muss jeweils 33 ergeben. Es gibt immer mindestens 4 und höchstens 7 Plusglieder.

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "muss jeweils 33 ergeben. Es gibt immer mindestens 4 und höchstens 7 Plusglieder."

Karlheinz Rothbauer
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Dossenberger Gymnasium Günzburg 5d 1. Auf einer Uhr finden sich die zwölf Zahlen von Eins bis Zwölf. (a) Bilde aus allen zwölf Zahlen einen Rechenausdruck, der Null ergibt. Versuche, mehrere Lösungen zu finden. Was haben alle deine Lösungen gemeinsam? (b) LässtsichausdensechsgeradenZahlen2,4,6,8,10und12einRechenausdruck bilden, der Null ergibt? (c) Lässt sich aus den Zahlen 1 bis 11 bzw. 1 bis 10 ein Rechenausdruck bilden, der Null ergibt? (d) Die Uhr zerbricht beim Herunterfallen in drei Stücke. Kann es sein, dass die Summe der Zahlen auf jedem Teil gleich ist? Literatur: Materialien Mathematik M49, Weiterentwicklung der Unterrichtskultur im Fach Mathematik (WUM), Anregungen für neue Wege im 5. Schuljahr, Landesinstitut für Erziehung und Unterricht Stuttgart Lösung: (a) Mehrere Möglichkeiten, z. B.: = = 78 Summe der Plus- und Minusglieder muss jeweils 39 ergeben. Es gibt immer mindestens 4 und höchstens 8 Plusglieder. (b) = 42 Summe der Plus- und Minusglieder müsste jeweils 21 ergeben, was als Summe gerader Zahlen nicht möglich ist. (c) = = 66 Summe der Plus- und Minusglieder muss jeweils 33 ergeben. Es gibt immer mindestens 4 und höchstens 7 Plusglieder = 55 Summe der Plus- und Minusglieder müsste jeweils 27,5 ergeben, was als Summe natürlicher Zahlen nicht möglich ist. (d) Möglich: Iris betrachtet Zahlenschlangen von besonderer Form: Der Kopf besteht aus einer zweistelligen, der Körper aus einer dreistelligen Zahl. Weder beim Kopf noch beim Körper ist die erste Ziffer Null. Beispiele: ,

2 (a) Wie viele Schlangen dieser Form gibt es? (b) Schlangen, deren,,kopfzahlen und,,körperzahlen jeweils dieselbe Quersumme haben, gehören zur selben Familie. So sind z. B. die Schlangen und in derselben Familie. Wie viele Schlangen gehören zu dieser Familie? (c) Iris findet eine Familie, die aus genau sechs Schlangen besteht. Kannst du auch eine solche Familie angeben? Schreibe deine Familie auf! Quelle: Fürther Mathematik Olympiade, 1. Runde, 2003/2004 Lösung: (a) Kopf: Zahlen von 10 bis 99, also 90 Zahlen, Körper: Zahlen von 100 bis 999, also 900 Zahlen = Zahlen (b) Kopf: 14, 23, 32, 41, 50 Körper: 6 Permutationen der Ziffern in der Zahl 123, 3 Permutationen der Ziffern in der Zahl 114, Zahlen 222 und 600, 2 5 = 10 Permutationen der beiden hinteren Ziffern der Zahlen 501, 402, 303, 204, Körperzahlen 5 21 = 105 Schlangen (c) mehrere Lösungen, z. B. Schlangen mit Quersumme 2 bei,,kopf- und Körperzahl, Schlangen mit Quersumme 6 bei der,,kopfzahl und 1 bei der,,körperzahl. 3. Finde die zwei Fehler in der folgenden Rechnung. Korrigiere die beiden Fehler [234 (34+17)] = = [200+17)] = = = = = 10 Lösung: Zeile 2: [234 51] Zeile 4: = (a) Gib den Term an und berechne seinen Wert! Subtrahiere die Differenz der Zahlen 7012 und 5876 von der Summe der Zahlen 3214 und (b) Wie ändert sich der Wert einer Summe aus drei Zahlen, wenn man jeden Summanden um 7 verkleinert? (c) Wie ändert sich der Wert einer Differenz, wenn man den Subtrahenden um 6 verkleinert und den Minuenden um 6 vergrößert? 2

3 (d) Wie ändert sich der Wert einer Differenz, wenn man Minuend und Subtrahend um 21 verkleinert? Lösung: (a) ( ) ( ) = (b) Der Wert der Summe verkleinert sich um 21. (c) Der Wert der Differenz vergrößert sich um 12. (d) Der Wert der Differenz bleibt gleich. 5. (a) Von der Summe der Zahlen 378 und 623 ist die Differenz der Zahlen 1111 und 222 zu subtrahieren. (b) Zu der Differenz der Zahlen 1423 und 577 ist die Differenz der Zahlen 1078 und 723 zu addieren. Lösung: (a) ( ) ( ) = 112 (b) ( )+( ) = (a) Berechne geschickt! , (b) Zerlege zweckmäßig und berechne! , , , Lösung: (a) Hier sind jeweils verschiedene Lösungen möglich, z. B. ( )+( ) = = 1490, ( )+(42+78)+( ) = = 2220 (b) = = = 777, = = = 1125, = = = 1099, = = (a) = (b) Berechne unter Verwendung des Ergebnisses von Teilaufgabe (a) die Summe aller natürlichen Zahlen von 120 bis 250. Lösung: (a) : 2 = (b) : 2 = = Der Nikolaus besucht die fünften Klassen einer Schule mit lauter unterschiedlich braven Kindern. Das böseste Kind bekommt einen Lebkuchen, das etwas bravere zwei, das nächste drei bis zum 98. und bravsten Kind, das gleich 98 Lebkuchen bekommt. (a) Wie viele Lebkuchen muss der Nikolaus mit sich herumtragen? 3

4 (b) Im nächsten Jahr beschließt der Nikolaus, nur noch die bravere Hälfte der Kinder zu beschenken, die böse Hälfte soll leer ausgehen. Wie viele Lebkuchen muss der Nikolaus im nächsten Jahr mitbringen, wenn die braven Kinder wieder genauso viel bekommen wie in diesem Jahr? Lösung: (a) = : 2 = 4851 (b) = : 2 = = = Nebenstehende Abbildung zeigt einen Palisadenzaun aus insgesamt 27 Palisaden. Die kürzesten Palisaden (links und rechts) sind 10m lang. Zur Mitte hin nimmt die Länge der Palisaden jeweils um 1m zu, die mittlere Palisade ist also 23m lang. Berechne die Gesamtlänge aller 27 Palisaden Lösung: 2 ( )+23 = 2 (22 23 : : 2)+23 = Die Backstreet Boys Die Backstreet Boys waren 1998 zusammen 107 Jahre alt. Kevin war ein Jahr älter als Brian und Howie. Nick war sechs Jahre jünger und A.J. fünf Jahre jünger als Kevin. Wie alt war jeder? Lösung: Kevin war Algebra mit Zahlenmauern Du kennst vielleicht schon sogenannte Zahlenmauern. In der untersten Reihe können beliebige Zahlen geschrieben werden. In die übrigen Felder wird nun jeweils die Summe aus den Zahlen in den beiden darunter liegenden Steinen geschrieben. 4

5 (a) Kannst du die oben stehende Zahlenmauer vervollständigen? Welche Zahl steht ganz oben? Wie viele Zahlen müssen mindestens vorgegeben werden, damit jeder die gleiche Zahlenmauer erhält? Vielleicht wolltet ihr euch bei der Beantwortung der ersten Frage schon auf bestimmte Felder beziehen. Aus diesem Grund führen wir die folgenden Bezeichnungen ein: Was passiert nun beispielsweise mit der Zahl im Feld F10, wenn wir die Zahl in F2 um eins erhöhen? Zur Beantwortung ist es hilfreich, einen Punkt zu betrachten, der die zusätzliche Eins darstellt: (b) Fülle die Zahlenmauer vollständig aus. Erkläre damit, wie sich F 10 verändert, wenn man die Zahl in F2[F1;F3] um eins erhöht. (c) Wie wirken sich die Veränderungen aus Aufgabe 2 auf fünfreihige Zahlenmauern aus? (d) Wie verändert sich die Zahl in F 10 in vierreihigen Zahlenmauern, wenn man die Zahl in F2 um 2 erhöht? Untersuche dies auch für die anderen Felder. Im Folgenden untersuchen wir ganz spezielle Zahlenmauern. Bei diesen stehen in der untersten Reihe aufeinander folgende natürliche Zahlen (Also zum Beispiel 5,6,7). Für die Zahl im ersten Feld schreiben wir ganz allgemein n, wobei dieses n für irgendeine natürliche Zahl steht. Wir starten mit dreireihigen Mauern: (e) Fülle die Tabelle allgemein aus. Welche Zahl steht im ersten Feld, wenn im obersten Feld die 128[176] steht? Denke dir selbst eine Zahl aus, die im obersten Feld stehen könnte und lass deinen Nachbarn die erste Zahl angeben. 5

6 (f) Untersuche nun vierreihige Zahlenmauern. Welche Zahl steht im ersten Feld, wenn imoberstenfelddie124[188]steht? Denke dir selbst einezahlaus, dieim obersten Feld stehen könnte und lass deinen Nachbarn die erste Zahl angeben. Lösung: (a) Oben steht die 71 (b) F2,F3 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt dreimal auf. Damit erhöht sich F10 um 3 F1 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt einmal auf. Damit erhöht sich F10 um 1 (c) F1 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt einmal auf. Damit erhöht sich F10 um 1 F2 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt viermal auf. Damit erhöht sich F10 um 4 F3 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt sechsmal auf. Damit erhöht sich F10 um 6 (d) F1: Erhöhung um 2; F2,F3: Erhöhung um 6; F4: Erhöhung um 2; (e) Oberstes Feld: 128 erstes Feld: 31; Oberstes Feld: 176 erstes Feld: 43 (f) Oberstes Feld: 124 erstes Feld: 14; Oberstes Feld: 188 erstes Feld: 22 6

Ähnliche Dokumente

Rechengesetze. 1. Welche Zahl kannst du hier einsetzen? Mache deinen Lösungsweg sichtbar.

Rechengesetze. 1. Welche Zahl kannst du hier einsetzen? Mache deinen Lösungsweg sichtbar. Rechengesetze 1. Welche Zahl kannst du hier einsetzen? Mache deinen Lösungsweg sichtbar. (a) 7 (12+?) = 84+28 = 112 (b) 6 (12?) = 144 Literatur: Materialien Mathematik M49, Weiterentwicklung der Unterrichtskultur