Zweiseitiger Binomialtest. für D-UWIS, D-ERDW, D-USYS und D-HEST SS15

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1 Zweiseitiger Binomialtest für D-UWIS, D-ERDW, D-USYS und D-HEST SS15

2 Repetition: Macht Quiz 5 Aufgabe 6 und 7 Verwerfungsbereich mit αα 0.05 ist KK = [14, 15,, 25] Verwerfungsbereich mit αα 0.01 ist KK = [16, 17,, 25] 2

3 ö ä ü Do not put umlauts into folder names... ever! 3

4 Lernziele heute Zweiseitiger Binomialtest P-Wert Vertrauensintervall Hausaufgaben Skript: Kapitel lessen Serie 6 lösen Quiz 6 bearbeiten 4

5 Wie war das nochmal mit dem Zauberwürfel? 5

6 H 0 richtig: pp 0 = 1 6 Einseitiger Test H AA richtig: pp AA = 1 3 6

7 7

8 Roulette (franz. Rädchen) 8

9 Roulette (franz. Rädchen) 37 Felder (18 rote, 18 schwarze, 1 grünes) Verschiedene Wetttypen: Straight up bet pp = 1 37 Corner bet pp = 4 37 Dozen bet pp = Even/odd bet pp = (0 wird nicht als gerade gewertet) Colour bet pp = Wir spielen 50 mal rot, wenn die Roulette fair ist, dann gilt: XX BBBBBB(50, ) 9

10 Einseitiger Test zu viel rot 10

11 Einseitiger Test zu viel schwarz 11

12 Zweiseitiger Test zu viel rot 12

13 Zweiseitiger Test zu viel rot 13

14 Zweiseitiger Test zu viel schwarz 14

15 Zweiseitig versus Einseitig Testart Macht (H 00 : ππ = 1111 ; αα = ) 3333 ππ AA = ππ AA = Einseitig (H AA : ππ > Zweiseitig (H AA : ππ

16 Zweiseitig versus Einseitig Einseitig Auf einer Seite blind Auf anderer Seite grosse Sehschärfe (grosse Macht) Zweiseitig Sieht auf beiden Seiten Aber auf keiner besonders gut (kleine Macht) 16

17 Binomialtest ganz formal 1. Modell XX 2. Hypothesen H 0 und H AA 3. Teststatistik TT und Verteilung von TT, falls H 0 stimmt 4. Signifikanzniveau αα 5. Verwerfungsbereich KK der Teststatistik 6. Testentscheid 17

18 Binomialtest Modell (1/6) XX: Anzahl Erfolge bei nn Versuchen XX Bin(nn, ππ) 18

19 Binomialtest Hypothesen (2/6) Nullhypothese H 0 : ππ = ππ 0 Alternativhypothese H AA : ππ ππ 0 (zweiseitig) ππ > ππ 0 (einseitig, nach oben) ππ < ππ 0 (einseitig, nach unten) 19

20 Binomialtest Teststatistik (3/6) TT: Anzahl Treffer bei nn Versuchen Verteilung von TT, falls H 0 stimmt: TT Bin(nn, ππ 0 ) 20

21 Binomialtest - Signifikanzniveau Wie unwahrscheinlich muss eine Beobachtung sein, damit wir die Nullhypothese verwerfen. Konvention, meist αα =

22 Binomialtest Verwerfungsbereich (5/6) Form: KK = 0, cc uu [cc oo, nn], falls H AA : ππ ππ 0 KK = [cc >, nn], falls H AA : ππ > ππ 0 KK = 0, cc <, falls H AA : ππ < ππ 0 Grenzen (cc s) werden bestimmt, sodass gilt: PP TT cc uu αα, 2 PP TT cc oo αα 2 PP TT cc > αα PP TT cc < αα cc < cc uu cc > cc oo 22

23 Binomialtest Verwerfungsbereich (5/6) Form: KK = 0, cc uu [cc oo, nn], falls H AA : ππ ππ 0 KK = [cc >, nn], falls H AA : ππ > ππ 0 KK = 0, cc <, falls H AA : ππ < ππ 0 Normalapproximation für ein αα = 0.05 cc uu = nnππ nnππ 0 (1 ππ 0 ) abrunden cc oo = nnππ cc < = nnππ cc > = nnππ nnππ 0 (1 ππ 0 ) aufrunden nnππ 0 (1 ππ 0 ) abrunden nnππ 0 (1 ππ 0 ) aufrunden das klappt, wenn nn gross und ππ nicht nahe bei 0 oder 1 (genauere Faustregel im Skript) 23

24 Binomialtest Testentscheid (6/6) Liegt der beobachtete Wert tt von TT in KK? Falls ja: H 0 kann auf dem Signifikanzniveau αα verworfen werden Falls nein: H 0 kann auf dem Signifikanzniveau αα nicht verworfen werden 24

25 P-Wert Definition 1: Der P-Wert ist das kleinste Signifikanzniveau, bei dem H 0 gerade noch verworfen wird. Definition 2: Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, diese Beobachtung oder eine noch extremere zu erhalten, wenn H 0 wahr ist. Skript, p

26 P-Wert Beispiel W keit unter H 0 Binomialtest, nn = 10, H 0 : ππ 0 = 0.4 ππ ist die wahre W keit tt PP[TT = tt] H AA : ππ > 0.4 Angenommen, tt = 9 beobachtet: pp = PP TT tt = PP TT = 9 + PP TT = = H AA : ππ < 0.4 Angenommen, tt = 1 beobachtet: pp = PP TT t = PP TT = 0 + PP TT = = H AA : ππ 0.4 angenommen, tt = 1 beobachtet: pp = PP[TT 0, 1, 8, 9, 10 ] =

27 Vertrauensintervall Welche Werte von ππ sind mit den Daten vereinbar? Definition 1: Die Werte von ππ, bei denen H 0 nicht verworfen wird, sind ein (1 αα)-vertrauensintervall (CI) für π. Bsp.: nn = 50, xx = 14 95% CCCC: [0.17, 0.41] Mit einem Signifikanzniveau von 5% sind alle diese ππ s mit den Daten vereinbar. 27

28 Vertrauensintervall - Normalapproximation Unter gewissen Umständen kann man mit der Normalverteilung ein CI approximieren Normalapproximation: xx nn ± 1.96 xx nn 1 xx nn 1nn Bsp. nn = 50, xx = 14 95% CCCC: 0.17, ± = 0.28 ± 0.12 [0.16, 0.40] 28

29 Vertrauensintervall Welche Werte von ππ sind mit den Daten vereinbar? Definition 1: Die Werte von ππ, bei denen H 0 nicht verworfen wird, sind ein (1 αα)-vertrauensintervall (CI) für π. Definition 2: Ein (1 αα)-vertrauensintervall enthält den wahren Parameter ππ mit Wahrscheinlichkeit (1 αα). 29

30 30

31 Zusammenfassung Zweiseitiger Binomialtest einäugige Piraten mit Fernrohr P-Wert diese oder eine noch extremere Beobachtung Vertrauensintervall trifft den wahren Parameter mit Wahrscheinlichkeit (1 αα) Hausaufgaben Skript: Kapitel lessen Serie 6 lösen Quiz 6 bearbeiten 31