Lineare Transformationen

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1 STAT 4 FK Herleituge Lieare Trasformatioe Sei eie lieare Trasformatio vo, so gilt Allgemei: a b, () Lieare Trasformatio des arithmetische Mittels y a+b x i () Da a eie additiv verküpfte Kostate ist, ka die Summe wie folgt aufgespalte werde (ma bedeke, dass a i jede Summade vorkommt ud daher -mal aufsummiert werde muss): y a bx i Da auch b eie Kostate ist, welche allerdigs multiplikativ verküpft ist, ka b eifach aus der Summe ausgeklammert werde: y a b Nu multipliziert ma i die Klammer ud erhält: y a b a b a b x (3) Lieare Trasformatio der Variaz Die Variaz vo X ist: i x Daher ist die Variaz der lieare Trasformatio Y gemäß Formel () ud Resultat (): s y a bx i a b x

2 STAT 4 FK Herleituge Auflöse der Klammer ergibt: s y a b x i a b x b x i b x (4) Formel (4) liefert ei erstes wichtiges Resultat: Die Variaz der lieare Trasformatio vo X ist ivariat gegeüber eier additive Kostate. Die sieht ma dara, dass a herausgekürzt werde ka. Da i der Summe i Formel (4) eie Summe steht i welcher b i beide Summade vorkommt, ka ma b auch ausklammer ud erhält: s y b i x Da u b mit dem Term der ethält multiplikativ verküpft ist, ka ma b aus der Summe ausklammer. Ma beachte hierbei, dass b quadratisch ausgeklammert werde muss. s y b i x b s x (5) Lieare Trasformatio des Korrelatioskoeffiziete ach Bravais Pearso Der Korrelatioskoeffiziet ach Bravais Pearso zwische zwei Merkmale berechet sich wie folgt: X ud Y r xy c xy s x s y c xy s x s y i i x, (6) y i mit c xy als Kovariaz zwische X ud Y ud s x, s y als Stadardabweichuge vo X ud Y. Formel (6) lässt sich auch wie folgt darstelle: i x i x i x

3 STAT 4 FK Herleituge daher gilt: r xy (7) x Lieare Trasformatio der Variable Sei Z eie lieare Trasformatio vo X : (8) z i a b Sei F eie lieare Trasformatio vo Y : (9) f i a b Lieare Trasformatio der Kovariaz Die Kovariaz der lieare Trasformatio gemäß der Formel (8) ud (9) uter Berücksichtigug der Trasformatio des Mittelwertes gemäß Formel () lässt sich wie folgt darstelle: a b a b x a b a b y Wieder falle die beide Itercepte a ud a heraus: (a +b a b x)(a +b a b y) (b b x)(b b y) b ud b lasse sich aus der Summe ausklammer ud es folgt: b b x i b b c xy (0) Folglich ist die Kovariaz icht uabhägig vo der lieare Trasformatio, daher auch icht uabhägig vo der Maßeiheit.

4 STAT 4 FK Herleituge Korrelatioskoeffiziet Gemäß der Formel (6) ud de Ergebisse (5) ud (0) ist der Korrelatioskoeffiziet der lieare Trasformatio r zf : r zf b b c xy b b s y b b c xy b b s x s y c xy s x s y r xy Der Korrelatioskoeffiziet ist somit uabhägig vo der lieare Trasformatio ud mithi auch vo der Maßeiheit. Verschiebugssatz der Variaz Die Variaz des Merkmals X ist: i x Mit Hilfe der Biomische Formel ka ma dies wie folgt schreibe: x i x x (0) Die Summe i Formel (0) besteht aus drei Summade, welche sich auch i drei Summe aufspalte lasse: x i x x Hier wurde berücksichtigt, dass x wird. icht idiziert ist ud daher eifach -mal aufsummiert Multipliziert ma i die Klammer, erhält ma: x i x x i x Uter Berücksichtigug der Tatsache, dass der zweite Summad de Mittelwert x ethält fidet ma: x i x x x x i x

5 STAT 4 FK Herleituge Miimierugseigeschaft des arithmetische Mittels Asatz Miimiere die Zielfuktio: Vorgehe: Q( x) ( x) d Q (x) dx ( x)0 Teilt ma durch - ud spaltet die Summe auf, so ergibt sich: ( ) x0 x x i x x * x Es ist also x ei statioärer Pukt. Bedigug zweiter Ordug: Die erste Ableitug ka ma durch Aufspaltug der Summe ud ausmultipliziere auch so formuliere: d Q (x) dx ( x)( So ist die zweite Ableitug gleich: d Q(x) dx >0, ) + x da, die Azahl der Beobachtuge, positiv ist. Somit ist gezeigt, dass das arithmetische Mittel die Summer der quadrierte Abweichuge miimiert, also dass gilt: ( x) ( x)

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