkt dem HOOKEsehen Gesetz folgt Aufstellen der Biegetheorie Bestimmung des kritischen Wertes der Last. Der Knickmodul Die Ausbiegung des freien Endes für den an einem Ende eingespannten Stab Versuche und empirische Formeln. Empirische Bestimmung des Knickmoduls. Der Sicherheitsgrad Versuche und empirische Formeln Empirische Bestimmung des Knickmoduls. Folgerungen Der Sicherheitsgrad

6 VI Inhaltsverzeichnis. Zweiter Abschnitt. Axial gedrückte Stäbe bei gleichzeitiger Biegebeanspruchung. 7. Der exzentrisch gedrückte, an einem Ende eingespannte, am anderen Ende freie Stab Die Näherungstheorie Eine zweite Näherung für die Ausbiegung des Stabendes Die genauere Berechnung für die Ausbiegung des Stabendes Der axial belastete, gelenkig gelagerte Stab mit einer Einzellast in der Mitte senkrecht zur Stabachse Die Näherungstheorie Eine zweite Näherung für die Ausbiegung der Stabmitte Die genauere Berechnung der Ausbiegung in der Stabmitte Der exzentrisch gedrückte, sehr schwach gebogene Stab mit drehbar gelagerten Enden Die Näherungstheorie Eine zweite Näherung für die Ausbiegung der Stabmitte. Versuche des Deutschen Stahlbauverbandes... _ Über die Berechnung der Knicklast beim Stab mit Störungen Der querbelastete zentrisch gedrückte Stab Der exzentrisch gedrückte Stab Der exzentrisch gedrückte gerade Stab, wenn das HooKEsche Gesetz nicht unbeschränkt gilt Die Ausbiegung des freien Endes für den exzentrisch gedrückten, an einem Ende eingespannten Stab Rechnungsverfahren für Stäbe aus Konstruktionsstahl. Versuche Dritter Abschnitt. Die Knickfestigkeit des geraden Stabes mit stetig veränderlichem Querschnitt und stetig veränderlicher Druckkraft. 12. Berechnung aus der Differentialgleichung der elastischen Linie Die Querschnittsträgheitsmomente des Stabes ändern sich stetig nach gegebenen Gesetzen; die Druckkraft ist konstant Fortsetzung von Pkt. 33: Praktische Aufgaben Ein weiteres Beispiel Der günstigste Querschnittsverlauf Die Druckkraft ändert sich nach einem Potenzgesetz; der Querschnitt ist konstant Weitere Beispiele Die Querschnittsträgheitsmomente und die Druckkraft ändern sich nach Potenzgesetzen Schlußbetrachtung Eine Näherungsberechnung aus der Integralgleichung des Problems Die Integralgleichung des Problems Die Lösung nach dem Verfahren von RITZ-TIMOSHENKO Beispiele

7 Inhaltsverzeichnis. VII 14. Das Verfahren der Näherungsfolgen Grundlagen des Verfahrens Beispiele Vierter Abschnitt. Die Stabilität des geraden Stabes bei kontinuierlicher Lag erung. 15. Der an den Enden freie, auf Druck beanspruchte Stab mit kon stantem Querschnitt Die Differentialgleichung des Problems und ihr Integral Die Knickgleichung für den an den Enden freien Stab mit konstantem Querschnitt Diskussion der Knickgleichungen Der Stab mit konstantem Querschnitt unter anderen Randbedingungen Die Enden des Stabes sind gelenkig festgehalten '" Die Enden des Stabes sind eingespannt Der teilweise elastisch gestützte Stab Ergänzende Untersuchungen Stabquerschnitt und Längskraft sind stetig veränderlich Zur nsteifigkeit der Druckgurte offener Brücken Über den Zusammenhang zwischen Pressung und Einsenkung. 160 Fünfter Abschnitt. Die Knickfestigkeit von Stabwerken. 18. Die reine Fachwerkknickung Die Knickgleichung bei ebenen oder räumlichen Fachwerken Begriff der Stabilität und Bedeutung der Knickgleichung Kriterien für die Stabilität Das einfachste ebene Fachwerk Das einfachste räumliche Fachwerk Ein statisch unbestimmtes ebenes System Ein statisch bestimmter ebener Fachwerkträger Der statisch bestimmte Fachwerkgitterträger. Aufstellen der Gleichungen Fortsetzung von Pkt. 62: Diskussion der Differenzengleichung Die reine Rahmenknickung ebener Systeme Die Hauptgleichungen des ebenen Problems Die reine Rahmenknickung ebener Systeme. Allgemeiner Ansatz Ein wichtiger Sonderfall: Der Polygonrahmen Der regelmäßige Ring mit radialer Belastung Der Rechtwinkelrahmen Der Rahmenstab (Vierendeelträger, Stockwerkrahmen) Die allgemeine Stabwerkknickung ebener Systeme Allgemeine Ansätze Bedeutung der Knickgleichung

8 VIII Inhaltsverzeichnis. 21. Der Rahmenstab. Ein Beispiel zur allgemeinen Stabwrrkknickung ebener Systeme Der Rahmenstab. Aufstellen der Gleichungen Fortsetzung von Pkt. 72: Diskussion der Differenzengleiehung Rechmmgsvorgang und Versuehe Über den Querverband und seine Ansehlüsse Statisch unbestimmte Gitterträger. Beispiele zur allgemeinen Stab werkknicklmg ebener Systeme Der Gitterträger mit biegesteifen Gurten und gelenkig ein gehängten Diagonalstäben. Aufstellen der Gleiehungen Fortsetzung von Pkt. 76: Diskussion von Sonderfällen Der Gitterträger mit biegesteifen Gurten und gelenkig ein gehängten Diagonal. und Querstäben. Aufstellen der Glei chungen Fortsetzung von Pkt. 78: Diskussion von Sonderfällen Rechmmgsvorgang. Schlußbemerkung Probleme der Stabwerkknickung räumlicher Systeme Ansätze, wenn keine Torsionsbeanspruchung der Stäbe vor handen ist Beispiele zum räumlichen Ausknicken Ein räumliches Tragwerk: Der Gittermast Weitere Fragen der Stabilitätstheorie Exzentrische Belastung, Anfangsbiegung Bemerkungen zum KIRCHHoFFschen Eindeutigkeitssatz Spannkraftermittlung boi Fachwerkträgern unter Berücksichti gen der Formänderung Ein besonderer Fall mit Anfangsbiegung Sechster Abschnitt. Die Knickfestigkeit des durchlaufenden geraden Stabes und das Problem der nsteifigkeit. 25. Der durchlaufende gerade Stab; die Längskräfte haben stets die Richtung der unverformten Stabachse Formulierung des Pro bioms. Grundlagen aus der Biegetheorie Die Knickgleichung für den durchlaufenden Stab. Die n steifigkeit der Druckgurte offener Brücken Ein Satz über die Knickdeterminante Der durchlaufende gerade Stab; die Längskräfte haben die Rich tung der Tangente an die Biegelinie Aufstellen der Knickgleichung Eine Umformung der Gleichungen Anwendungen und weitere Untersuchungen Der symmetrisch ausgebildete, gelenkig gelagerte Stab mit drei Feldern Der Stab mit zwei Öffnungen und der symmetrische Stab mit drei Öffnungen bei festen Stützen

9 Inhaltsverzeichnis. IX 95. Der Stab mit beliebig vielen einfelderigen Öffnungen auf festen Stützen Der Stab von gleichen Öffnungen mit festen Enden, konstanter Druckkraft bei gleichartiger elastischer Stützung Fortsetzung von Pkt.96: Zur nsteifigkeit der Druckgurte offener Brücken. Ergänzende Untersuchungen... " Die nsteifigkeit eines ebenen Polygonrahmens Zusatz. Über die Ausbiegung der Querrahmen von Brücken Ein abwechselnd in zwei verschiedenen Ebenen gestützter Stab 301 Siebenter Abschnitt. Die Stabilität von Bogenträgern in ihrer Ebene. 28. Die Stabilität des Kreisbogens unter gleichmäßigem äußeren Druck Der gleichmäßige äußere Druck bleibt normal zur verzerrten Mittellinie. Die Differentialgleichung des Problems und ihre Lösung Fortsetzung von Pkt. 101: Der Kreisbogen unter verschiedenen Randbedingungen Zusatz. Der gleichmäßige äußere Druck ist stets zum Mittelpunkt des Kreisbogens gerichtet Die Stabilität des flachen Parabelbogens bei gleichmäßig verteilter Belastung Der flache Parabelbogen bei gleichmäßig verteilter senkrechter Belastung. Die Differentialgleichung des Problems und ihre Lösung Fortsetzung von Pkt.l04: Der Parabelbogen unter verschiedenen Randbedingungen Anhang. Tabelle