Lösungen einiger Aufgaben zu Mathe III

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Karl Armbruster
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5 D bn ln Summann önnn nalln, a s ösung r homognn DG sn 6 W n s D Ingraon rgb: 6 6 sn 6 6 sn 6 sn sn 6 6 sn Aus λ λ λ rsh man as Funamnalssm, D narombnaon muss, rülln:,, Man rhäl

6 6 Nullslln s har Polnoms λ λ sn ±, λ Aus m omln Funamnalssm, λ λ bomm man urh Zrlgn n al- un Imagnärl as rll, sn Aus sn,, wr sn Parulär ösung s: [ ] sn sn sn 6 Das Funamnalssm bsh nur aus nr Funon, r Nullsll s har Polnoms λ nsrh Dann rüll Bngung Parulär ösung s:

7 7 ösungsmho Quasolnom-Ansa 6 Das Chararssh Polnom λ λ 6 λ λ ühr au as Funamnalssm, D rh S s n Quasolnom vom Gra u µ un s s n Nullsll ür as hararssh Polnom Ansa ür n arulär ösung s ahr: Abln un nsn rgb a b a b b, a b b 6 b b a Konnvrglh lr b, b a, a, b 6 6 D homogn DG un as Funamnalssm sn w m rsn Bsl D rh S s n Quasolnom vom Gra u µ Da s n nah Nullsll s har Polnoms s un som nah sonan vorlg, s r Ansa ür n arulär ösung: a Abln a, a9 6 un nsn rgb 6 a9 6 6 a Konnvrglh lr a µ 6 m µ Wr bsmmn unähs n µ oml ösung ur rhn S un nhmn ann n all Da n sonan vorlg nn µ s nh Nullsll s har Polnoms s r Ansa m omlr Konsan Durh abln un nsn olg µ A µ 6 A µ µ 6 A µ µ 6 6 Als rll arulär ösung rhaln wr µ, / 6

8 8 6 6 sn 6 Aus λ λ λ rsh man as Funamnalssm, D rh S s n µ Quasolnom vom Gra u µ Ds s n ol Nullsll s hararsshn Polnoms wah sonan Dr Ansa lau ahr Durh abln un nsn olg Also a a a a a a a, 8a a Nullslln s har Polnoms λ λ sn λ ± Aus m omln Funamnalssm, λ λ, bomm man urh Zrlgn n al- un Imagnärl as rll, sn D rh S s n Quas- Polnom vom Gra u µ un s lg n sonan vor Som s r Ansa ngs also a a, a a, 6 Das Funamnalssm bsh nur aus nr Funon, r Nullsll s har Polnoms λ nsrh D rh S s vom Gra un µ s nah Nullsll m har Polnom nah sonan Dr Ansa s ahr m Ablung Ensn rgb a b a b a b a b a b a b m r ösung a b, a b

9 9 B DG rsr Ornung D Sanarorm s Ds DG s war lnar, ha abr nh onsan Konn D homogn DG s mmr vom T grnn Varabln : M r bannn ösungsmho unr Vrwnung r Subsuon rhäl man ln ~ u C u ~ ln u C ~ ln C Durh Anwnung r -Funon bomm man Hraus olg, ass u ~ C ~ C C, C rll, allgmn ösung r homognn DG s Für nhomogn DG s man n Ansa Varaon r Konsann, m n Da homogn DG lös, rgb sh ohn wr hnung, also / Durh Subsuon Dann s u olg n arulär ösung un / arsnh arsnhu arsnh u C, C rll, u

10 allgmn ösung m r man Anangsbngungn r Form ann a rülln ln, > Homogn DG: ln, ~ ~ ln ln C ln C, ln C m Varaon r Konsann: n nhomogn DG ngs rgb,, ln ln, > Homogn DG: ln, ln ~ ~ ~ ln C uu C ln C, C m Varaon r Konsann: n nhomogn DG ngs rgb ln, ln ln ln ln ln, u u u ln u ln, < Homogn DG:, ~ ~ ~ ln C u u C ln C, ln C m Varaon r Konsann: n nhomogn DG ngs rgb m r Subsuon sn

11 ,, arsn sn, < ösung r homognn DG s w vorhr Varaon r Konsann: n nhomogn DG ngs rgb, aran C Ingral m m sunsa Nullslln s Nnnrs: rgb, Da s sh um nah Polslln ür hanl, laun sun: s s Alrnav rhäl man as auh so: s s Wr nhmn an un shän as Kurvnngral übr n obrn Halbrs m aus, h, ab: h Für nlnn Bsanl rgb sh

12 ,, sn sn, a sn Also s ür h Ds g, ass Sr g,, snnvoll urh n obrn Halbrs rgän wrn ann s a Für olg nah m Ggn g h a m Innrn s Naürlh wrn nur sun n r obrn Halbbn bnög Wnn < ann analog r unr Halbrs h,, vrwn wrn Dab änr sh allrngs r Drhsnn un m sunsa r n Mnus au Wnn r Nnnr rll s, ann man rsaws oml Konjugaon s Ingrals ür bln Wr brahn wr n Fall Dr Fall < läss sh hr urh Konjugaon lh arau urüührn S r oml orgs Ingran Dann ann Sr g,, urh n obrn Halbrs h rgän wrn Dnn w n gl: m Es olg h,, h sn sn, a sn, Bnög wrn also sun n r obrn Halbbn Nullslln s Nnnrs sn

13 /, / B lg n olr Pol vor Dahr gl: 8! s Dr ms von g h s as gsuh Ingral un anrrss nah m sunsa s, Um u gn ass Sr g,, snnvoll urh n obrn Halbrs h, rgän wrn ann, shän wr ab: h m, sn sn, a sn Es olg h, D sun an n Nullslln s Nnnrs, sn! s! s

14 Das Ergbns s lm s g s sn Ds s as Kurvnngral übr n Krs,, ür n Ingran Dnn sn un, also sn Wr ormn n Ingran um: 6 Nullslln s Nnnrs: 6, ± 9 ± 8, 8, 8, 8, 8 Nur, lgn m Enhsrs un s sn nah Nullslln s 6 Das Ergbns s s s s

15 sn Ds s as Kurvnngral übr n Krs,, ür n Ingran Dnn sn, un, also sn Wr ormn n Ingran um: nn, Nullslln s Nnnrs:,, ± ± ± Nur lg m Enhsrs un s n nah Nullsll s / / / / Das Ergbns s s 6 Brhn Falung m sh slbs ür Funon,, sons

16 6 Obwohl man Falung auh r brhnn ann, soll hr Fourrransormaon bnu wrn D Fourrransormaon r Falung s as Quara r Fourrransormaon von Wr brhnn ˆ sn D Fourrransormaon r Falung s also Wr brhnn üransormaon: Dr Ingran s sn sn sn Wr shrbn sa un brhnn Ds s auh r ms ür ε von [ ] ε a r Ingran ür ε nah Null bshrän s un außrhalb nr Nullumgbung glhmäßg onvrgr Hr önnn nlnn Summann grnn brhn wrn W n n vorgn Bsln bomm man ür urh rgänn m obrn Halbrsn: s ε ε ε ε ε Durh Konjugaon olg allgmn ε ε Durh Subsuon von olg: ε ε ε ε ε Dr ms ür ε s unr Vrwnung r Eonnalrh ε ε ε ε Ds s Funon ε ε ε

17 7 sons,, g un Falung s sons,, D Fourr-Enwlung Enwl Funon sons,,, n n Snus-h ösung: D h lau sn α,, m α sn Ds rgb sh urh ungra Forsung r Funon au as Inrvall [ ], aus r allgmnn Enwlung n n Kosnus-Snus-h, a all Kosnus-Trm wgalln B n Snus-Trmn brauh nur übr [ ], ngrr u wrn, wnn aür r Voraor vrol wr Wr brhnn urh arll Ingraon: sn sn Dam rhaln wr: [ ] [ ] sn sn sn sn sn sn / / / / / / / / / α Nur Ausrü m Snus blbn übrg:

18 8 sn sn sn sn sn sn sn α Es s 68,,78, / 8,,8, /,8, sn, 68,,78, / 8,,8, /,8, sn,,,,, sn un 78, / 8, / 8, / 8, /,,,68, sn sn sn

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