8 Kinetik der allgemeinen Starrkörperbewegung

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1 57 Die allgemeine Starrkörperbewegung ist eine Überlagerung von Translation und Rotation mit je 3 Freiheitsgraden. Dem entsprechen 6 Gleichungen, die aus Impuls- und Drallsat resultieren. Der Impuls eines starren Körpers läßt sich auf ein Produkt aus Masse und Schwerpunktsgeschwindigkeit urückführen. Hinsichtlich der Translation verhält sich ein Körper damit wie ein Massenpunkt, der durch Konentration der gesamten Körpermasse im Schwerpunkt entsteht. Die einfachste Form des Impulssates ergibt sich mit dem Schwerpunkt als Beugspunkt und entspricht der Formulierung beim Massenpunkt. Der Drall eines Körpers ist als Impulsmoment beüglich eines raumfesten Punktes definiert. Führt man einen körperfesten Beugspunkt ein, ergibt sich der Drall analog den Beiehungen der reinen Drehung als Produkt aus Trägheitstensor und Winkelgeschwindigkeitsvektor uüglich einiger Korrekturterme aufgrund der Bewegung des Beugspunkts. Besonders einfach wird die Formulierung wiederum mit dem Schwerpunkt als Beugspunkt. Durch Ableiten beüglich eines raumfesten Sstems und Gleichseten mit dem äußeren Moment erhält man den Drallsat. Dieser hat sowohl im körperfesten als auch im raumfesten Koordinatensstem formal die gleiche Gestalt. Bei der ebenen Bewegung entfällt die Impulsgleichung in die Richtung senkrecht ur Bewegungsebene, so dass nur die beiden Gleichungen in der Bewegungsebene verbleiben. Der Drallsat wird auf die Normalenrichtung projiiert und reduiert sich dabei auf eine einelne Gleichung. Damit ergeben sich insgesamt 3 Gleichungen für die 3 Freiheitsgrade der ebenen Bewegung.

2 Impuls und Drall eines Starrkörpers Starrkörperkinematik r r r v v r r (t) v r (t) v Impuls eines Starrkörpers Impuls eines Massenpunkts dm dp v dm v Gesamtimpuls des Körpers p dp vdm K K r C dm Starrkörperkinematik v v r p mv m r C : körperfester Beugspunkt Sonderfall: C Schwerpunkt p mv C

3 59 Drall eines Starrkörpers Impulsmoment eines Massenpunkts be. dl r dp r vdm Gesamtdrall des Körpers r dp r vdm L K K Starrkörperkinematik r r r, v v r L L m r v r C r C v Drall be. des körperfesten Beugspunkts : im körperfesten Sstem: im raumfesten Sstem: L K I K K, I K const. L K SL K SI K S T K I K (t) K Sonderfälle: Fipunkt L L I C Schwerpunkt L L C mr C v C I C mr C v C

4 Impuls- und Drallsat Nach Reduktion eines allgemeinen Kräftesstems auf den resultierenden Kraftwinder be. eines raumfesten Beugspunkts lassen sich folgende Gesete auf den starren Körper anwenden: F 1 M 1 Aiome von Euler (1775) F 2 Impulssat und Drallsat sind unabhängige Aiome, denen die allgemeine Bewegung eines starren Körpers gehorcht: Impulssat: dp F M Drallsat: dl M F Alternative Formulierungen des Impulssates körperfester Beugspunkt : p mv m rc M dp m dv m d r C m dr C F ma m. r C m r C F Sonderfall: C Schwerpunkt ma C F ma C F ma C F ma C F

5 61 Alternative Formulierungen des Drallsates körperfester Beugspunkt : L L m r v r C r C v dl dl mv v r C r m a. r C r C m r C v mr C a M M r F dl mr C a M Sonderfälle: Fipunkt dl C Schwerpunkt dl C M M C Rechnung in raum- und körperfesten Koordinatensstemen: dl C dl C L C M C in K : in K : dl CK L. CK I CK. K dl C SL K. CK SI CK. K SI CK ST. K I CK (t). K Der Drallsat hat beiden Koordinatensstemen die gleiche Form: I C K. K ~ K I CK K M CK I C K. K ~ K I CK K M CK resultierendes Moment auf Körper be. Schwerpunkt C absolute Winkelgeschwindigkeit des Körpers Trägheitstensor des Körpers be. Schwerpunkt C absolute Winkelbeschleunigung

6 Kinetik der ebenen Bewegung In vielen Fällen genügt eine ebene Betrachtung des Sstems,.B. Bewegung in der, -Ebene, Drehung um die -Achse. M C F C Impulssat: ma C F ma C F Drallsat: I C. M C, C : Schwerpunkt oder I. M, : Fipunkt I C e T I C e