Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Die Addition von Vektoren einführen. Walter Czech, Krumbach VORANSICHT

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1 Reihe 11 S 1 Verlauf Material Die Addition von Vektoren einführen Walter Czech, Krumbach Schlittenhunde Um die Gesamtkraft, mit der die Hunde am Schlitten ziehen, zu ermitteln, bedient man sich zweckmäßigerweise der Vektoraddition. Für zwei Hunde, die mit der Kraft F 1 bzw. F 2 am Schlitten ziehen, sieht dies dann so aus: Die Einzelkräfte F 1 und F 2 können durch die Resultierende R ersetzt werden. Rudolpho Duba / pixelio.de Klasse: 11/12 (G8) Dauer: Inhalt: 5 Stunden Vektoren addieren, Skalarmultiplikation Ihr Plus: Spielerisch lernen, Wiederholungsblatt, Lernerfolgskontrolle Auch andere physikalische Sachverhalte lassen sich gut mit Vektoren beschreiben. Der Beitrag führt die Vektorrechnung auf spielerische Weise vor. Ein Klausurvorschlag liegt bei.

2 Reihe 11 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Das Rechnen mit Vektoren aus r 2 oder r 3 ist im 17. Jahrhundert aus der Geometrie hervorgegangen. Die Gesetze, nach denen dieses Rechnen vor sich geht, entwickelte man im 19. Jahrhundert. Für die neue Methode der Vektorrechnung interessierten sich in der Folgezeit insbesondere die Physiker. Sie fanden heraus, dass man komplizierte Sachverhalte mithilfe der Vektorschreibweise viel übersichtlicher darstellen konnte als mit der üblichen Koordinatenschreibweise. Als die Mathematiker das Interesse der Physiker bemerkten, besannen sie sich der wegweisenden Vorarbeiten von Hermann Günther Grassmann ( ) und bauten diese zu einem neuen Zweig der Mathematik aus, der Vektorrechnung. Hinweise zur Gestaltung des Unterrichts Jeder hat es als Kind selbst erlebt: Spielen ist eine ganz natürliche Form, sich Wissen anzueignen. Diese Tatsache können Sie im Mathematikunterricht gewinnbringend nutzen. Mathematische Spiele eignen sich dazu, Ihre Schüler zum Lernen zu motivieren, ihr Interesse zu wecken und um sie schlichtweg Mathematik anders erleben zu lassen. Im folgenden Lernspiel geht es darum, Vektoren anhand von Rechenanweisungen zu addieren. Die Schüler kontrollieren selbstständig, ob ihre Lösung richtig ist. So bereiten Sie das Lernspiel vor Sie kopieren die Materialien M 1 M 5 in Klassenstärke. Notwendige Vorkenntnisse Ihre Schüler sind mit den Rechenregeln für das Addieren von Vektoren sowie der skalaren Multiplikation vertraut. Je nach Unterrichtssituation teilen Sie das Wiederholungsblatt M 1 aus. Hier ist das Basiswissen nochmals übersichtlich zusammengestellt. Ablauf Als Hausaufgabe bearbeiten Ihre Schüler Material M 2. Nachdem im Plenum die Lösungen vorgestellt wurden, bearbeiten die Lernenden selbstständig und eigenverantwortlich, aber in Kleingruppen (zum Beispiel durch Losverfahren bestimmt!) die Materialien M 3 und M 4 und präsentieren ihr Ergebnis (nach Losentscheid) anschließend im Plenum. Spielanleitung Auf Material M 3 sind die Vektoren a, b, c, u und x gegeben. Diese Vektoren sind entsprechend den Rechenanweisungen zu addieren. Gestartet wird jeweils vom Punkt X aus. Bei richtiger Addition führt der jeweilige Summenvektor zu einem bestimmten Buchstaben. Diese Buchstaben sind in die entsprechenden Felder einzutragen. Was ist geblieben? Die Gruppenarbeit wird mit einer Lernerfolgskontrolle (M 5) abgeschlossen. Sammeln Sie die Lösungen ein und bewerten Sie sie. Auf CD-ROM 55 finden Sie außerdem ein Blatt für Experten.

3 S 1 M 1 Was ist ein Vektor? Frischen Sie Ihr Wissen auf! Vektoren in der Ebene r 2 Vektoren in der Ebene sind Zahlenpaare aus r 2, z. B. 1 a = 3. Man gibt Vektoren in Spaltenform an. Allgemeine Darstellung: Ein Vektor (Zahlenpaar) aus r 2 lässt sich als Pfeil in der Ebene darstellen. 1 Um a = 3 zu erhalten, geht man vom Ursprung aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach oben. Allgemein wählt man bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem einen beliebigen Anfangspunkt. Dann bewegt man sich je nach Vorzeichen der Koordinaten um a 1 in Richtung (Gegenrichtung) der x 1 -Achse, um a 2 in Richtung (Gegenrichtung) der x 2 -Achse und kommt zum Endpunkt des Pfeils. a x 2 a 1 = 2 x 1 Berechnung eines Vektors aus Anfangspunkt A und Endpunkt B Aus der Figur liest man ab: b a b a = = = b a b AB b a

4 S 2 Die Addition von Vektoren Die Summe zweier Vektoren a und b ist wiederum ein Vektor und wird durch Aneinandersetzen der Pfeile verwirklicht. Man erhält den Summenvektor a+ b, indem man den Anfang des Vektors b an die Spitze des Vektors a verschiebt. Der Pfeil des Summenvektors c= a+ b beginnt im Fußpunkt des Pfeils von a und endet an der Spitze des Pfeils von b. In Kurzform: a+ b= c. Oder mit Zahlenpaaren geschrieben: a b a + b = = + = = b + b ; a ; b a b c Vektoren werden addiert, indem man die einander entsprechenden Koordinaten addiert. Die Subtraktion von Vektoren Werden die Vektoren a und b durch zwei Pfeile mit gleichem Anfangspunkt dargestellt, dann entspricht b a dem Pfeil, der vom Endpunkt von a zum Endpunkt von b führt. Oder mit Zahlenpaaren geschrieben: b1 a1 b1 a1 b a = = b b a Gesetze der Vektoraddition Kommutativgesetz Bei der Vektoraddition darf man die Summanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis, die Vektorsumme, ändert: a+ b= b+ a. Assoziativgesetz Bei Vektorsummen darf man Klammern umsetzen oder weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert: (a+ b) + c = a + (b+ c) = a+ b+ c

5 S 3 Gegenvektor: Der Gegenvektor von a= AB ist = a BA. Nullvektor: a+ a = o Mit o bezeichnet man den Nullvektor, d. h. den Vektor mit der Länge 0: ( ) Geometrische Darstellung der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalarmultiplikation) Sei a r 2 und r r. Werden die Vektoren a und r a durch Pfeile in der Ebene dargestellt, dann gilt: Der zu r a gehörige Pfeil hat die r -fache Länge des zu a gehörigen Pfeils. r heißt Skalar. Ist a o, dann sind die beiden Pfeile gleichsinnig parallel, falls r > 0, und ungleichsinnig parallel, falls r < 0. Mit Zahlenpaaren geschrieben: a1 ra1 a = ; r a = ; r 2 ra r 2 Es gilt das Distributivgesetz: r (a+ b) = ra+ rb Parallelogramm Ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind, heißt Parallelogramm. Beispiele:

6 S 6 M 3 Lösungsspruch gesucht ein Vektorrätsel So geht s a) Berechnen Sie die unten angegebenen Ausdrücke. Die entsprechenden Vektoren entnehmen Sie aus der Abbildung. b) Tragen Sie den Vektor, den Sie berechnet haben, in der zweiten Abbildung (M 4) am Punkt X ab. Wenn Sie richtig gerechnet haben, steht am Endpunkt des Vektors ein Buchstabe. Diesen Buchstaben tragen Sie unten auf Blatt 2 in die Tabelle ein. Selbstkontrolle: So erhalten Sie einen Lösungsspruch. Ausdrücke: 1. a+ u+ x 2. 2c+ 2a u 4. 2c 5. + a b 7. 3x a+ c 8. x (a 2b) + x a 3b 11. x+ u 13. 3x u c 14. a+ u 16. x+ u+ u 2x + 0,5 c 17. 2x+ c Grafische Darstellung 3. c x 6. 2u+ x + 3c 9. c 2c 12. c a u 15. b

7 S 7 M 4 Lösungsspruch gesucht ein Vektorrätsel Lösung: !

8 S 1 Lösungen M 2 Anwendungen hier wiederholen Sie das Gelernte! 1. a) b) c)

9 M 1 Was ist ein Vektor? Frischen Sie Ihr Wissen auf! Vektoren in der Ebene r 2 Vektoren in der Ebene sind Zahlenpaare aus r 2, z. B. x 2 1 a = 3. Man gibt Vektoren in Spaltenform an. Allgemeine Darstellung: Ein Vektor (Zahlenpaar) aus r 2 lässt sich als Pfeil in der Ebene darstellen. 1 Um a = 3 zu erhalten, geht man vom Ursprung aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach oben. Allgemein wählt man bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem einen beliebigen Anfangspunkt. Dann bewegt man sich je nach Vorzeichen der Koordinaten um a 1 in Richtung (Gegenrichtung) der x 1 -Achse, um a 2 in Richtung (Gegenrichtung) der x 2 -Achse und kommt zum Endpunkt des Pfeils. a1 a = 2 x 1 Berechnung eines Vektors aus Anfangspunkt A und Endpunkt B Aus der Figur liest man ab: Die Subtraktion von Vektoren Werden die Vektoren a und b durch zwei Pfeile mit gleichem Anfangspunkt dargestellt, dann entspricht b a dem Pfeil, der vom Endpunkt von a zum Endpunkt von b führt. Oder mit Zahlenpaaren geschrieben: b1 a1 b1 a1 b a = = b b a Gesetze der Vektoraddition Kommutativgesetz Bei der Vektoraddition darf man die Summanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis, die Vektorsumme, ändert: a+ b = b+ a. Assoziativgesetz Bei Vektorsummen darf man Klammern umsetzen oder weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert: (a+ b) + c = a + (b+ c) = a+ b+ c Gegenvektor: Der Gegenvektor von a= AB ist a= BA. Nullvektor: Mit o bezeichnet man den Nullvektor, d. h. a+ a = o den Vektor mit der Länge 0: ( ) b a b a = = = b a b AB b a Die Addition von Vektoren Die Summe zweier Vektoren a und b ist wiederum ein Vektor und wird durch Aneinandersetzen der Pfeile verwirklicht. Man erhält den Summenvektor a + b, indem man den Anfang des Vektors b an die Spitze des Vektors a verschiebt. Der Pfeil des Summenvektors c = a + b beginnt im Fußpunkt des Pfeils von a und endet an der Spitze des Pfeils von b. In Kurzform: a+ b= c. Oder mit Zahlenpaaren geschrieben: a b a + b = = + = = ; b + b a ; b a b c Geometrische Darstellung der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalarmultiplikation) Sei a r 2 und r r. Werden die Vektoren a und r a durch Pfeile in der Ebene dargestellt, dann gilt: Der zu r a gehörige Pfeil hat die r -fache Länge des zu a gehörigen Pfeils. r heißt Skalar. Ist a o, dann sind die beiden Pfeile gleichsinnig parallel, falls r > 0, und ungleichsinnig parallel, falls r < 0. Mit Zahlenpaaren geschrieben: a1 ra1 a = ; r a = ; r 2 ra r 2 Es gilt das Distributivgesetz: r (a+ b) = ra+ rb Parallelogramm Ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind, heißt Parallelogramm. Beispiele: Vektoren werden addiert, indem man die einander entsprechenden Koordinaten addiert.