7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x)

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1 7. Hypothesentests Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang X habe die unbekannte VF F X (x) Interessieren uns für einen unbekannten Parameter θ der Verteilung von X 350

2 Bisher: Versuch, unbekannten Parameter θ mit einer Stichprobe X 1,..., X n zu schätzen (Punktschätzung, Intervallschätzung) Jetzt: Testen von Hypothesen über unbekanntes θ anhand einer Stichprobe X 1,..., X n Man beachte: Testprobleme spielen in der empirischen Wirtschaftsforschung eine zentrale Rolle 351

3 Beispiel 1: In einer Studentenkneipe sollen geeichte Biergläser im Ausschank 0.4 Liter Bier enthalten. Wir haben die Vermutung, dass der Wirt häufig zu wenig ausschenkt. X repräsentiere den Zufallsvorgang Füllen eines 0.4-Liter Bierglases durch den Wirt Es bezeichne θ = E(X) die erwartete Füllmenge eines Glases Durch eine Stichprobe X 1,..., X n soll getestet werden θ = 0.4 gegen θ <

4 Beispiel 2: Wir wissen aus der Vergangenheit, dass das Risiko einer Aktie (die Standardabweichung der Aktienrenditen) bei 25 % lag. Im Unternehmen wird nun das Management ausgetauscht. Verändert sich dadurch das Risiko der Aktie? X sei die Aktienrendite θ = σ(x) sei die Standardabweichung der Renditen Durch eine Stichprobe X 1,..., X n soll getestet werden θ = 0.25 gegen θ

5 7.1 Grundbegriffe des Testens Definition 7.1: (Parametertest) Es sei X eine Zufallsvariable und θ ein unbekannter Parameter der Verteilung von X. Ein Parametertest ist ein statistisches Verfahren, mit dem eine Hypothese über den unbekannten Parameter θ anhand einer einfachen Zufallsstichprobe X 1,..., X n aus X überprüft wird. Formulierung eines statistischen Testproblems: [I] Es sei Θ die Menge aller möglichen Parameterwerte (d.h. θ Θ) Es sei Θ 0 Θ eine Teilmenge der Parametermenge 354

6 Formulierung eines statistischen Testproblems: [II] Betrachte folgende Aussagen: H 0 : θ Θ 0 gegen H 1 : θ Θ/Θ 0 = Θ 1 H 0 heißt Nullhypothese, H 1 Gegenhypothese oder Alternative Wichtig: Bei der Formulierung eines Testproblems müssen sich Nullhypothese und Alternative gegenseitig ausschließen 355

7 Arten von Hypothesen: Sind Θ 0 = 1 (d.h. Θ 0 = {θ 0 }) und H 0 : θ = θ 0, so nennt man H 0 einfach Andernfalls bezeichnet man H 0 als zusammengesetzt Analoge Bezeichnungen gelten für H 1 356

8 Arten von Testproblemen: Es sei θ 0 Θ eine feste reelle Zahl. Dann heißt H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 zweiseitiges Testproblem Die Testprobleme H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 bzw. H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 heißen einseitig (rechts- bzw. linksseitig) 357

9 Jetzt: Betrachte das allgemeine Testproblem H 0 : θ Θ 0 gegen H 1 : θ Θ 1 = Θ/Θ 0 Allgemeine Vorgehensweise: Entscheide anhand einer Stichprobe X 1,..., X n aus X, ob H 0 zugunsten von H 1 abgelehnt wird oder nicht 358

10 Explizites Vorgehen: Wähle geeignete Teststatistik T (X 1,..., X n ) und bestimme einen geeigneten kritischen Bereich K R Testentscheidung: T (X 1,..., X n ) K = H 0 wird abgelehnt T (X 1,..., X n ) / K = H 0 wird nicht abgelehnt Man beachte: T (X 1,..., X n ) ist eine ZV (Stichprobenfunktion) Die Testentscheidung ist zufällig Fehlentscheidungen sind möglich 359

11 Mögliche Fehlentscheidungen: Testergebnis Realität H 0 ablehnen H 0 nicht ablehnen H 0 richtig Fehler 1. Art kein Fehler H 0 falsch kein Fehler Fehler 2. Art Fazit: Fehler 1. Art: Test lehnt H 0 ab, obwohl H 0 richtig Fehler 2. Art: Test lehnt H 0 nicht ab, obwohl H 0 falsch 360

12 Wann treten die Fehlentscheidungen auf? Der Fehler 1. Art tritt auf, falls T (X 1,..., X n ) K, obwohl für den wahren Parameter gilt θ Θ 0 Der Fehler 2. Art tritt auf, falls T (X 1,..., X n ) / K, obwohl für den wahren Parameter gilt θ Θ 1 361

13 Frage: Wann besitzt ein statistischer Test für das Problem H 0 : θ Θ 0 gegen H 1 : θ Θ 1 = Θ/Θ 0 gute Eigenschaften? Intuitive Vorstellung: Test ist gut, wenn er möglichst geringe Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art aufweist Jetzt: Formales Instrument zur Messung der Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art 362

14 Definition 7.2: (Gütefunktion eines Tests) Man betrachte einen statistischen Test für das obige Testproblem mit der Teststatistik T (X 1,..., X n ) und einem geeignet gewählten kritischen Bereich K. Unter der Gütefunktion des Tests versteht man die Funktion G, die, in Abhängigkeit des wahren Parameters θ Θ, die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass der Test H 0 ablehnt: mit G : Θ [0, 1] G(θ) = P (T (X 1,..., X n ) K). 363

15 Bemerkung: Mit der Gütefunktion sind die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler 1. Art gegeben durch G(θ) für alle θ Θ 0 sowie für den Fehler 2. Art durch 1 G(θ) für alle θ Θ 1 Intuitive Vorstellung eines idealen Tests: Ein Test ist ideal, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art stets (konstant) gleich Null sind Test trifft mit Wskt. 1 die richtige Entscheidung 364

16 Beispiel: Es sei θ 0 Θ. Betrachte das Testproblem H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 Gütefunktion eines idealen Tests 365

17 Leider: Es kann mathematisch gezeigt werden, dass ein solcher idealer Test im allgemeinen nicht existiert Praktische Vorgehnsweise: [I] Betrachte für eine geeignete Teststatistik T (X 1,..., X n ) die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art α = max θ Θ 0 {P (T (X 1,..., X n ) K)} = max θ Θ 0 {G(θ)} Lege den kritischen Bereich K dann so fest, dass α einen vorgegebenen kleinen Wert animmt 366

18 Praktische Vorgehnsweise: [II] Alle Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art sind dann durch α begrenzt (d.h. kleiner oder gleich α) Häufig benutzte α-werte sind α = 0.01, α = 0.05, α = 0.1 Definition 7.3: (Signifikanzniveau eines Tests) Man betrachte einen statistischen Test für das Testproblem auf Folie 358 mit der Teststatistik T (X 1,..., X n ) und einem geeignet gewählten kritischen Bereich K. Dann bezeichnet man die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art α = max θ Θ 0 {P (T (X 1,..., X n ) K)} = max θ Θ 0 {G(θ)} als das Signifikanzniveau des Tests. 367

19 Konsequenzen dieser Testkonstruktion: [I] Die Wskt., H 0 aufgrund des Tests abzulehmen, obwohl H 0 richtig ist (d.h. die Wskt. für den Fehler 1. Art) ist höchstens α (mit α = 0.01, 0.05, 0.1) Wird H 0 aufgrund einer Testrealisation abgelehnt, so kann man ziemlich sicher davon ausgehen, dass H 0 tatsächlich falsch ist (Man sagt auch: H 1 ist statistisch gesichert) 368

20 Konsequenzen dieser Testkonstruktion: [II] Die Wskt. für den Fehler 2. Art (d.h. H 0 nicht abzulehnen, obwohl H 0 falsch ist), kann man dagegen nicht kontrollieren Wird H 0 aufgrund einer Testrealisation nicht abgelehnt, so hat man keinerlei Wahrscheinlichkeitsaussage über eine mögliche Fehlentscheidung (Nichtablehung von H 0 heißt nur: Die Daten sind nicht unvereinbar mit H 0 ) Wichtig deshalb: Es ist entscheidend, wie man H 0 und H 1 formuliert Das, was man zu zeigen hofft, formuliert man in H 1 (in der Hoffnung, H 0 anhand des konkreten Tests ablehnen zu können) 369

21 Beispiel: Betrachte Beispiel 1 auf Folie 352 Kann man anhand eines konkreten Tests H 0 verwerfen, so kann man ziemlich sicher sein, dass der Wirt in der Regel zu wenig ausschenkt Kann man H 0 nicht verwerfen, so kann man nichts explizites über die Ausschankgewohnheiten des Wirtes sagen. (Die Daten stehen lediglich nicht im Widerspruch zu H 0 ) 370

22 7.2 Tests für Erwartungswerte Situation: Der interessierende Zufallsvorgang X sei normalverteilt, d.h. X N(µ, σ 2 ), wobei µ unbekannt und σ 2 bekannt sein sollen (vgl. Konfindenzintervall 1, Folie 338) Betrachte für gegebenes µ 0 R das Testproblem: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0 371

23 Testkonstruktion: Suche eine geeignete Teststatistik T (X 1,..., X n ) Lege den kritischen Bereich K fest Geeignete Teststatistik lautet: T (X 1,..., X n ) = n X µ 0 σ Begründungen: T (X 1,..., X n ) misst im wesentlichen den Abstand zwischen dem unbekannten Parameter µ und dem Vergleichswert µ 0 Wenn H 0 gültig ist (d.h. falls µ = µ 0 ), dann gilt (vgl. Satz 5.5(b), Folie 310) T (X 1,..., X n ) N(0, 1) 372

24 N(0, 1)-Dichte der Teststatistik T (X 1,..., X n ) im Falle der Gültigkeit von H 0 N(0,1)-Dichte von T unter H 0 α / 2 α / 2 u α / 2 (= u 1 α / 2 ) 0 u 1 α / 2 373

25 Explizite Testregel: Lege das Signifikanzniveau α fest Wähle den kritischen Bereich als K = (, u 1 α/2 ) (u 1 α/2, + ) = {t R : t > u 1 α/2 } d.h. Lehne H 0 ab, falls T (X 1,..., X n ) K Lehne H 0 nicht ab, falls T (X 1,..., X n ) / K 374

26 Beispiel: [I] Es sei X N(µ, 4) das tatsächliche Gewicht (in Gramm) einer 200g-Tafel Schokolade (vgl. Beispiel auf Folie 342) Statistisches Testproblem H 0 : µ = 200 gegen H 1 : µ 200 Wert der Teststatistik: T (x 1,..., x n ) = n x µ 0 σ = =

27 Beispiel: [II] Für das Signifikanzniveau α = 0.05 gilt: u 1 α/2 = u = 1.96 Offensichtlich ist T (x 1,..., x n ) = / (, 1.96) (1.96, + ) = K Für α = 0.05 wird H 0 nicht abgelehnt (Daten sind nicht unvereinbar mit H 0 ) 376

28 Gütefunktion des Tests zum Signifikanzniveau α = n = 20 n = 1000 G(µ) n = µ Bemerkungen: Test wird mit zunehmendem n immer trennschärfer Der vorgestellte Test heißt zweiseitiger Gaußtest 377

29 Jetzt: 2 zweiseitige Tests für den Erwartungswert in der Situation X N(µ, σ 2 ), bei bekannter Varianz σ 2 (ohne Herleitung) 1. Rechtsseitiger Gaußtest: [I] (µ 0 R fest gegeben) H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 Teststatistik ist erneut T (X 1,..., X n ) = n X µ 0 σ 378

30 1. Rechtsseitiger Gaußtest: [II] Kritischer Bereich zum Signifikanzniveau α ist K = (u 1 α, + ) (u 1 α ist (1 α)-quantil der N(0, 1)-Verteilung) Lehne H 0 zum Signifikanzniveau α ab, falls T (X 1,..., X n ) > u 1 α 379

31 2. Linksseitiger Gaußtest: (µ 0 R fest gegeben) H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ < µ 0 Teststatistik ist wiederum T (X 1,..., X n ) = n X µ 0 σ Kritischer Bereich zum Signifikanzniveau α ist K = (, u 1 α ) ( u 1 α = u α ist α-quantil der N(0, 1)-Verteilung) Lehne H 0 zum Signifikanzniveau α ab, falls T (X 1,..., X n ) < u 1 α = u α 380

32 Beispiel: [I] Es sei X N(µ, 4) das tatsächliche Gewicht (in Gramm) einer 200g-Tafel Schokolade mit der konkreten Stichprobe von Folie 342 Statistisches Testproblem: H 0 : µ 198 gegen H 1 : µ > 198 Für die konkrete Stichprobe gilt T (x 1,..., x n ) = n x µ 0 σ = =

33 Beispiel: [II] Zum Signifikanzniveau α = 0.05 ergibt sich der kritische Bereich als K = (u 0.95, + ) = (1.6449, + ) Also folgt T (x 1,..., x n ) = > = u 0.95 Lehne H 0 zum Signifikanzniveau α = 0.05 ab 382

34 Jetzt: Tests für den Erwartungswert einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz, d.h. mit unbekannten µ und σ 2 X N(µ, σ 2 ) Betrachte für µ 0 R zunächst den 2-seitgen Test H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ = µ 0 383

35 Geeignete Teststatistik: T (X 1,..., X n ) = n 1 X µ 0 S Begründungen: T (X 1,..., X n ) schätzt im wesentlichen den Abstand zwischen unbekanntem µ und dem Vergleichswert µ 0 Wenn H 0 richtig ist (d.h. falls µ = µ 0 ), dann gilt (vgl. Satz 5.5(c), Folie 311) T (X 1,..., X n ) t(n 1) 384

36 Herleitung des kritischen Bereiches: Analoges Vorgehen wie beim zweiseitigen Gaußtest, nur mit t(n 1)- anstatt mit der N(0, 1)-Verteilung Kritischer Bereich ist K = (, t n 1,1 α/2 ) (t n 1,1 α/2, + ) = {t R : t > t n 1,1 α/2 } d.h. Lehne H 0 ab, falls T (X 1,..., X n ) K Lehne H 0 nicht ab, falls T (X 1,..., X n ) / K 385

37 Bemerkungen: [I] Dieser Test heißt zweiseitiger t-test Für den rechtsseitigen t-test H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 ergibt sich bei Benutzung der Teststatistik T (X 1,..., X n ) = n 1 X µ 0 S zum Signifikanzniveau α der kritische Bereich K = (t n 1,1 α, + ) 386

38 Bemerkungen: [II] Für den linksseitigen t-test H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ < µ 0 ergibt sich bei Benutzung der Teststatistik T (X 1,..., X n ) = n 1 X µ 0 S zum Signifikanzniveau α der kritische Bereich K = (, t n 1,1 α ) 387

39 Beispiel: Es sei X N(µ, σ 2 ) mit unbekannten µ und σ 2 Betrachte zweiseitigen t-test mit µ 0 = 6 z.n. α = 0.05 Einfache Stichprobe mit n = 8 Werten ergibt: Wert der Teststatistik: t = n 1 x µ 0 s = = Es gilt: t = > = t 7,0.975 Ablehnung von H 0 388

40 7.3 Tests für Varianzen Situation: Der interessierende Zufallsvorgang sei normalverteilt, d.h. X N(µ, σ 2 ), wobei sowohl µ als auch σ 2 unbekannt sein sollen Betrachte für geg. σ 2 0 R das zweiseitige Testproblem H 0 : σ 2 = σ 2 0 gegen H 1 : σ 2 = σ

41 Geeignete Teststatistik lautet: T (X 1,..., X n ) = n S2 σ 2 0 = n i=1 ( Xi X σ 0 ) 2 Begründungen: T (X 1,..., X n ) schätzt im wesentlichen das Verhältnis zwischen unbekannter Varianz σ 2 und dem Vergleichswert σ 2 0 Wenn H 0 gültig ist (d.h. falls σ 2 = σ0 2 ), dann gilt: (vgl. Satz 5.5(e), Folie 311) T (X 1,..., X n ) χ 2 (n 1) 390

42 χ 2 (3)-Dichte von T (X 1,..., X n ) bei Gültigkeit von H χ2-dichte von T unter H

43 Bezeichnung: Das p-quantil der χ 2 (ν)-verteilung wird in Mosler / Schmid mit χ 2 ν,p bezeichnet Kritischer Bereich ist K = [0, χ 2 n 1,α/2 ) (χ2 n 1,1 α/2, + ) d.h. Lehne H 0 ab, falls T < χ 2 n 1,α/2 oder T > χ2 n 1,1 α/2 Lehne H 0 nicht ab, falls T [χ 2 n 1,α/2, χ2 n 1,1 α/2 ] 392

44 Bemerkungen: [I] Die Dichte der χ 2 (ν)-verteilung ist nicht symmetrisch, d.h. χ 2 ν,p χ2 ν,1 p Für den rechtsseitigen Varianztest H 0 : σ 2 σ0 2 gegen H 1 : σ 2 > σ0 2 ergibt sich bei Benutzung der Teststatistik T (X 1,..., X n ) = n ( ) S2 n 2 Xi X σ0 2 = i=1 σ 0 zum Signifikanzniveau α der kritische Bereich K = (χ 2 n 1,1 α, + ) (d.h. verwerfe H 0, falls T > χ 2 n 1,1 α ) 393

45 Bemerkungen: [II] Für den linksseitigen Varianztest H 0 : σ 2 σ 2 0 gegen H 1 : σ 2 < σ 2 0 ergibt sich bei Benutzung der Teststatistik T (X 1,..., X n ) = n ( S2 n Xi X σ0 2 = σ 0 i=1 zum Signifikanzniveau α der kritische Bereich K = (, χ 2 n 1,α ) (d.h. verwerfe H 0, falls T < χ 2 n 1,α ) ) 2 394

46 Bemerkungen: [III] Falls der E-Wert µ der Normalverteilung bekannt ist, verwende die Teststatistik T (X 1,..., X n ) = n i=1 ( Xi µ σ 0 ) 2 und die Quantile der χ 2 (n)-verteilung (vgl. Satz 5.5(d), Folie 311) 395

47 Beispiel: [I] Gegeben seien folgende Messungen aus einer Normalverteilung (µ, σ 2 unbekannt): 1001, 1003, 1035, 998, 1010, 1007, 1012 Man betrachte den folgenden Test z.n. α = 0.05: H 0 : σ gegen H 1 : σ 2 > 100 Es gilt: T (x 1,..., x n ) = n S2 σ 2 0 = =

48 Beispiel: [II] Für α = 0.05 findet man das Quantil χ 2 6,0.95 = Es folgt: T (x 1,..., x n ) = < = χ 2 6,0.95 H 0 kann nicht verworfen werden 397