MATHEMATIK I für Bauingenieure (Fernstudium)

Transkript

1 TU DRESDEN Dresden, 2. Februar 2004 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK I für Bauingenieure (Fernstudium) Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Hinweise: Die Aufgaben sind unabhängig voneinander lösbar. Sie können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Geben Sie lediglich die jeweilige Aufgabennummer, bzw. die Nummer der Teilaufgabe, an. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite. Versehen Sie jedes Blatt Ihrer Arbeit mit Ihrem Namen und der Bezeichnung Ihrer Übungsgruppe. Grundlage für die Bewertung ist die Angabe des Lösungsweges. Der Lösungsweg muß deutlich erkennbar und in übersichtlicher Form notiert sein. Fehlende Zwischenschritte können nicht bewertet werden. Führen Sie alle Nebenrechnungen auf den Prüfungsblättern aus und geben Sie diese vollständig mit ab. Die Zahl in [ ] gibt die Punktzahl für die betreffende Aufgabe bzw. Teilaufgabe an. Aufgabe Ges. Punkte erreichte Punkte

2 Aufgabe. [8] a) [2] Geben Sie zur komplexen Zahl z = 2e 5 6 πi die algebraische Form an. b) [2] Wo liegen alle Punkte z der Gaußschen Zahlenebene, für die z + 3 z gilt? Skizzieren Sie das Gebiet. c) [4] Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung (z + 2i) 3 64 = 0. Tragen Sie die Punkte in die Gaußsche Zahlenebene ein. a) Es gilt b) Mit z = x + iy ergibt sich und damit z = 2e 5 6 πi = 2[cos( 5 6 π) + isin(5 6 π)] = 2[ 2 (x + 3) 2 + y 2 (x ) 2 + y 2 (x + 3) 2 (x ) i 2 ] = 3 + i. Ausmultiplizieren ergibt x. Schließlich folgt bei x < 3 die Ungleichung x 3 x, welche stets erfüllt ist. Zusammengefaßt ergibt sich x. Die Punkte z, welche der Ungleichung genügen, liegen also in der abgeschlossenen Halbebene der Punkte mit Realteil kleiner gleich. Skizze: ### c) Mit w = z + 2i haben wir w 3 = 64 und damit w = 4, w 2 = 4e 2π 3 i = i, w 3 = 4e 2π 3 i = 2 2 3i bzw. Somit [ w k = 4 cos 2kπ ] 2kπ + isin, k = 0,, z = 4 2i, z 2 = 2 + 2( 3 )i, z 3 = 2 2( 3 + )i. Skizze: ### Aufgabe 2. [7] Wir betrachten f (x) = x+ 2x 3 für x. a) [2] Berechnen Sie lim f (x), x 0 lim f (x), x +0 lim f (x), x lim f (x). x b) [] Skizzieren Sie den Graphen von f für f (x) = 2x 3 x+.

3 c) [4] Ermitteln Sie ein Intervall, auf dem f (x) = x+ 2x 3 streng monoton ist und berechnen Sie dort die Umkehrabbildung f. a) Es gilt lim f (x) =, lim x 0 f (x) = +, lim x +0 f (x) = lim f (x) = 2. x x b) ### c) Auf ], [ gilt f (x) = 2( x+)+(2x 3) = < 0, so daß f auf ], [ streng monoton ( x+) 2 ( x) 2 fallend ist. Aus y = f (x) = x+ 2x 3 ergibt sich und damit f (y) = y+3 y+2 für y > 2. y( x + ) = 2x 3, (2 + y)x = y + 3, x = y + 3 y + 2 Aufgabe 3. [6] Wir betrachten die gebrochen-rationale Funktion f = p q mit den Polynomen p(x) = x 4 3x 3 x 2 9x 2 und q(x) = (x )(x 4) 2. a) [] Bestimmen Sie den (natürlichen) Definitionsbereich von f. b) [2] Bestimmen Sie die Nullstellen und Polstellen von f und deren Vielfachheit. c) [3] Zerlegen Sie f in eine Summe aus einem Polynom und einer echt-gebrochen rationalen Funktion. a) Nullstellen von q sind und 4. Der Definitionsbereich von f ist also D( f ) = R \ {,4}. b) Wegen p(x) = (x 4)(x + )(x 2 + 3) ist die einzige (und einfache) Nullstelle von f. Polstelle ist 4 (einfach). c) Durch Polynomdivison erhalten wir x 4 3x 3 x 2 9x 2 (x )(x 4) 2 = (x + )(x2 + 3) (x )(x 4) = x3 + x 2 + 3x + 3 x 2 5x x 2 = x x 2 5x + 4. Aufgabe 4. [0] Wir betrachten die Ebenen E = {(x,y,z) R 3 : x 2y + 2z = }, E 2 = {(x,y,z) R 3 : 2x + y = 3}. a) [3] Welchen Winkel α schließen die Ebenen E und E 2 ein?

4 b) [4] Bestimmen Sie einen Richtungsvektor der Schnittgeraden g der Ebenen E und E 2. c) [3] Wie lautet eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g von E und E 2? a) n = (, 2,2) und n 2 = (2,,0) sind Normalenvektoren zu E und E 2. Für den Winkel α gilt cosα = n,n 2 n n 2 = 0 n n 2 = 0, also α = π 2. b) Der Vektor r = n n 2 = ist ein Richtungsvektor zur Schnittgeraden g e e 2 e 3 = ( 2,4,5) c) Zur Bestimmung eines Schnittpunktes der Ebenen betrachten wir das Gleichungssystem x 2y + 2z = 2x 2y = 3. Wir haben y = x 3 2 und damit x 2x z =. Setzen wir x = 0, finden wir (0, 3 2, ) als einen Schnittpunkt. Somit gilt für die Schnittgerade g von E und E 2 : g = {(0, 3, ) +t( 2,4,5): t R}. 2 Aufgabe 5. [6] a) [2] Gehen Sie vom Abstand zweier Punkte P = (x,y), Q = (x 0,y 0 ) im R 2 aus und stellen Sie den Abstand von P = (x,y) zu Q = (0,3), wenn P auf der Kurve C = {(ξ,η) R 2 : ξ > 0,η = ξ} liegt, als Funktion von x dar. b) [4] Welcher Punkt P = (x,y) C hat von Q = (0,3) den kleinsten Abstand? Wie groß ist dieser Abstand? Hinweis: Rechnen Sie mit dem Quadrat des Abstandes. (Das entstehende algebraische Problem hat genau eine Lösung und diese ist ganzzahlig). a) Der Abstand von P = (x,y) zu Q(0,3) für P C ist ϕ(x) = (x 0) 2 + ( x 3) 2, x > 0. b) Nach Hinweis untersuchen wir (x) = ϕ(x) 2 = x 2 + ( x 3) 2 auf Extrema. Es gilt (x) = 2x + 2( x 3) 2 x = 2x + 3 x.

5 Damit gilt (x) = 0 genau dann, wenn 2x+ = 3 x. Diese Gleichung hat nur x = als Lösung. Weiter gilt (x) = x 3 2 und damit () = 2 7 > 0. Somit hat in ein Minimum, damit ϕ ebenfalls und P = (,) ist der gesuchte Punkt mit dem Abstand d = = 5. Aufgabe 6. [8] a) [2] Geben Sie alle Werte von x an, bei denen die Determinante x x gleich 0 ist. b) [6] Gegeben ist das lineare Gleichungssystem λx + 2y + 2z = 2x y + 2z = 2x + 2y + λz = mit reellem Parameter λ. Entscheiden Sie, für welche Werte λ das Gleichungssystem eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar bzw. unlösbar ist. a) Es gilt x x = x x 4x + 4 = x 2 8x + 20 = 0 genau dann, wenn x = 2 oder x = 0. b) Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante verschieden von 0 ist; was nach obiger Aufgabe genau dann gilt, wenn λ R \ {2, 0} Für λ = 2 erhalten wir rang 2 2 = 2 und rang 2 2 = 2. Damit ist das Gleichungssystem lösbar, aber nicht eindeutig Für λ = 0 erhalten wir rang 2 2 = 2 und rang 2 2 = 3, wobei letzteres aus

6 folgt. Für λ = 0 ist das Gleichungssystem also nicht lösbar. Aufgabe 7. [5] tan(2x) Berechnen Sie den Grenzwert lim. x 0 x Der Grenzwert ist vom Typ 0 0. Mit der Regel von de l Hospital erhalten wir tan(2x) lim = 2 lim x 0 x x 0 da der letzte Grenzwert existiert. cos 2 (2x) = 2 lim x 0 cos 2 (2x) = 2,