Vektorrechnung der Ebene 5.Klasse

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1 Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 07 Übungskapitel Kompetenzen und Standards zur Vektorrechnung der Ebene 5.Klasse Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse) Arten von Vektoren : Normalvektor, Nullvektor, Einheitsvektor, Richtungsvektor definieren, zeichnen, skizzieren und berechnen können Darstellung von Vektoren im Koordinatensstem- erkennen aus Schaubildern und anfertigen aus einer Angabe können Skalarprodukt definieren können Skalarmultiplikation durchführen Vektor-Winkel-Formel kennen Orthogonalität: ONB (Orthogonalitätsbedingung) Parallelitätskriterium,Inzidenzkriterium definieren und anwenden können Ziel dieses Kapitels (dieses Übungsleuchtturms) ist: Festigung in der Vektorrechnung und analtischen Geometrie der Ebene durch Anwendung von Formelkenntnissen und Interpretation als Basis der analtischen Geometrie der Ebene Lösungen findest du ab Seite 8 Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite

2 0.) Berechne die Längen der 3 Seiten des Dreiecks mittels Pfeilen (Vektoren) Überprüfe deine Berechnung anhand einer Zeichnung im Koordinatensstem.) Dreieck ABC [ A ( 9 / 6) B( 7 /,5) C( 7.5/ 8) ].) Dreieck HGC [ H ( 4,5/ 3) G( 6,5/,5) C(.5/ 4) ] 3.) Dreieck XYT [ X ( 5/ 4) Y ( 6 / 0,5) T ( 4 /,5) ] Spielt es für die Distanzberechnung eine Rolle, wenn du die Richtung der Vektoren änderst?- d.h.die Spitze umdrehst?.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Ein Vektor ist die Menge aller gleich langen und gleich gerichteten Pfeile (der Zeichenebene).) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Die Spitze Minus Schaft Regel eines Pfeils BV der die Strecke BV repräsentiert, besagt, dass der Anfangspunkt B der Strecke BV vom Endpunkt V subtrahiert wird. 3.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Betrag eines Vektors ist definiert als die Wurzel aus der Summe seiner quadrierten Eintragungen.(-Koordinate zum Quadrat plus -Koordinate zum Quadrat) 4.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! l Der Betrag eines Vektorsl ist l l l l Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite

3 3 5.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Betrag eines Vektors NO O N Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! 6.) Der Summenvektor zweier Vektoren g und h entspricht der Normalen auf den Vektor h Zusatz: Berechne den Summenvektor der beiden Vektoren 9 g und h. 4 Stelle diesen grafisch dar. 7.) Ergänze: Die beiden Vektoren g und h werden subtrahiert,indem 8.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Multiplizieren wir den Vektor g mit dem r 7 (Ergänze!) 4 so führt dies zu einer Streckung, mit r 49 zu einer Stauchung. Berechne jeweils den Vektor der durch die Multiplikation mit dem Skalar entsteht. Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 3

4 4 9.) Ergänze: Die Skalarmultiplikation eines Vektors f mit z IR wird eakt definiert mit Gib dazu ein selbstgewähltes Beispiel an! 0.) Zeichne den Vektor (Pfeil) 3 u im Koordinatensstem 8 Zeichne einen zu u parallelen Pfeil und formuliere das Parallelitätskriterium für diese beiden Pfeile..) Überprüfe rechnerisch vektoriell, ob die beiden Vektoren zueinander parallel sind! Setze ein Zeichen ein.) 4 z 4 z 3.) g 39 5 p 56 g p ) k m k m ) c c.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Halbierungspunkt der Strecke CX wird durch die Formel X C berechnet. Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 4

5 5 3.) Wo finden Halbierungspunkte von Strecken im Sinne der Vektorrechnung ihre Anwendung? 4.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Ein Richtungsvektor ist ein Vektor mit der Länge auf einer Strecke. 5.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! 3 s wäre ein Richtungsvektor von s ) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Nullvektor ist ein Vektor,der die Länge 0 besitzt,ist daher der Ursprung im Koordinatensstem, ein Pfeil, den wir nur als Punkt sehen. 7.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Ein Ortsvektor hat seine Spitze im Ursprung des Koordinatensstems. 8.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Einheitsvektor findet seine Anwendung beim Abtragen von Strecken oder zur Bildung des Seitenmittelpunktes sowie zur Überprüfung der Parallelität zweier Vektoren. 9.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Die Formel für den Einheitsvektor ist e 0 e e Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 5

6 6 0.)Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Einheitsvektor von 3 s ist 39 s ,9.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Seien i und g Vektoren. Ihr Skalarprodukt ist definiert durch i i g i + g + g.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Das Ergebnis des skalaren Produkts ist stets eine reelle Zahl. 3.)Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Das skalare Produkt von.) und z 4 4 zist ) g p g 39 und 56 pist ) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Den zu rechtsgekippten orthogonalen Vektor erhalten wir,indem wir das 4 Vorzeichen der -Koordinate ändern. 5.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Zu einem Vektor der Ebene gibt es stets orthogonale Vektoren. Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 6

7 7 6. )Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Bilden wir das skalare Produkt eines Vektors mit seinem linksgekippten orthogonalen Vektor,so erhalten wir 0 als Ergebnis. 7.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Das Skalarprodukt aus jedem linksgekippten orthogonalen Vektor und rechtsgekippten orthogonalen Vektor ist stets ungleich Null. 8.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! 5 l 56 p p ) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! z 4 r z 4 30.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Bilden wir das skalare Produkt eines Vektors mit seinem linksgekippten orthogonalen Vektor,so erhalten wir 0 als Ergebnis.Dies entspricht dem Orthogonalitätskriterium. 3.) Überprüferechnerisch vektoriell, ob die beiden Vektoren zueinander normal sind! Setze ein Zeichen ein.) z z 3.) g 39 5 p 48 g p ) k m k m ) c c ) Der Winkel zwischen Vektoren wird berechnet mit dem Sinus des Winkels aus dem Skalaren Produkt der Schenkelvektoren dividiert durch das Produkt deren Beträge. Gib die Formel an. Ein Teil des Bruches scheint die Einheitsvektorformel zu sein. Korrekt? Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 7

8 8 Lösungen 0.).) c AB 6,4LE a BC 5,5LE b AC, 5LE.) HG,3LE GC 8,4 LE CH 7, 6LE Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 8

9 9 3.) YX,5LE TX 6,58LE YT 0, 4LE Die Richtung der Vektoren spielt für die Distanzberechnung keine Rolle!!! zb HG G H 6,5 + 4,5, ,5 + 5,5,98 GH H G 5,5 ( ) + ( 5,5), 98 Durch das Quadrieren wird das negative Vorzeichen positiv!!!!! Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 9

10 0.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Ein Vektor ist die Menge aller gleich langen und gleich gerichteten parallelenpfeile (der Zeichenebene).) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Die Spitze Minus Schaft Regel eines Pfeils BV der die Strecke BV repräsentiert, besagt, dass der Anfangspunkt B der Strecke BV vom Endpunkt V subtrahiert wird.richtig 3.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Betrag eines Vektors ist definiert als die Wurzel aus der Summe seiner quadrierten Eintragungen.(-Koordinate zum Quadrat plus -Koordinate zum Quadrat) richtig mathematisch übersetzt bedeutet dies l Der Betrag eines Vektorsl ist l l l + l 4.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! l Der Betrag eines Vektorsl ist l l l + l 5.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Betrag eines Vektors NO O N richtig Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 0

11 Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 6.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Summenvektor zweier Vektoren g und hentspricht der Diagonalen eines durch die Pfeile g und h aufgespannten Parallelogramms. Zusatz: Berechne den Summenvektor der beiden Vektoren 4 g und 9 h. Stelle diesen grafisch dar. + g h ) Ergänze: Die beiden Vektoren g und h werden subtrahiert, indem der Gegenvektor von h zum Vektor g addiert wird!!!! g + h g h g h h g g h

12 8.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Multiplizieren wir den Vektor g mit dem 4 Skalar r 7 (Ergänze!) so führt dies zu einer Änderung der Orientierung, mit r 49 zu einer Streckung. Berechne jeweils den Vektor der durch die Multiplikation mit dem Skalar entsteht. ( 7) 4 ( 7) 4 ( 7) ) Ergänze: Die Skalarmultiplikation eines Vektors f mit z IR wird eakt definiert mit z f f z f z f z f Bsp: z 9 f Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite

13 3 0.) Zeichne den Vektor (Pfeil) 3 u im Koordinatensstem 8 Zeichne einen zu u parallelen Pfeil 6 v 6 ist zum Beispiel parallel zu 3 u 8 oder.5 w 4 und formuliere das Parallelitätskriterium für diese beiden Pfeile. u v v u s v u v s u 3 s ( 6) s 8 s 6 s Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 3

14 4.) Überprüfe, ob die beiden Vektoren zueinander parallel sind! Setze ein Zeichen ein.) 4 z 4 z nicht parallel 4 s s 4 3.) g 39 5 p 56 g p nicht parallel s s ) k m k m parallel s + s ) c c parallel s s 9 9 nicht parallel zu.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Halbierungspunkt der Strecke CX wird durch die Formel C + X berechnet. 3.) Wo finden Halbierungspunkte von Strecken im Sinne der Vektorrechnung ihre Anwendung? Etwa bei der Berechnung der Seitensmmetrale oder Schwerlinie im Dreieck 4.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Ein Richtungsvektor ist ein Vektor mit der Länge auf einer Strecke.Richtig Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 4

15 5 5.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! 3 s wäre ein Richtungsvektor von s richtig ) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Nullvektor ist ein Vektor,der die Länge 0 besitzt,ist daher der Ursprung im Koordinatensstem, ein Pfeil, den wir nur als Punkt sehen.richtig 0 O O ) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Ein Ortsvektor hat seinen Schaft (Anfangspunkt)im Ursprung des Koordinatensstems. 8.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Einheitsvektor findet seine Anwendung beim Abtragen von Strecken. richtig oder zur Bildung des Seitenmittelpunktes sowie zur Überprüfung der Parallelität zweier Vektoren.falsch 9.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Die Formel für den Einheitsvektor ist e 0 e e 0.)Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Der Einheitsvektor von 3 3 s ist 0,0963 s falsch,9 3,9 Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 5

16 6 Korrekte Berechnung: 3 s s 39 s 0 s ,36 0,949.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Seien i und g Vektoren. Ihr Skalarprodukt ist definiert durch i g i g + i g ZAHL Keine Vektorklammer!!!.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Das Ergebnis des skalaren Produkts ist stets eine reelle Zahl.richtig 3.)Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Das skalare Produkt von.) und z 4 4 zist -709 z falsch ) g p g 39 und 56 pist g p richtig Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 6

17 7 4.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Den zu rechtsgekippten orthogonalen Vektor erhalten wir,indem wir die 4 Koordianten vertauschen und das Vorzeichen der -Koordinate ändern. n 4 r 4 5.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Zu einem Vektor in der Ebene gibt es stets orthogonale Vektoren.richtig 6.)Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Bilden wir das skalare Produkt eines Vektors mit seinem linksgekippten orthogonalen Vektor,so erhalten wir 0 als Ergebnis.richtig z.b. n 4 l Orthogonalitätskriterium. 4 Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 7

18 8 7.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Das Skalarprodukt aus jedem linksgekippten orthogonalen Vektor und rechtsgekippten orthogonalen Vektor ist stets ungleich Null.richtig z.b. n 4 l 4 n 4 r 4 l r ) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! 5 p 56 l 56 p 5 richtig 9.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! z 4 r 4 r 4 z falsch z 30.) Gib an, ob die Behauptung richtig oder falsch ist.stelle gegebenenfalls richtig! Bilden wir das skalare Produkt eines Vektors mit seinem linksgekippten orthogonalen Vektor,so erhalten wir 0 als Ergebnis.Dies entspricht dem Orthogonalitätskriterium. richtig siehe 7.) z.b. n 4 l Orthogonalitätskriterium. 4 Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 8

19 9 3.) Überprüfe, ob die beiden Vektoren zueinander normal sind! Setze ein Zeichen ein.) z nicht normal zu z 3.) g 39 5 p 48 g nicht normal zu p ) k m k m ) c 9 3 c 3.) Der Cosinus des Winkels zwischen Vektoren ist das Skalare Produkt der Schenkelvektoren dividiert durch das Produkt deren Beträge. Gib die Formel an. Ein Teil des Bruches scheint die Einheitsvektorformel zu sein. Korrekt? cosϕ i j i j i i und j j Einheitsvektorformelrichtig Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE (&4.kl.)-Klasse-Nr.07- Vektorrechnung-Kompetenzen und Standrds- C b Joh Zerbs Seite 9