Konvexe Mengen und konvexe Funktionen

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1 Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Lehrstuhl I: Analysis Ausarbeitung Analysis III Seminar Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Name: Jessica Prang Datum: Seminarleiter: Prof. Dr. Matthias Röger

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen 4 3 Konvexe Mengen 6 4 Konvexe Funktionen 11 5 Wichtige Ungleichungen 21 6 Literaturverzeichnis 28 7 Abbildungsverzeichnis 29

3 1 Einleitung Konvexe Mengen und konvexe Funktionen begegnen uns in vielen Teilgebieten der Mathematik. Konvexe Mengen finden wir häufig in der Geometrie, aber auch in der Analysis sind sie Teil der Lehre. Eine durchaus größere Bedeutung wird hier jedoch den konvexen Funktionen zugeschrieben. Diese treten zusätzlich auch viel in der Optimierung auf, denn mit ihnen können Problemstellungen angemessen bearbeitet werden. Im folgenden wird zunächst eine Einführung in die konvexen Mengen stattfinden. Danach wird auf konvexe Funktionen und in diesem Zusammenhang wichtige Sätze eingegangen werden. Im Anschluss werden mit Hilfe der konvexen Funktionen einige wichtige Ungleichungen angeführt.

4 2 Grundlagen 2.1 Definition: Kugel Sei X ein metrischer Raum und a X und r > 0. Dann definiert man eine (offene) Kugel mit dem Mittelpunkt a und Radius r durch B r (a) := {x X : d(x, a) < r}. 2.2 Definition: Hyperebene und Halbraum Seien a R n, a 0, und R gegeben. Dann heißt die Menge H(a, ) = {x R n : a T x = } von a und induzierte Hyperebene. Eine Hyperebene H(a, ) erzeugt durch H(a, ) = {x R n : a T x } und H(a, ) = {x R n : a T x } zwei Halbräume. 2.3 Definition: Regelfunktion Es sei I R ein Intervall mit den Grenzen a, b. Eine Funktion f : I R heißt Regelfunktion, wenn folgendes gilt: 1. Für jeden Punkt x (a, b) existieren in R der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert.

5 2.3 Definition: Regelfunktion 5 2. Wenn der Anfangspunkt a I liegt, so existiert der rechtsseitige Grenzwert in R. 3. Wenn der Endpunkt b I liegt, so existiert der linksseitige Grenzwert in R. Die Menge der Regelfunktionen auf I wird mit R(I) bezeichnet.

6 3 Konvexe Mengen 3.1 Definition: Konvexe Menge Eine Menge K des R n heißt konvex, wenn mit x, y K auch die Strecke [x, y] := {λx + (1 λ)y : 0 λ 1} zu K gehört. 3.2 Bemerkungen 1. Es gilt [x, y] = [y, x]. 2. Für n = 1 und x < y ist die Strecke [x, y] das Intervall {z R : x z y}. Wählt man z = x + t(y x) = (1 t)x + ty mit 0 t 1 für die Punkte von [x, y], so ist z = x für t = 0 und z = y für t = 1. Wandert t von 0 nach 1 so werden die Punkte von [x, y] monoton von x nach y durchlaufen. 3.3 Beispiele 1. Jede Kugel B r (x 0 ) ist konvex. Beweis: Aus x x 0 < r und y x 0 < r folgt für 0 λ 1 das gilt λx + (1 λ)y x 0 = λ(x x 0 ) + (1 λ)(y x 0 ) λ x x 0 + (1 λ) < λr + (1 λ)r = r. 2. Jede affine Hyperebene E in R n ist konvex. Beweis: E ist gegeben durch die Gleichung a, x = c mit a R n, c R n und a 0. Dann

7 3.4 Definition: konvexe Kombination 7 folgt aus x E und y E, dass a, λx + (1 λ)y = λ a, x + (1 λ) a, y = λc + (1 λ)c = c gilt. Damit gilt λx + (1 λ)y E. Man benötigt für diesen Beweis nicht einmal dass 0 λ 1 ist. 3. Jeder Halbraum H := {x R n : a, x c} ist konvex. Beweis: Aus a, x c und a, y c folgt für 0 λ 1 das gilt: a, λx + (1 λ)y = λ a, y λc + (1 λ)c = c. 4. Die Schnittmenge beliebig vieler konvexer Mengen ist konvex. 5. Graphische Darstellung: Abbildung 3.1: Konvexe und nicht konvexe Menge 3.4 Definition: konvexe Kombination Sind x 1, x 2,..., x k R n und λ 1, λ 2,..., λ k reelle Zahlen mit λ 1 + λ λ k = 1 und λ j 0 für 1 j k, so ist x := λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k (3.1) eine konvexe Kombination der Punkte x 1, x 2,..., x k.

8 3.5 Satz Satz Eine Menge K des R n ist genau dann konvex, wenn jede konvexe Kombination von Punkten aus K wieder in K liegt. Beweis: Rückrichtung: Die Bedingung ist hinreichend. Betrachte k = 2: x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2, mit der Definition 3.4 folgt wegen λ 1 + λ 2 = 1, dass x geschrieben werden kann als x = λ 1 x 1 + (1 λ 1 )x 2. Das entspricht eben der Definition von konvex. Damit ist die Rückrichtung gezeigt. Hinrichtung: Vollständige Induktion nach k. Induktionsanfang: Für k = 2 gilt: x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2. Da K konvex ist, ist λ 1 + λ 2 = 1, mit λ 1 0 und λ 2 0 und somit gilt x K. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für k Punkte aus K. Induktionsschritt: k k + 1 Sei x := λ 1 x λ k+1 x k+1 mit 0 λ 1 und λ λ k+1 = 1 für alle k +1 Punkte x 1,..., x k+1 aus K. Falls λ k+1 = 1 x = x k+1 K. Falls λ k+1 < 1 λ λ k = 1 λ k+1 > 0. ( Somit lässt x sich schreiben als x = (λ λ k ) λ k+1 x k+1. Nach Induktionsannahme gilt: y = λ 1 λ λ k x λ 1 λ λ λ k x k λ λ k x k mit y K. λ k λ λ k x k ) + Es gilt: λ λ k = 1 λ k+1 > 0, dies wieder in die Gleichung x = (λ ( ) λ λ k ) 1 λ λ λ k x k λ λ k x k + λ k+1 x k+1 eingesetzt, liefert: x = (1 λ k+1 )y + λ k+1 x k+1, was somit eine konvexe Kombination von zwei Punkten aus K ist, weil K konvex ist. Es folgt somit x K, wenn K konvex ist.

9 3.6 Definition: k-simplex Definition: k-simplex Sei k {1,..., n}. Die Menge der konvexen Kombinationen von k+1 Punkten x 0, x 1,..., x k des R n mit 1 k n wird als k-simplex mit den Eckpunkten x 0, x 1,..., x k bezeichnet, falls die Vektoren x 1 x 0,..., x k x 0 linear unabhängig sind. 3.7 Beispiele 1. 1-Simplex = Strecke 2. 2-Simplex = Dreieck 3. 3-Simplex = Tetraeder 3.8 Definition: Stützhalbraum Sei K eine abgeschlossene Menge des R n mit K, R n. Dann nennt man einen Halbraum H := {x R n : a, x c} mit a 0 einen Stützhalbraum von K, wenn K H ist und die Hyperebene E = H = {x R n : a, x = 0} mindestens einen Punkt von K enthält. E heißt Stützhyperebene von K. 3.9 Bermerkung Ist H K die Menge aller Stützhalbräume von K, R n, dann gilt: K H =: K. (3.2) H H K 3.10 Satz Für jede abgeschlossene konvexe Menge K, R n gilt: K = H. (3.3) H H K

10 3.10 Satz 10 Beweis: : Gäbe es einen Punkt ξ K \K, so sei x 0 K ein Punkt mit ξ x 0 = d(ξ, K). Das bedeutet: ξ x 0 ξ x x K (3.4) Sei H 0 := {x R n : x 0 ξ, x x 0 0}. Weil gilt x 0 ξ, ξ x 0 = ξ x 0 2 < 0 folgt, dass ξ / H 0. Außerdem gilt K H 0. Weil x 0 H 0 ist, wäre H 0 dann Stützhalbraum von K und daher auch ξ K H 0. Das ist ein Widerspruch zur Annahme ξ K \K. : Sei x ein beliebiger Punkt x von K. Dann folgt tx+(1 t)x 0 K für alle t [0, 1]. Und wegen (2.4) gilt außerdem für alle t [0, 1], dass ξ x 0 (ξ x 0 ) t(x x 0 ) also auch ξ x 0 2 (ξ x 0 ) t(x x 0 ) 2 = ξ x 0 2 2t ξ x 0, x x 0 + t 2 x x 0 2 = ξ x t x 0 ξ, x x 0 + t 2 x x 0 2. Hieraus folgt: 2t ξ x 0, x x 0 +t 2 x x und somit x 0 ξ, x x 0 + t 2 x x für alle t [0, 1]. Mit t 0 ergibt sich x 0 ξ, x x 0 0 für alle x K, damit ist gezeigt, dass K H 0 ist.

11 4 Konvexe Funktionen 4.1 Definition: (strikt) konvex Eine auf einer konvexen Menge K des R n definierte Funktion f : K R heißt konvex, wenn f(λx + µy) λf(x) + µf(y) (4.1) für beliebige λ, µ [0, 1] mit λ + µ = 1 und für alle x, y K gilt. f heißt strikt konvex, wenn sogar f(λx + µy) < λf(x) + µf(y) (4.2) für x y und 0 < λ, µ < 1, λ + µ = 1, x, y K erfüllt ist. Abbildung 4.1: Konvexe Funktion

12 4.2 Definition: Epigraph Definition: Epigraph Die Menge Epi(f) := {(x, z) R n R : x K, z f(x)} (4.3) heißt Epigraph der Funktion f : K R. Abbildung 4.2: Epigraph einer konvexen Funktion 4.3 Satz Eine auf einer konvexen Menge K R n definierte Funktion f : K R ist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph konvex ist. Beweis: Hinrichtung: Seien x = (x 1, x 2 ) und y = (y 1, y 2 ) aus Epi(f) und λ [0, 1] mit x 1, y 1 R n und x 2, y 2 R. Sei z = (z 1, z 2 ) := λx + (1 λ)y = (λx 1 + (1 λ)y 1, λx 2 + (1 λ)y 2 ). Dann gilt: z 2 = λx 2 + (1 λ)y 2 λf(x 1 ) + (1 λ)f(y 1 ) f(λx 1 + (1 λ)y 1 ) = z 1 also z Epi(f). Rückrichtung: Sei Epi(f) konvex und (f(x), x), (f(y), y) aus Epi(f) und λ [0, 1] so, dass f(λx + (1 λ)y) > λf(x) + (1 λ)f(y), f also nicht konvex. Damit folgt

13 4.4 Definition: (strikt) konkav 13 λ(x, f(x)) + (1 λ)(y, f(y)) = (λx + (1 λ)y, λf(x) + (1 λ)y) / Epi(f). Dann wäre Epi(f) nicht konvex und es kommt zum Widerspruch. 4.4 Definition: (strikt) konkav Wenn statt (4.1) bzw. (4.2) die Ungleichungen f(λx + µy) λf(x) + µf(y) bzw. f(λx + µy) > λf(x) + µf(y) gelten, nennt man f konkav bzw. strikt konkav. 4.5 Bemerkung Eine Funktion f ist konkav bzw. strikt konkav, wenn f konvex bzw. strikt konvex ist. 4.6 Satz Sei Ω eine offene konvexe Menge des R n. Dann gilt: 1. Eine Funktion f C 1 (Ω) ist genau dann konvex, wenn die Ungleichung f(x + h) f(x) + f(x), h (4.4) für alle x und x + h Ω erfüllt ist. 2. Eine Funktion f C 1 (Ω) ist genau dann strikt konvex, wenn die Ungleichung f(x + h) > f(x) + f(x), h (4.5) für alle x und x + h Ω mit h 0 erfüllt ist.

14 4.6 Satz 14 Geometrische Bedeutung im R: Stellt man (4.4) um zu f(x + h) f(x) h f (x) erhält man anschaulich, dass die Steigung der Sekanten durch die Punkte x und x + h größer ist als die Tangentensteigung der Tangente im Punkt x. Beweis zu 1.: Hinrichtung: Seien f konvex, t (0, 1) und x, x + h Ω. Dann gilt x + th Ω und mit Definition (4.1) folgt: f(x + th) (1 t)f(x) + tf(x + h) f(x + th) f(x) tf(x) + tf(x + h) f(x + th) f(x) 1 [f(x + th) f(x)] t 1 [f(x + th) f(x)] f(x), h t t[f(x + h) f(x)] f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) f(x), h. Lässt man t 0 laufen, so erhält man: 0 f(x + h) f(x) f(x), h 0 f(x + h) + f(x) + f(x), h f(x + h) f(x) + f(x), h. Rückrichtung: Annahme: (4.4) gilt. Für beliebige x, y Ω mit x y setzen wir z := tx + (1 t)y mit t (0, 1) und h := x z. Dann folgt für z Ω: z = tx + (1 t)y y = 1 (z tx) 1 t y = 1 (z tz tx + tz) 1 t y = 1 (z(1 t) tx + tz) 1 t y = z 1 t(x z) 1 t y = z t 1 t h.

15 4.6 Satz 15 Aus (4.4) folgt somit: f(y) f(z) t f(z), h und f(x) f(z) + f(z), h. 1 t Multiplikation der ersten Ungleichung mit 1 t liefert: (1 t)f(y) (1 t)[f(z) t f(z), h ] 1 t f(y) tf(y) f(z) tf(z) t f(z), h. Multiplikation der zweiten Ungleichung mit t ergibt: tf(x) tf(z) + t f(z), h. Addition beider Ungleichungen liefert: f(y) tf(y) + tf(x) f(z) tf(z) t f(z), h + ff(x) + t f(z), h f(y) tf(y) + tf(x) f(z) tf(x) + (1 t)f(y) f(z) für 0 < t < 1 und damit ist f konvex. Beweis zu 2.: Rückrichtung: Gilt nun die stärkere Ungleichung (4.5), so folgt wegen h = x z mit z = tx + (1 t)y: h = x z = x (tx + (1 t)y) = (1 t)(x y) 0 und somit folgt, wie bei dem Beweis zu 1.: f(y) > f(z) t f(z), h und f(x) > f(z) + f(z), h. 1 t Multipliziert man die erste Ungleichung mit 1 t und die zweite mit t und addiert sie anschließend, ergibt sich die Ungleichung: tf(x) + (1 t)f(y) > f(z) für t (0, 1) und x y.

16 4.7 Satz 16 Hinrichtung: Sei nun f strikt konvex. Wählt man t (0, 1) und x, x + h Ω mit h 0. Aus dem Beweis zu 1. wissen wir, dass f(x + th) f(x) f(x), th (4.6) ist. Die strikt Konvexität liefert: f(x + th) = f(x + th + tx tx) = f(t(x + h) + (1 t)x) < tf(x + h) + (1 t)f(x) also f(x + th) f(x + th) < tf(x + h) + (1 t)f(x) < tf(x + h) + f(x) tf(x) f(x + th) f(x) < t[f(x + h) f(x)] (4.7) Mit (4.6) und (4.7) folgt: t[f(x + h) f(x)] > f(x), th und somit f(x + h) f(x) > f(x), h. 4.7 Satz Sei Ω eine offene konvexe Menge des R n, f C 2 (Ω) und H f = D 2 f. Dann gilt: 1. f ist genau dann konvex (konkav), wenn H f (x) 0 ( 0) auf Ω ist. 2. Wenn H f (x) > 0 (< 0) ist, dann ist f strikt konvex (strikt konkav). Beweis zu 1.: Rückrichtung: Für x, x + h Ω liegt [x, x + h] in Ω, da Ω konvex ist. Dann liefert die Taylorsche Formel: f(x + h) = f(x) + f(x), h h, H f (x + ϑh)h mit ϑ (0, 1).

17 4.8 Bemerkung 17 Aus H f (z) 0 für alle z Ω folgt für h 0: f(x + h) = f(x) + f(x), h h, H f (x + ϑh)h f(x) + f(x), h und somit gilt nach 4.6.1, dass f konvex ist. Hinrichtung: Sei f konvex, mit f(x + h) f(x) + f(x), h aus Satz folgt: h, H f (x + ϑh)h 0 für h << 1 und ein ϑ (0, 1). (4.8) Wählt man h = ta mit a S n 1 und 0 < t << 1 und multipliziert man (4.8) mit t 2 so folgt: t 2 ta, H f (x + ϑta)ta 0 t 2 t 2 a, H f (x ϑta)a 0 a, H f (x + ϑta)a 0 mit t 0 bekommt man a, H f (x)a 0 für alle a S n 1 und das liefert H f (x) 0 für jedes x Ω. Beweis zu 2.: Genau wie bei dem Beweis zu (Rückrichtung) folgt mit H f (z) > 0 und Satz 4.6.2, dass f strikt konvex ist, wenn H f (x) > Bemerkung 1. Ganz äquivalent zeigt man bei Satz 4.7 die Beweise zu den konkaven Funktionen. 2. In Satz ist die Bedingung H f (x) > 0 auf Ω nicht notwendig für strikte Konvexität von f. Hierzu kann man das Beispiel f : R R mit f(x) = x 4 betrachten: f(λx + µy) = λ 4 x 4 + 4λ 3 x 3 µy + 6λ 2 x 2 µ 2 y 2 + 4λxµ 3 y 3 + µ 4 y 4 mit x y und 0 < y, µ < 1, λ + µ = 1 gilt f(λx + µy) < λf(x) + µf(y) = λx 4 + µy 4. Somit ist f(x) = x 4 strikt konvex.

18 4.9 Satz 18 Andererseits gilt jedoch H f (x) = 12x 2 0 für x Ω, da x = 0 nicht ausgeschlossen ist. 4.9 Satz Sei I ein Intervall in R und f C 1 (I). Dann gilt: 1. f ist genau dann konvex, wenn f schwach monoton wächst. 2. f ist genau dann strikt konvex, wenn f monoton wächst. Beweis zu 1.: Hinrichtung: Setzen wir in die Ungleichung (4.4) für x + h = y mit x, y int I und y < x folgt f(y) f(x) + f(x), y x und durch Vertauschen von x und y folgt f(x) f(y) + f(y), x y also hat man die beiden Ungleichungen f(y) f(x) f (x)(y x) und f(x) f(y) f (y)(x y) falls f konvex ist. Multiplikation der ersten Ungleichung mit ( 1) ergibt f(x) f(y) f (x)(x y) und damit folgt insgesamt: f (y) f (x) für x, y int I mit y < x. Rückrichtung: Ist f schwach monoton wachsend auf I, so folgt mit einem ϑ (0, 1), dass f(x + h) f(x) = f (x + ϑh)h f (x)h gilt. Mit Satz 4.6 folgt, dass f konvex ist. Beweis zu 2.: Hinrichtung: Setzt man x, y int I mit y < x in die Ungleichung 43.5) ein, so folgt analog zu Beweis zu 3.9.1: f(y) f(x) > f (x)(y x) und f(x) f(y) > f (y)(x y) und damit f (y) < f (x) für x, y int I mit y < x. Rückrichtung: Ist f monoton wachsend und h 0 so folgt f(x+h) f(x) = f (x+ϑh)h > f (x)h.

19 4.10 Satz Satz Sei I ein Intervall und f C 2 (I). Dann gilt: Die Funktion f ist genau dann konvex, wenn f (x) 0 auf I ist, und f ist strikt konvex, falls f (x) > 0 auf I ist, mit Ausnahme von endlich vielen Punkten in I. D.h. an der Stelle x liegt eine Wendestelle vor, welche eine Linkskrümmung beschreibt Bemerkung Ist in 4.10 f (x) 0 bzw. f (x) < 0 so ist f konkav bzw. strikt konkav Beispiele 1. Die Funktion f(x) := e x, x R ist strikt konvex. Beweis: f (x) = e x > 0 2. Die Funktion f(x) := x, x > 0 ist strikt konvex für > 1, strikt konkav für 0 < < 1 und strikt konvex für > 0. Beweis: f (x) = ( 1)x 2 > 0 für > 1 und < 0. f (x) = ( 1)x 2 < 0 für 0 < < Die Funktion f(x) := log x, x > 0 ist strikt konkav. Beweis: f (x) = x 2 < 0 Für x, y > 0 mit x y und 0 < λ < 1 gilt also log(λx + (1 λ)y) > λlog x + (1 λ)log y = log(x λ y 1 λ ). Exponenzieren der Ungleichung liefert: x λ y 1 λ < λx + (1 λ)y für 0 < λ < 1. (4.9) Damit gilt: x λ y 1 λ λx + (1 λ)y für 0 λ 1. (4.10)

20 4.12 Beispiele 20 Mit a = x λ, b = y 1 λ, λ = 1 p, 1 λ = 1 q, q = ab 1 p x + 1 q y p p 1 folgt x ist wegen a = x λ x = a λ 1 x = a p y ist wegen b = y 1 λ y = b (1 λ) 1 y = b q damit folgt insgesamt: ab 1 p ap + 1 q bq (Y oungsche Ungleichung) (4.11) für a, b 0 und p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1.

21 5 Wichtige Ungleichungen 5.1 Höldersche Ungleichung Für beliebige Funktionen f, g R([, β]) gilt β f(x)g(x)dx f(x) p dx wenn p, q > 1 und 1 p + 1 q = 1 ist. ) 1 p ) 1 g(x) q q dx (5.1) Beweis: Die Betragsfunktion, sowie alle Potenzfunktionen sind Regelfunktionen, somit sich auch f p und g q Regelfunktionen. Wir setzen daher: ) 1 ( A := f(x) p p β dx + ɛ und B := mit ɛ > 0, außerdem sei a := f(x) A f(x)g(x) AB ) 1 g(x) q q dx + ɛ g(x) und b := B. Einsetzen in (4.11) liefert: 1 ( ) f(x) p + 1 ( ) g(x) q. p A q B Integration der Ungleichung auf beiden Seiten bzgl. x von bis β ergibt: 1 AB β f(x)g(x) dx 1 pa p β f(x) p dx + 1 qb q Da nun 1 β pa p f(x) p 1 β dx, qb q g(x) q dx < 1 ist, erhält man: 1 AB β und für die Multiplikation mit AB ergibt sich β Lässt man ɛ 0 so folgt: β f(x)g(x)dx f(x)g(x) dx 1 p + 1 q = 1 f(x)g(x) dx AB. β g(x) q dx. ) 1 ( f(x) p p β ) 1 dx g(x) q q dx.

22 5.2 Bemerkung Bemerkung Setzt man in (5.1) p = 2 so ergibt sich β f(x)g(x)dx ) 1 ( f(x) 2 2 β ) 1 dx + g(x) 2 2 dx. Hierbei handelt es sich um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. 5.3 Minkowskische Ungleichung Für f, g R(I), I = [, β] und 1 p < gilt: ) 1 f + g p p dx Beweis: Sei p = 1 dann gilt: ) f + g dx ) 1 ( f p p β ) 1 dx + g p p dx. (5.2) ) ) f dx + g dx. Diese Ungleichung folgt direkt aus Integration der Dreiecksungleichung. Sei p > 1, dann setze A := β f + g p dx. Anwendung der Dreiecksungleichung sowie der Hölderschen Ungleichung liefert: A = β β = f + g f + g p 1 dx β f f + g p 1 dx + ) 1 ( f p p β dx g f + g p 1 dx f + g (p 1)q dx ) 1 ( f p p β dx + g p dx ) 1 p ) 1 q ) 1 ( + g p p β ) 1 dx f + g (p 1)q q dx ) 1 f + g (p 1)q q dx. Mit (p 1)q = p, da 1 p + 1 q = 1 p+q pq = 1 p = pq q p = (p 1)q folgt nun: ) 1 ( A f p p β ) 1 ( dx + g p p β ) 1 dx f + g (p 1)q q dx ) 1 ( = f p p β ) 1 dx + g p p dx A 1 q.

23 5.4 Bemerkung 23 Dividiert man die Gleichung auf beiden Seiten durch A 1 q erhält man: A A 1 q = β f + g p dx ( ) 1 β f + g p q dx = A 1 1 q = A 1 p = ) 1 f + g p p dx ) 1 ( f p p β ) 1 dx + g p p dx. 5.4 Bemerkung Auf R(I) sei die Funktion f f p definiert durch f p := ) 1 p f(x) p dx. (5.3) Dann kann die Minkowskische Ungleichung geschrieben werden als Dreiecksungleichung f + g p f p + g p für f, g R(I). (5.4) Es gilt f p 0 und λf p = λ f p. Die Minkowskische Ungleichung besagt somit, dass eine Halbnorm auf R(I) ist. kurz: Für die L p -Norm ist die Minkowskische Ungleichung einfach die Dreiecksungleichung. 5.5 Jensensche Ungleichung I Sei K eine konvexe Menge in R n. Eine Funktion f : K R n ist genau dann konvex auf K, wenn f(λ 1 x λ k x k ) λ 1 f(x 1 ) λ k f(x k ) (5.5) für beliebige x 1,..., x k K und beliebige λ 1,..., λ k [0, 1] mit λ λ k = 1 gilt. Beweis: Rückrichtung: Die Bedingung ist hinreichend, betrachte wie im Beweis zu Satz 3.5 k = 2: f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) das ist eben die Definition von konvex. Hinrichtung: Beweis per Induktion, Bezeichungen wie bei dem Beweis zu Satz 3.5. f(y) λ 1 λ k f(x 1 ) f(x k ) λ λ k λ λ k mit λ = λ λ k

24 5.6 Jensensche Ungleichung II 24 und damit f(λ 1 x λ k+1 x k+1 ) = f(λy + (1 λ)x k+1 ) λf(y) + (1 λ)f(x k+1 ) λ 1 f(x 1 ) λ k+1 f(x k+1 ). 5.6 Jensensche Ungleichung II Sei ϕ C 0 (I), I = [a, b] und sei f eine stetige konvexe Funktion auf einem Intervall, das ϕ(i) enthält. Dann gilt: ( f I ) ϕ(x)dx f(ϕ(x))dx (5.6) I Beweis: Sei Z eine Zerlegung des Intervalls I mit a = x 0 < x 1 <... < x k = b und x j = x j x j 1. Wir betrachten die dazugehörige Riemannsche Summe: k k S Z (ϕ) = ϕ(x j ) x j, S Z (f ϕ) = f(ϕ(x j )) x j. j=1 j=1

25 5.7 Satz 25 Mit λ j := x j I folgt 0 λ j 1 und λ λ k = 1 ist f( I 1 S Z (ϕ)) = f = f( = f( ( k j=1 ϕ(x ) j) x j k j=1 I ϕ(x j ) x j ) I k ϕ(x j )λ j ) j=1 = f(λ 1 ϕ(x 1 ) λ k ϕ k (x k )) λ 1 f(ϕ(x 1 )) λ k f(ϕ(x k )) = = k f(ϕ(x j ))λ j j=1 k j=1 f(ϕ(x j )) x j I k = I 1 f(ϕ(x j )) x j j=1 = I 1 S Z (f ϕ). Wenn nun die Feinheit der Zerlegung Z gegen O strebt, ergibt sich: 5.7 Satz ( f I ) ϕ(x)dx f(ϕ(x))dx. I Man braucht bei der Jensenschen Ungleichung nicht die Annahme machen, dass f stetig ist, falls f auf einem offenen Intervall I mit ϕ(i) I konvex ist, denn es gilt, wenn f : Ω R auf einer offenen konvexen Menge Ω des R n konvex ist, so gilt f C 0 (Ω) und f stetig für jedes Kompaktum K in Ω. Beweis: Sei x o Ω. Dann gibt es ein r > 0, so dass der Würfel W r (x 0 ) := {x R n : x x 0 r} in Ω liegt. Jeder Punkt x W r (x 0 ) ist eine konvexe Kombination der N = 2 n Eckpunkte a 1,..., a N

26 5.8 Bemerkung 26 von W r (x 0 ). Sei µ := max{f(a 1 ),..., f(a N )}, so folgt f(x) µ für alle x W r (x 0 ). Sei ( ) nun x ein beliebiger Punkt mit 0 < x x 0 r. Mit p := x x 0, h := r p (x x 0 ). Dann gilt h = r und x [x 0, x 0 h] [x 0 h, x 0 + h] B r (x 0 ) W r (x o ). Aus x = λ(x 0 + h) + (1 λ)x 0, 0 < λ 1 ergibt sich x 0 = 1 1+λ x + λ 1+λ (x 0 h). Diese Darstellungen von x und x 0 sind konvexe Kombinationen und wir erhalten f(x) λf(x 0 + h) + (1 λ)f(x 0 ) λµ + (1 λ)f(x 0 ) und Das liefert f(x 0 ) λ f(x) + λ 1 + λ f(x f(x) + λµ 0 h) 1 + λ. f(x) f(x 0 ) λ[µ f(x 0 )], f(x 0 ) f(x) λ[µ f(x 0 )] und somit f(x) f(x 0 ) λ[µ f(x 0 )]. Weil x = x 0 + λh und h = r, x x 0 = p folgt λ = p r und damit auch f(x) f(x 0 ) µ f(x 0) x x 0 r für alle x B r (x 0 ) mit x x 0. Folglich ist f in x 0 und damit auch in Ω stetig. 5.8 Bemerkung Auf einer nichtoffenen konvexen Menge K kann eine konvexe Funktion f : K R unstetig sein.

27 5.9 Besipiel Besipiel Die Funktion f : [0, ) R mit 1 falls x = 0 f(x) = 0 sonst ist konvex, aber am Randpunkt x = 0 unstetig.

28 6 Literaturverzeichnis S. Hildebrandt: Analysis 2, Springer-Verlag

29 7 Abbildungsverzeichnis Abbildung 3.1: Konvexe und nicht konvexe Menge: konvexitat-veranschaulichung-strecke-innerhalb.png; am Abbildung 4.1: Konvexe Funktion: files/news/2011/convexity/convex.jpg; am Abbildung 4.2: Epigraph einer konvexen Funktion: wikipedia/commons/3/31/epigraph convex.svg; am