Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

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1 Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

2 Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum - Plückersche Koordinaten Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Übergang zur dualen Form Schnittpunkt zweier 2 von 35

3 Punkte Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum - Plückersche Koordinaten Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Übergang zur dualen Form Schnittpunkt zweier 3 von 35

4 Punkte - Punkte im P 3 Punkte X u v w t... im Endlichen X u v w 1... im Unendlichen X u v w 0 4 von 35

5 Ebenen im Raum Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum - Plückersche Koordinaten Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Übergang zur dualen Form Schnittpunkt zweier 5 von 35

6 Ebenen im Raum Ebene Ebenengleichung: ax + by + cz + d =0(Inzidenz) Ein Punkt X liegt auf der Ebene π = ( a b c d ) T,wenn gilt x ( ) a b c d y }{{} z =0 π T 1 }{{} X 3 Freiheitsgrade gegeben durch das Verhältnis {a : b : c : d} 6 von 35

7 Ebenen im Raum Ebene - Punkt Berechnung der Ebene Drei nicht kollineare Punkte definieren eine Ebene. Berechnung mittels Bestimmung des Nullraums X T 1 X T 2 π = 0 X T 3 }{{} 3 4, Rang 3 7 von 35

8 Ebenen im Raum Punkt auf der Ebene Ein Punkt X auf der Ebene ist linear abhängig von den drei Punkten X 1, X 2 und X 3, die die Ebene definieren. det [ X X 1 X 2 X 3 ] =0 Drei Ebenen definieren einen Punkt Schnittpunkt dreier Ebenen ergibt i.a. einen Punkt. π T 1 π T 2 X = 0 π T 3 }{{} 3 4, Rang 3 Das Vertauschen der Rollen von Punkten und Ebenen wird uns im P 3 noch häufiger begegnen (Ebenen-Punkt Dualismus) 8 von 35

9 Dualismus im Raum Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum - Plückersche Koordinaten Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Übergang zur dualen Form Schnittpunkt zweier 9 von 35

10 Dualismus im Raum Dualismus zwischen Punkt und Ebene Analog zum Punkt - Geraden Dualismus in der projektiven Ebene P 2, existiert auch im P 3 ein ähnlicher Dualismus. Ergebnis (Dualismus im P 3 ) Im projektiven Raum P 3 besteht ein Dualismus zwischen Punkt und Ebene. Manerhält ein duales Ergebnis, wenn man die Rollen von Punkt und Ebene vertauscht. 10 von 35

11 Die unendlich ferne Ebene Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum - Plückersche Koordinaten Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Übergang zur dualen Form Schnittpunkt zweier 11 von 35

12 Die unendlich ferne Ebene Die unendlich ferne Ebene π Analog zur unendlich fernen Geraden kann man die unendlich ferne Ebene beschreiben durch: 0 π Parallele Geraden schneiden sich in einem Punkt auf π. Parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden auf π. Eine Ebene π schneidet π in l, die unendlich ferne Gerade von π (im Koordinatensystem von π). 12 von 35

13 Die unendlich ferne Ebene Satz Die unendlich ferne Ebene ist eine Fixebene unter projektiven Transformationen H des Raumes, genau dann, wenn H eine affine Transformation ist (nicht punktweise fix, bis auf i.a. 3 Punkte). H Die Lokalisierung von π in einer projektiven Rekonstruktion des Raumes entspricht einer affinen Rekonstruktion. 13 von 35

14 Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum - Plückersche Koordinaten Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Übergang zur dualen Form Schnittpunkt zweier 14 von 35

15 Freiheitsgrade Eine Gerade kann über ihre Schnittpunkte mit zwei vorgegebenen Ebenen beschrieben werden. Jeder Schnittpunkt hat 2 Freiheitsgrade. Die Gerade hat vier Freiheitsgrade Abbildung: Die Gerade im Raum (4 Freiheitsgrade) 15 von 35

16 Parametrisierung über zwei Punkte Seien A, B Punkte im P 3. Erzeugung von Punkten auf der Gerade durch A und B: X A + Bλ, Span von A und B (Bündel von Punkten X auf der Gerade.) Seien a, b inhomogene Koordinaten zweier Punkte im Raum. x = a +(b a) µ = a(1 µ)+b µ Übergang zu homogenen Koordinaten: ( ) ( ) ( ) x a b X = = (1 µ) ( µ µ X A + B ) 1 µ }{{} λ 16 von 35

17 Parametrisierung über zwei Ebenen Dual zum Span aus Punkten: Gerade als Schnitt zweier Ebenen π A und B liegen auf π 2 1 und π 2. A T π 1 = B T π 1 =0 A T π 2 = B T π 2 =0 Die Geradenpunkte bilden den Nullraum von ( π T 1 A π 1 Abbildung: Gerade im P 3 als Schnitt zweier Ebenen. Der Span der Ebenen π 1 + λπ 2 ergibt ein Ebenenbündel mit der Geraden als Achse. π T 2 ). B 17 von 35

18 Repräsentation als Plückermatrix L- Herleitung Gerade durch A und B: X A + Bλ Für den Schnittpunkt X gilt: X T π =0 A B π X (A + Bλ) T π =0 A T π = λb T π Abbildung: Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte A und B mit der Ebene π λ = AT π B T π Für den Schnittpunkt X ergibt sich: X A B AT π B T π ABT π BA T π =(AB T BA T ) π }{{} L (Plückermatrix) 18 von 35

19 Plückermatrix L Die Plücker Matrix ist die Repräsentation der Geraden durch eine homogene, schiefsymmetrische 4 4MatrixL. L wird die Plückermatrix der Geraden durch A und B genannt. Sie hat die Form L = 0 a b c a 0 d e b d 0 f c e f 0 19 von 35

20 Analogie zum P 2 Die Plückermatrix L = AB T BA T ist eine Generalisierung der Geraden im P 2. Hier wurde die Linie über die Inzidenz x T l =0 dargestellt, mit l = a b. Erweitert man dies, ergibt sich: l a b p l m [a b] m (ab T ba T ) m }{{} 3 3 Plückermatrix (Eigentlich: ab T ba T = [a b] =[b a] ) a b m Abbildung: Plückermatrix als Generalisierung der Gerade im P 2 p l 20 von 35

21 Übergang Die Wahl der Punkte spielt bei der Berechnung von L keine Rolle. Man wähle statt A und B und A αa + βb B γa + δb Für L folgt somit: L = A B T B A T =(αa+βb)(γa T +δb T ) (γa+δb)(αa T +βb T ) =(α δ β γ) (AB T BA T ) L }{{}}{{} c L Die Plückermatrizen L und L sind bis auf einen Skalarfaktor gleich. 21 von 35

22 Eigenschaften von L L = 0 a b c a 0 d e b d 0 f c e f 0 L ist eine schiefsymmetrische 4 4Matrix. L T = L L hat Rang 2 L =0 Plückerbedingung: L =(af be + cd) 2 =0 4 Freiheitsgrade: 6 (Parameter) 1 (Skalierung) 1 ( L =0) 22 von 35

23 Eigenschaften von L L = 0 a b c a 0 d e b d 0 f c e f 0 Schnittpunkt Gerade - Ebene: X Lπ Jede Spalte von L ist ein Punkt auf der Geraden. Insbesondere ist L π L ( ) T ( c e f 0 ) T der Schnittpunkt mit der unendlich fernen Ebene Enthält eine Ebene π die Gerade L, sogibteskeinen Schnittpunkt. Gilt Lπ = 0, liegt L ganz in π. 23 von 35

24 Plückerbedingung DieletzteSpaltevonL beschreibt einen Punkt p auf der unendlich fernen Ebene. Betrachten wir folgende Zerlegung von L: ( ) [l] p L p 0 0 a b Die 3 3Untermatrix[l] = a 0 d ist schiefsymm. und b d 0 besitzt die Form eines Axiators mit l = ( d b a ) T. Ergebnis (Plückerbedingung) Mit L =(af be + cd) 2 gilt ( L =(l T p) 2 =0) l T p =0 }{{} Plückerbedingung 24 von 35

25 ( ) ( ) a b Sei A und B 1 1 ( ab L T ba T ) a b b T a T 0 ( ) [b a] a b b T a T 0 ( ) [l] p p T 0 p ist Schnittpunkt von L mit der u.f.e. l ist die Projektion von L auf π. Ergebnis (Plückerbedingung) ( ) L A B Abbildung: Schnittpunkt der Geraden L mit π a b p u.f.ebene l Aus det(l) =(p T l) 2 = 0 folgt die Plückerbedingung p T l =0. (p liegt auf l) 25 von 35

26 Gerade als Schnitt zweier Ebenen - Plückerdarstellung Ebene 2 Ebene P Abbildung: π 1 + π 2 λ erzeugt ein Ebenenbündel um die Achse (Schnittgerade von π 1 und π 2 ). Gesucht ist die Ebene, die von p und der Achse bestimmt wird. Der Span π 1 + π 2 λ erzeugt ein Ebenenbündel mit der Geraden als Achse. Eine Ebene wird von der Schnittachse und einem Punkt p bestimmt. 26 von 35

27 Duale Plückermatrix Für die Ebene, die sowohl p, als auch die Achse enthält, gilt : (π 1 + π 2 λ) T p =0. Wir können die duale Plückermatrix aus dem Span zweier Ebenen herleiten. L ist die duale Form von L π (π 1 π T 2 π 2π T 1 }{{} ) p L Um den Zusammenhang zwischen L und L zu verdeutlichen ist folgende Eigenschaft hilfreich: LL = L L =(π 1 π T 2 π 2π T 1 )(ABT BA T )=0 27 von 35

28 Übergang zur dualen Form L ( [q] m m T 0 ), L ( [l] p p T 0 ( ) ( )( ) L p [q] m p = 0 0 m T = 0; 0 0 [q] p =0 p q = αp; m T p =0, m T q =0 ( )( ) LL [l] p [q] m p T 0 m T 0 ( α[l] [p] = pm T ) = 0 [l] m = 0 0 T 0 Umformung: [a] [b] = ba T (a T b)i α[l] [p] pm T = 0 p(αl T m T )=0 m = αl L ) ( ) α[p] αl αl T 0 ( [p] ) l l T 0

29 Korrespondenz Ergebnis (Übergang zur dualen Form) Aus L wird L (und umgekehrt) durch vertauschen von l und p. Beide Formen bezeichnen dieselbe Linie, als Verbindungsgerade zweier Punkte. Mit X Lπ erhält man den Schnittpunkt. als Schnittgerade zweier Ebenen. Mit π L X erhält man die Ebene, die von der Linie und dem Punkt X aufgespannt wird. 29 von 35

30 Beispiel (Schnittpunkt dreier Ebenen) Seien die 3 Ebenen π 1, π 2 und π 3 gegeben und bezeichnen wir den Schnittpunkt mit X 1 Zunächst können wir die Achse zweier Ebenen berechnen: ( ) L (π 1 π T 2 π 2 π T [p] l 1 ) l T 0 2 Über die Korrespondenz wird L L umgeformt. ( ) [l] p L p T 0 Der Schnittpunkt ergibt sich aus: X Lπ 3 30 von 35

31 Beispiel (Ebene durch drei Punkte) Dual zur Beschreibung des Schnittpunktes von drei Ebenen kann die Ebene π durch drei Punkte A, B und C berechnet werden: ( ) ( ) L AB T BA T [l] p p T L [p] l 0 l T 0 Die Ebene wird beschrieben durch L C π 31 von 35

32 Beispiel Lπ = 0 L liegt in π. L A = 0 A liegt auf L. LL = L L = 0 32 von 35

33 Schnittpunkt zweier ( ) [l1 ] Zwei Geraden L 1 p 1 p T und L schneiden sich im Raum ( [l2 ] p 2 p T 2 0 ) p T 1 l 2 + p T 2 l 1 =0 oder L 1 L 2 + L 2L 1 = 0 oder Rang(L 1 L 2 )=1 oder L 1 L 2 L 1 = 0 33 von 35

34 Begründung Sei A auf L 1, B auf L 2, S der Schnittpunkt zwischen L 1 und L 2. Dann gilt: d.h. ( ) L 1 AS T SA T [s a] a s = (s a) T 0 ( ) L 2 BS T SB T [s b] b s = (s b) T 0 p 1 = a s, p 2 = b s, l 1 = s a l 2 = s b p T 1 l 2 = a T (s b) =det(asb) p T 2 l 1 = b T (s a) =det(bsa) = det(asb) 34 von 35

35 Auch die restlichen Kriterien lassen sich herleiten, indem man zunächst zeigt: L 1 L 2 S π T wobei π die gemeinsame Ebene bezeichnet. 35 von 35