5.5 Abstrakter Vektorraum

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1 118 Kapitel 5 Lineare Algebra 55 Abstrakter Vektorraum Für die Vektoraddition und die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren im zweioder dreidimensionalen euklidischen Raum gelten bestimmte Rechengesetze, die man auch in anderen Zusammenhängen antrifft Diese Rechengesetze sind die Grundlage für den Begriff des abstrakten Vektorraums 551 Definition Ein reeller Vektorraum ist eine Menge V mit einem Nullelement 0, auf der zwei Rechenoperationen erklärt sind, nämlich Addition V V V, (v,w) v +w und Skalarmultiplikation R V V, (λ,v) λ v, und zwar so, dass für alle u,v,w V, α,β R die folgenden Rechenregeln gelten: (u+v)+w = u+(v+w) (Assoziativgesetz für die Addition) u+v = v+u (Kommutativgesetz) u+0 = u (neutrales Element) Die Gleichung v + x = 0 besitzt zu jedem v V genau eine Lösung x V Wir schreiben dafür x = v (Existenz des additiven Inversen) (α β)u = α(β u) (Assoziativgesetz für die Skalarmultiplikation) 1 u = u (α+β)u = αu+βu (Distributivgesetz) α(u+v) = αu+αv (Distributivgesetz) Aus diesen acht Axiomen folgen alle weiteren vertrauten Regeln des Rechnens mit Vektoren Zum Beispiel gilt 0 v = 0 für alle v V (Dabei ist mit der ersten 0 die Zahl Null in R gemeint und mit der zweiten 0 der Nullvektor in V) Denn aus dem Distributivgesetz folgt 1 v +0 v = (1+0) v = 1 v = v Addieren wir nun auf beiden Seiten u dazu, erhalten wir die Behauptung Weiter gilt auch: ( 1) v = v für alle v V Denn wiederum nach dem Distributivgesetz ist ( 1) v + v = ( 1) v + 1 v = ( 1+1)v = 0 v = 0 Also stimmt ( 1)v mit dem eindeutigen Inversen v überein

2 55 Abstrakter Vektorraum Beispiele 1 Der kleinstmögliche Vektorraum besteht nur aus dem Nullelement V = {0} 2 Der R n ist sozusagen der Prototyp des reellen Vektorraums (n N) Addition und Skalarmultiplikation sind komponentenweise erklärt Das heisst, für alle v j,w j R, j = 1,,n und λ R setzt man: v 1 v n + w 1 w n v 1 +w 1 := und λ v n +w n v 1 v n := λv 1 λv n Wie es aus der elementaren Vektorrechnung geläufig ist, sind hier alle in der Definition angegebenen Rechenregeln erfüllt Dabei ist das Nullelement der Nullvektor, dessen sämtliche Einträge gleich Null sind 3 Auf der Menge F(D, R) aller reellwertigen Funktionen auf einem festgewählten Definitionsbereich D R erklärt man üblicherweise Addition und Skalarmultiplikation durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (α f)(x) = α f(x) für alle x D, α R und f,g F(D,R) Mit diesen Verknüpfungen bildet F(D,R) einen Vektorraum Denn die acht definierenden Rechenregeln eines Vektorraums sind alle erfüllt; sie lassen sich jeweils auf die entsprechenden Rechengesetze im Wertebereich, also in der Menge der reellen Zahlen, zurückführen Auf entsprechende Weise definiert man Vektorräume über den komplexen Zahlen oder noch allgemeiner Vektorräume über beliebigen Körpern K 553 Definition Sei K ein Körper Ein K-Vektorraum ist eine Menge V mit einem Nullelement 0, auf der eine Addition V V V,(v,w) v +w und eine Skalarmultiplikation K V V,(λ,v) λ v erklärt ist, so dass für alle u,v,w V und alle α,β K die oben genannten acht Rechenregeln gelten Wichtige Beispiele für komplexe Vektorräume erhält man, indem man in den eben gegebenen Beispielen jeweils R durch C ersetzt Der Raum C n (für fest gewähltes n N) besteht aus allen Spaltenvektoren der Form z 1 z 2 z n mit komplexen Einträgen z j C für j = 1,,n Addition und Skalarmultiplikation sind nun wiederum komponentenweise erklärt Der Raum F(D,C) besteht aus allen Funktionen der Form f:d C, definiert auf einem Definitionsbereich D C mit Werten in C Zum Beispiel gehört dazu die Funktion f:c C, f(z) = z 2 Analog erklärt man die Addition und Skalarmultiplikation in diesem Fall durch (f + g)(z) = f(z) + g(z) und (α f)(z) = α f(z) für alle z D, α C und f,g F(D,C) Mit diesen Verknüpfungen bildet F(D,C) einen Vektorraum

3 120 Kapitel 5 Lineare Algebra Eine besondere Rolle spielen diejenigen Teilmengen von Vektorräumen, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind, weil sie selbst wieder Vektorräume bilden 554 Definition Eine nichtleere Teilmenge U V eines K-Vektorraums V ist ein linearer Unterraum von V, falls U unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, das heisst, wenn folgendes gilt: (A) u,v U = u+v U (S) u U = λ u U für alle λ K IstU einlinearerunterraumvonv,sobildetu mitdenvonv geerbtenoperationen wieder einen Vektorraum Denn offensichtlich bleiben die Assoziativgesetze, das Kommutativgesetz und die Distributivgesetze erhalten Und auch das Nullelement von V liegt in U Denn nach Voraussetzung ist U nichtleer, es gibt also mindestens ein Element u 0 U Wegen der Eigenschaft (S) folgt jetzt 0 u 0 = 0 U Schliesslich liegt mit u auch stets u in U, denn u = ( 1) u U wiederum wegen der Eigenschaft (S) 555 Beispiele Der Vektorraum R 2 hat die folgenden Unterräume: die trivialen Unterräume {0}und R 2 einerseits und andererseits Unterräume der Formg v = {λv λ R}, wobei v R 2 festgewählt ist Diese Unterräume entsprechen den Geraden durchdennullpunktgenauerbestehtdiemengeg v ausdenortsvektorensämtlicher Punkte auf der Geraden durch den Nullpunkt in Richtung v Eine Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht, entspricht keinem linearen Unterraum Denn die Menge der entsprechenden Ortsvektoren ist nicht unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen Sind v,w 0 zwei Vektoren in R 3, die nicht auf einer Geraden liegen, so spannen sie eine Ebene durch den Nullpunkt auf, nämlich E := {λv+µw λ,µ R} Jede solche Ebene ist ein linearer Unterraum von R 3 Und hier noch ein Beispiel für einen Unterraum des Funktionenraums: 556 Beispiel Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten können wir als reellwertige Funktion auf R auffassen In diesem Sinn bilden die reellen Polynome eine Teilmenge des Raum F(R,R) Diese Teilmenge ist ein linearer Unterraum, denn sowohl die Summe von je zwei Polynomen ist wieder ein Polynom, als auch das Produkt eines Polynoms mit einem festen Skalar Entsprechend bilden die Polynome mit komplexen Koeffizienten, betrachtet als Funktionen auf C, einen linearen Unterraum des Raumes F(C, C) Wir kommen nun wieder zurück auf lineare Gleichungssysteme, und beschreiben jetzt deren Lösungsmengen in dem neuen begrifflichen Rahmen Sei dazu K = R oder K = C, und sei A eine m n-matrix mit Einträgen a ij K Sei weiter b K m

4 55 Abstrakter Vektorraum 121 ein Spaltenvektor mit Einträgen in K Das dazugehörige Gleichungssystem Ax = b aus reellen oder komplexen linearen Gleichungen nennt man homogen, falls b der Nullvektor ist, und andernfalls inhomogen Es gilt folgendes: 557 Bemerkung Die Lösungsmenge x 1 L := x = x 2 x n Kn A x = 0 des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 (hier steht 0 für den Nullvektor in K m ) bildet einen linearen Unterraum des K n Ist b K m nicht der Nullvektor, und hat das inhomogene Gleichungssystem Ax = b eine Lösung v K n, so ist die Lösungsmenge des inhomogenen Systems von der Form v +{x K n Ax = 0} Man erhält diese Menge also, indem man den Unterraum der Lösungen des zugehörigen homogenen Systems um v parallel verschiebt Eine solche Menge bezeichnet man als affinen Unterraum Ist zum Beispiel K = R, n = 3,m = 1 und A nicht gerade die Nullmatrix, so bildetdielösungsmengedeshomogenengleichungssystems Ax = 0eineEbeneinR 3 durch den Nullpunkt Und die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b (b 0) ist eine dazu parallele Ebene Beweis Betrachten wir zunächst das homogene Gleichungssystem Ax = 0 Offenbar liegt der Nullvektor in der Lösungsmenge L, denn wenn man für jede der Variablen x 1 Null einsetzt, ist die Gleichung trivialerweise erfüllt Seien jetzt u = und x n y 1 v = Elemente von L Dann gilt Au = 0 und Av = 0 Durch Addition der y n beiden Gleichungen erhalten wir Au + Av = 0 Weil die Multiplikation einer Matrix mit Spaltenvektoren das Distributivgesetz erfüllt, folgt daraus A(u+v) = Au+Av = 0 Also ist auch u + v eine Lösung Die Multiplikation mit einem Skalar λ liefert ausserdem A(λu) = λau = 0 Also liegt auch λu in der Lösungsmenge für alle λ K Damit ist gezeigt, dass L ein linearer Unterraum ist Betrachten wir jetzt das inhomogene Gleichungssystem Ax = b, wobei b K m nicht der Nullvektor sei Sind v,w K m zwei Lösungen des Systems Ax = b, so gilt Av = b = Aw,unddarausfolgtA(v w) = Av Aw = b b = 0DerDifferenzvektor v w liegt also im Lösungsraum L des zugehörigen homogenen Gleichungssystems Das heisst w v+l Ist umgekehrt u L, so folgt A(v+u) = Av+Au = b+0 = b Also ist v + u eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems Zusammen ergibt sich die Behauptung qed

5 122 Kapitel 5 Lineare Algebra 56 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v 1,,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK DieMenge aller Linearkombinationen von v 1,,v n, nämlich { n } lin(v 1,,v n ) := α k v k α k K bildet einen linearen Unterraum von V Und zwar ist es der kleinste Unterraum von V, der die vorgegebenen Vektoren enthält Man nennt ihn den von v 1,,v n erzeugten Unterraum oder auch die lineare Hülle oder den Spann dieser Vektoren Denn sind u,v lin(v 1,,v n ) der Form u = α 1 v 1 + +α n v n und v = β 1 v 1 + +β n v n, so folgt u+v = (α 1 +β 1 )v 1 + +(α n +β n )v n und λ u = (λα 1 )v (λα n )v n Also sind auch u+v und λ u (für alle λ K) wieder von der behaupteten Form 561 Beispiele (a) Die eben diskutierte Gerade g v = {λv λ R} R 2 wird von dem fest gewählten Vektor v R 2 erzeugt (b) Die Vektoren e 1 = 1 0 und e 2 = 0 k= erzeugen die x-y-ebene in R 3 (c) Hier ist ein Beispiel einer weiteren Ebene in R 3 erzeugt von zwei Vektoren: E = lin 0 1, 1 0 = α 0 1 +β α,β R Also ist E = β α β α,β R 562 Definition Eine Menge von Vektoren {v 1,,v n } V (n N) heisst linear abhängig, falls es Zahlen α 1,,α n K gibt, die nicht alle gleichzeitig Null sind, so dass gilt: α 1 v 1 + +α n v n = 0 Andernfalls heisst die Menge von Vektoren linear unabhängig Eine andere Möglichkeit, den Begriff zu formulieren ist folgende: 563 Bemerkung Eine Menge, die nur aus einem Vektor v besteht, ist genau dann linear abhängig, wenn v der Nullvektor ist Eine Menge {v,w} aus zwei Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn w = αv für ein α K oder wenn v = 0 ist Und für n > 2 schliesslich gilt: die Menge {v 1,,v n } ist genau dann linear abhängig, wenn sich einer der v j als Linearkombination der anderen v i (i j) schreiben lässt

6 56 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Zwei Vektoren in R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie auf einer Gerade liegen Drei Vektoren in R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen Im komplexen Vektorraum C 2 sind die Vektoren v = linear abhängig, denn w = i v ( ) 1 i und w = ( ) i Definition Eine(endliche oder unendliche) Teilmenge M eines Vektorraums V wird als Erzeugendensystem von V bezeichnet, falls sich jedes Element von V als Linearkombination einer passenden Auswahl endlich vieler Vektoren aus M schreiben lässt, das heisst { n } V = lin(m) := α k v k α k K,v k M,n N k=1 Unter einer Basis von V versteht man eine geordnete Menge B von Elementen von V, die ein Erzeugendensystem von V bilden und zusätzlich linear unabhängig sind (Falls B aus unendlich vielen Elementen besteht, soll das heissen, dass jede endliche Teilmenge von B linear unabhängig ist) Eine Basis ist also ein minimal gewähltes Erzeugendensystem ( ) ( ) Beispiele (a) Die Vektoren e 1 := und e 0 2 := bilden eine Basis 1 des R 2 Denn sie sind linear unabhängig und spannen den ganzen Raum auf: ( ) x = x e y 1 +y e 2 lin(e 1,e 2 ) für alle x,y R Allgemeiner bezeichnet man mit e j (für 1 j n) den Vektor in R n, der an der j-ten Stelle den Eintrag 1 und sonst nur Einträge Null hat Diese Vektoren sind die sogenannten kanonischen Basisvektoren und (e 1,,e n ) ist die Standardbasis des R n (b) Die eben definierten Vektoren e j können wir auch als Elemente des komplexen Vektorraums C n auffassen Darin bilden sie wiederum eine Basis ( ) ( ) 2 1 (c) Die Vektoren v 1 = und v 1 2 = bilden ebenfalls eine Basis des R 1 2 Da v 1 und v 2 nicht dieselbe Gerade aufspannen, sind sie linear unabhängig ( ) x Ausserdem spannen sie den gesamten Vektorraum auf Denn ist v =, so y führt der Ansatz v = α 1 v 1 + α 2 v 2 auf das folgende lineare Gleichungssystem für α 1 und α 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x 2 1 2α1 α = α y 1 +α 1 2 = α1 = 1 α 1 +α α 2 Dies System hat die eindeutige Lösung α 1 = x+y, α 3 2 = 2y x Also lässt sich 3 jeder Vektor v R 2 als Linearkombination von v 1 und v 2 schreiben

7 124 Kapitel 5 Lineare Algebra (d) Sei n N fest gewählt Die Menge der reellen Polynome von Höchstgrad n, nämlich P n := {a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a k R} ist ein linearer Unterraum des Vektorraums aller reellen Polynome, und (1,x,x 2,,x n ) ist eine Basis für P n (e) Wir können die Menge der komplexen Zahlen als reellen Vektorraum auffassen, indem wir bei der Skalarmultiplikation nur die Multiplikation mit reellen Zahlen zulassen In diesem reellen Vektorraum sind die Zahlen 1 und i linear unabhängig und bilden eine Basis für C über R 567 Hauptsatz Wir bezeichnen den Grundkörper der Skalare, also entweder R oder C wieder mit K Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, das heisst, es gebe eine endliche Teilmenge von Vektoren, die ganz V erzeugen Dann hat V eine Basis und jede der Basen von V besteht aus gleichvielen Elementen Diese Anzahl an Elementen einer jeden Basis nennen wir die Dimension von V über K Man kann zeigen, dass auch Vektorräume, die nicht endlich erzeugt sind, immer eine Basis haben Allerdings besteht diese Basis dann aus unendlich vielen Elementen Der Raum der Polynome hat eine abzählbare, unendliche Basis, nämlich (x n n N 0 ) Jede Basis des Funktionenraums F([a,b],R) besteht sogar immer aus überabzählbar vielen Elementen Deshalb ist es schwierig, eine Basis explizit anzugeben Der Begriff der Basis ist für solche überabzählbar-dimensionalen Räume nicht besonders praktisch Wir werden uns jetzt im folgenden stets auf endlichdimensionale Vektorräume beschränken 568 Beispiele Für einige Vektorräume haben wir bereits Basen angegeben Also können wir die Dimensionen ablesen, nämlich: dim({0}) = 0, dim R (R n ) = n, dim R (P n ) = n+1, (für alle n N) Der Vektorraum der reellen m n-matrizen hat die Dimension m n über R Weiter gilt dim C (C n ) = n Ausserdem ist die Dimension jeder Ebene im R 3 gleich 2, wie es der Anschauung entspricht Die Dimension kann davon abhängen, über welchem Grundkörper wir den Vektorraum betrachten Zum Beispiel ist die Dimension von C, aufgefasst als komplexer Vektorraum, gleich 1 Dagegen ist Dimension von C über R gleich 2, denn wie eben bemerkt haben, bilden die Zahlen 1 und i eine Basis über R Zum Beweis des Hauptsatzes: Die Existenz einer Basis ist nicht schwierig einzusehen Ist nämlich M = (v 1,,v n ) irgendein endliches Erzeugendensystem für V, so können wir schrittweise linear abhängige Vektoren darin streichen, bis eine Basis übrigbleibt Genauer gehen wir so vor: Ist die Menge M linear abhängig, so gibt es darin einen Vektor, etwa v j, der bereits in der linearen Hülle der anderen Vektoren aus M enthalten ist Also ändert sich die lineare Hülle nicht, wenn wir v j aus M streichen Sind die verbliebenen Vektoren linear unabhängig, so sind wir fertig Ist das noch nicht der Fall, dann wiederholen wir das Streichen von Vektoren, bis wir schliesslich bei einer Basis angelangt sind Damit haben wir eigentlich gezeigt, dass jedes Erzeugendensystem eine Basis von V enthält Der schwierige Teil des Hauptsatzes ist die Aussage, dass alle Basen gleich viele Elemente haben Wir wollen dies durch einen Widerspruchsbeweis zeigen Nehmen

8 56 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 125 wir also an, es gebe zwei Basen A = (v 1,,v n ) und B = (w 1,,w m ) und es sei n < m Jetzt werden wir schrittweise die Vektoren in A durch Vektoren aus B ersetzen, ohne dass sich dabei jeweils die lineare Hülle ändert Nach n Schritten werden nur nochvektorenausb übrigbleiben, diesich dannalslinearabhängigvon(w 1,,w n ) herausstellen, und damit ist der Widerspruch erreicht 1 Schritt: Wir schreiben w 1 als Linearkombination der v j in der Form w 1 = α 1 v 1 + +α n v n Da B linear unabhängig und daher w 1 0, gibt es einen Index j mit α j 0 Nach eventueller Umsortierung der v j können wir annehmen, dass α 1 0 Dann folgt: v 1 = 1 α 1 (w 1 α 2 v 2 α n v n ) lin(w 1,v 2,,v n ) Also erzeugt A := (w 1,v 2,,v n ) den ganzen Vektorraum V 2 Schritt: Jetzt schreiben wir w 2 als Linearkombination von w 1 und v 2,,v n in der Form: w 2 = β 1 w 1 +β 2 v 2 +β n v n Da w 1 und w 2 linear unabhängig sind, gibt es einen Index j 2 mit β j 0 Nach eventueller Umnumerierung von v 2,,v n können wir annehmen, dass β 2 0 Dann folgt: v 2 = 1 β 2 (w 2 β 1 w 1 β 3 v 3 β n v n ) lin(w 1,w 2,v 3,v n ) Also erzeugt A := (w 1,w 2,v 3,v n ) ebenfalls den ganzen Vektorraum V Entsprechend fahren wir fort Nach n Schritten sind alle v j ausgetauscht, und es folgt, dass die Menge A (n) = (w 1,,w n ) wiederum den ganzen Vektorraum V erzeugt Das bedeutet, dass die noch verbleibenden Vektoren w n+1,,w m aus der Basis B als Linearkombinationen der Vektoren (w 1,,w n ) geschrieben werden können Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von B qed 569 Folgerung (a) Jede linear unabhängige Teilmenge eines endlich erzeugten Vektorraums kann zu einer Basis ergänzt werden (b) Ist dimv = n, so bildet jede Teilmenge aus n linear unabhängigen Vektoren eine Basis (c) Ist W ein linearer Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraums V, so ist auch W endlich erzeugt und es gilt dimw dimv Gleichheit tritt nur genau dann ein, wenn W = V ist

9 126 Kapitel 5 Lineare Algebra Beweis (a) Sei B die linear unabhängige Teilmenge und A eine Basis von V Dann können wir, wie im Beweis des Hauptsatzes gezeigt, in der Basis A schrittweise Elemente durch Vektoren aus B ersetzen, ohne dabei die lineare Hülle zu ändern Sind alle Vektoren aus B eingefügt, erhalten wir die gewünschte Basis, die B enthält (b) Dies ergibt sich direkt aus (a) (c) Ist dimv = n, so besteht in V und damit auch in W jede linear unabhängige Teilmenge aus höchstens n Elementen Eine maximale linear unabhängige Teilmenge von W muss aber bereits ein Erzeugendensystem für W sein Also hat W eine Basis, diewir nach(a)zueinerbasisvon V ergänzenkönnen DarausfolgtdieBehauptung qed Wenden wir diese Folgerungen nun auf Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme an Sei A eine m n-matrix mit Einträgen im Körper K (K = R oder K = C) und sei L := {x K n Ax = 0} Dann ist L ein linearer Unterraum von K n und daher gilt dim(l) n Die Dimension von L gibt an, wieviele freie Parameter in der allgemeinen Lösung auftreten, und ist unabhängig davon, welche Beschreibung der Lösungsmenge man gewählt hat Das bedeutet auch, dass der Rang der Matrix A wohldefiniert ist Wir können nämlich festsetzen Rang(A) = n diml Hier ist noch eine andere Art, den Rang einer Matrix zu interpretieren: 5610 Bemerkung Sei A eine m n-matrix, und fassen wir die Zeilen von A als Vektoren in R n auf, die darin den Unterraum U erzeugen Dann ist dim(u) = Rang(A) Beweis Bei den elementaren Zeilenumformungen, die man macht, um die Matrix A auf Zeilenstufenform zu bringen, bleibt die lineare Hülle der Zeilen jeweils unverändert Ist aber A in Zeilenstufenform, dann tragen die Nullzeilen nichts zur linearen Hülle bei, und die insgesamt r Nichtnullzeilen erzeugen offenbar einen linearen Unterraum der Dimension r qed Beispiel Die Matrix A = hat den Rang 2, denn die entsprechende Zeilenstufenform enthält genau eine Nullzeile Die Zeilen der Matrix A, aufgefasst als Vektoren u = 3, v = 1, w = 7, erzeugen in R 3 eine Ebene, denn der Vektor w = 2u+v ist von u,v linear abhängig Daraus ergibt sich für quadratische Matrizen die folgende Beobachtung: 5612 Folgerung Eine n n-matrix A hat genau dann den Rang n, wenn die Zeilen von A, aufgefasst als Vektoren in R n, linear unabhängig sind Dies ist auch äquivalent dazu, dass die Spalten von A, aufgefasst als Vektoren im R n, linear unabhängig sind

10 56 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 127 Beweis Wie eben bemerkt, ist der Rang von A genau dann gleich n, wenn die Zeilen bereits den ganzen R n aufspannen, also eine Basis des R n bilden Ein Satz aus n Vektoren in R n ist aber genau dann eine Basis, wenn die n Vektoren linear unabhängig sind Nun haben wir bereits früher gesehen, dass der Rang von A genau dann gleich n ist, wenn die Determinante von A nicht verschwindet Ausserdem stimmt die Determinante von A mit der Determinante der transponierten Matrix A t, bei die Zeilen als Spalten geschrieben werden, überein Deshalb gilt auch die entsprechende Aussage über die Spalten von A qed Man kann also mithilfe der Determinante feststellen, ob ein vorgelegter Satz aus n Vektoren im R n linear unabhängig ist und damit eine Basis bildet 5613 Beispiel Die Vektoren 1 u = 2,v = ,w = bilden eine Basis des Raumes R 3, denn die Determinante der aus diesen drei Spalten gebildeten Matrix A ist det(a) =