Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
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- Arthur Färber
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1 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Darstellung des Zusammenhangs, Korrelation und Regression Daten liegen zu zwei metrischen Merkmalen vor: Datenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n Beispiel: x: Anzahl der fest angestellten Mitarbeiter y: Anzahl der freien Mitarbeiter Frage: Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen Merkmalen? Wie lässt sich dieser Zusammenhang beschreiben? Einfachste graphische Darstellung: Streudiagramm. Die Datenpaare entsprechen Punkten in der Ebene ( Punktwolke ) Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 266 / 355
2 Beispiel 1: Streudiagramm (mit SPSS) Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 267 / 355
3 Beispiel 2 Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 268 / 355
4 Beispiel 3 Punkte in Englisch und Mathematik Gruppe 1 Gruppe 2 Schüler Englisch Mathe Englisch Mathe Mittelwert Standardabweichung Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 269 / 355
5 Beispiel 3 (Streudiagramme) Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 270 / 355
6 Kovarianz Maß für den Zusammenhang der beiden Merkmale: Daten: (x i, y i ), i = 1,..., n Beachte: S XY = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) i=1 Summand i positiv, falls x i und y i relativ zum Mittelwert das gleiche Vorzeichen haben. Für s xx ergibt sich die Varianz von X. Die Kovarianz hängt sowohl von der Streuung als auch von dem Zusammenhang der beiden Merkmale ab. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 271 / 355
7 Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient ergibt sich aus den Daten (x i, y i ), i = 1,..., n durch n i=1 r = (x i x)(y i ȳ) n i=1 (x i x) = S xy 2 n i=1 (y i ȳ) 2 ) S x S y Wertebereich: 1 r 1 r > 0 r < 0 r = 0 positive Korrelation, gleichsinniger linearer Zusammenhang, Tendenz: Werte (x i, y i ) um eine Gerade positiver Steigung liegend negative Korrelation, gleichsinniger linearer Zusammenhang, Tendenz: Werte (x i, y i ) um eine Gerade negativer Steigung liegend keine Korrelation, unkorreliert, kein linearer Zusammenhang Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 272 / 355
8 Punkte in Englisch und Mathematik Gruppe 1: Gruppe 2: r xy = S xy S x S y = = 0.65 r xy = S xy S x S y = = 0.56 Gruppe 1: positiver linearer Zusammenhang Gruppe 2: negativer linearer Zusammenhang Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 273 / 355
9 Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten Maß für den linearen Zusammenhang Ändert sich nicht bei linearen Transformationen Symmetrisch (Korrelation zwischen x und y = Korrelation zwischen y und x) Positive Korrelation bedeutet: Je größer x, desto größer im Durchschnitt y Korrelation = +1 oder -1, falls die Punkte genau auf einer Geraden liegen Korrelation = 0 bedeutet keinen linearen Zusammenhang, aber nicht Unabhängigkeit Korrelation empfindlich gegenüber Ausreißern Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 274 / 355
10 Eigenschaften von r r misst Stärke des linearen Zusammenhangs. Punktkonfigurationen und Korrelationskoeffizienten (qualitativ) Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 275 / 355
11 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 1: Lineare (unverrauschte) Funktion, y = 0.8x + 2.0, 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 276 / 355
12 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 2: Lineare (unverrauschte) Funktion, y = 0.8x + 2.0, 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 277 / 355
13 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 3: Lineare (unverrauschte) Funktion, y = 0.001x + 2.0, 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 278 / 355
14 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 4: Periodische (unverrauschte) Funktion, y = sin(x), 101 equidistante Stützstellen im Intervall [ π, π], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 279 / 355
15 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 5: Periodische (unverrauschte) Funktion, y = cos(x), 101 equidistante Stützstellen im Intervall [ π, π], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 280 / 355
16 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 6: Quadratische (unverrauschte) Funktion, y = x , 101 equidistante Stützstellen im Intervall [ 1, 1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 281 / 355
17 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 7: Kubische (unverrauschte) Funktion, y = x , 101 equidistante Stützstellen im Intervall [ 1, 1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 282 / 355
18 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 8: Abschnittweise definierte (unverrauschte) Funktion y = sin(x), 50 und 51 equidistante Stützstellen in den Intervallen [ π, π 2 ] und [ π 2, π], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 283 / 355
19 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 9: Lineare, schwach verrauschte Funktion, y = 0.8x N(0, 0.1), 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 284 / 355
20 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 10: Lineare, stärker verrauschte Funktion, y = 0.8x N(0, 0.5), 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 285 / 355
21 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 11: Lineare, stark verrauschte Funktion, y = 0.8x N(0, 5), 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 286 / 355
22 Einige Beispiele von exakten und verrauschten Zusammenhängen Beispiel 12: Lineare, stärker verrauschte Funktion, y = 0.1x N(0, 0.5), 101 equidistante Stützstellen im Intervall [-1,1], r = Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 287 / 355
23 Lineare Transformationen Bei exakten lineare Zusammenhängen gilt: r = +1 bzw. 1 Y = ax + b mit b > 0 bzw. b < 0 Lineare Transformationen X = a X X + b X, Ỹ = a Y Y + b Y, a X, a Y 0 r Korrelationskoeffizient zwischen X und Y r Korrelationskoeffizient zwischen X und Ỹ r = r a X, a Y > 0 oder a X, a Y < 0 r = r a X > 0, a Y < 0 oder a X < 0, a Y > 0. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 288 / 355
24 Vektor-Darstellung Definiere die zentrierten Datenvektoren r = x Z = (x 1 x,..., x i x,..., x n x) y Z = (y 1 ȳ,..., y i ȳ,..., y n ȳ) x Z y Z x Z ȳ Z, mit. euklidische Norm. Aus der Schwarz-Cauchy-Ungleichung folgt d.h. 1 r +1. x Z y Z x Z y Z, Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 289 / 355
25 Spearmans Korrelationskoeffizient = Rang-Korrelationskoeffizient X, Y (mindestens) ordinal Idee: Gehe von Werten x i, i = 1,..., n und y i, i = 1,..., n über zu ihren Rängen. analog für y (1),..., y (n). x (1)... x (i)... x (n) rg(x (i) ) = i, Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 290 / 355
26 Beispiel bei Bindungen (ties): x i rg(x i ) x i Durchschnittsrang = 3.5 vergeben. Also: Urliste der Größe nach durchsortieren Ranglisten rg(x i ), rg(y i ), i = 1,..., n vergeben (bei ties: Durchschnittsränge) Idee: Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson für die Ränge statt für die Urliste. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 291 / 355
27 Definition: Spearmans Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient nach Spearman ist definiert durch r SP = (rg(xi ) rg X )(rg(y i ) rg Y ) (rg(xi ) rg X ) 2 (rg(y i ) rg Y ). 2 Wertebereich: 1 r SP 1 Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 292 / 355
28 Interpretation r SP > 0 gleichsinniger monotoner Zusammenhang, Tendenz: x groß y groß, x klein y klein r SP < 0 gegensinniger monotoner Zusammenhang, Tendenz: x groß y klein, x klein y groß r SP 0 kein monotoner Zusammenhang Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 293 / 355
29 Extremfälle Extremfälle für Spearmans Korrelationskoeffizienten, r SP = 1 (oben) und r SP = 1 (unten) Spearmans Korrelationskoeffizient misst monotone (auch nichtlineare) Zusammenhänge! Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 294 / 355
30 Bemerkungen: Rechentechnische Vereinfachungen: rg X = 1 n n i=1 rg(x i) = 1 n n i=1 i = (n + 1)/2, rg Y = 1 n n i=1 rg(y i) = 1 n n i=1 i = (n + 1)/2. Rechentechnisch günstige Version von r SP : Daten: (x i, y i ), i = 1,..., n, x i x j, y i y j für alle i, j Rangdifferenzen: d i = rg(x i ) rg(y i ) r SP = 1 6 di 2 (n 2 1)n Voraussetzung: keine Bindungen Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 295 / 355
31 Monotone Transformationen X = g(x ) Ỹ = h(y ) g streng monoton, h streng monoton r SP ( X, Ỹ ) = r SP (X, Y ), wenn g und h monoton wachsend bzw. g und h monoton fallend sind, r SP ( X, Ỹ ) = r SP (X, Y ), wenn g monoton wachsend und h monoton fallend bzw. g monoton fallend und h monoton wachsend sind. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 296 / 355
32 Kendall s Tau Betrachte Paare von Beobachtungen (x i, y i ) und (x j, y j ) Ein Paar heißt: konkordant, diskordant, falls x i < x j und y i < y j oder x i > x j und y i > y j falls x i < x j und y i > y j oder x i > x j und y i < y j N C : Anzahl der konkordanten Paare N D : Anzahl der diskordanten Paare τ a = N C N D n(n 1)/2 Kendall s Tau Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 297 / 355
33 Andere Varianten Goodman & Kruskal γ-koeffizient γ = N C N D N C + N D Somers D wird typischerweise verwendet wenn Y binär ist T x : Anzahl der Paare mit ungleichem y und gleichem x ( Ties = Bindungen) D xy := N C N D N C + N D + T x = N C N D Anzahl Paare mit ungleichem y Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 298 / 355
34 Kendall s τ, Spearman s r sp Beispiel: τ r sp rg X rg Y rg X rg Y r sp bestraft Abweichung stärker als τ Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 299 / 355
35 Unterschiede Kendall s τ, Spearman s ρ ρ verwendet Abstände auf der Rang-Skala τ orientiert sich an Paarvergleichen τ hat theoretische Entsprechung τ in der Regel kleiner als ρ Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 300 / 355
36 Dichotome und stetige Merkmale: Punktbiseriale Korrelation Korrelations-Koeffizient zwischen dichotomen und metrischem Merkmal X {0, 1} Y metrisch Ȳ 0 Mittelwert bei X = 0, Ȳ 1 Mittelwert bei X = 1 r XY = Ȳ1 Ȳ0 n0 n 1 S Y N 2 Entspricht normiertem Abstand der Gruppenmittelwerte. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 301 / 355
37 Dichotome und stetige Merkmale Beispiel 1 Kredit Scoring: Die Kreditwürdigkeit wird mit einem Scorewert gemessen (Schufa score) Dieser Scorewert soll auf seine Prognosegüte geprüft werden Variable : Y=1 (Eintrag nach 1.5 Jahren (Default) Y=0 kein Eintrag Beispiel 2: Blutserum Konzentration und stress-induzierte Herzinfarkte X: Marker für Herzinfarkt und Y: Infarkt während der WM (Gruppen) Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 302 / 355
38 ROC-Kurve Jetzt Y dichotome Zielgröße und X metrische Einflussgröße: Y = 1 Ausfall (krank) Y = 0 kein Ausfall (gesund) In der medizinischen Literatur ist das Testergebnis m: Ŷ i = 1 x i c Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 303 / 355
39 Sensitivität und Spezifität Richtig Positiv = Sensitivität: f (Ŷ = 1 Y = 1) = f (x c Y = 1) = S 1(c) S 1 (c) stellt die Survivorfunktion dar. Richtig negativ = Spezifität: f (Ŷ = 0 Y = 0) = 1 f (x c Y = 0) = 1 S 0 (c) Falsch Positiv = 1- Spezifität: f (Ŷ = 1 Y = 0) = f (x c Y = 0) = S 0 (c) Die ROC-Kurve besteht aus den Punkten (S 0 (c), S 1 (c)) Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 304 / 355
40 Beispiel für ROC-Kurve x = Sensitivity Sens: 100.0% Spec: 66.7% PV+: 66.7% PV : 100.0% Variable est. (s.e.) (Intercept) (3.324) test (7.297) Model: y ~ x Area under the curve: Specificity Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 305 / 355
41 Beispiel für ROC-Kurve mit Bindung Sensitivity Variable est. (s.e.) (Intercept) (2.127) test (4.418) Model: y ~ x Area under the curve: Specificity Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 306 / 355
42 Maß zur Bewertung der Kurve: AUC AUC = 1 t=0 Dies stellt die Fläche unter der Kurve dar. Es gilt: ROC(t)dt (3.7) AUC = N C N E (3.8) N Dabei bezeichnet N C die Anzahl der konkordanten Paare, N E die Anzahl der identischen Paare, und N die Anzahl der Paare mit unterschiedlichem Y. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 307 / 355
43 GINI- Koeffizient Normierte Fläche zwischen Winkelhalbierender und ROC- Kurve GINI = 2 (AUC 1 ) = 2 AUC 1 (3.9) 2 GINI = N C N D N N C : Anzahl der konkordanten Paare N D : Anzahl der diskordanten Paare N: Anzahl der Paare mit ungleichem Y N = n 0 n 1 mit n i Anzahl der Daten mit Y=i. (3.10) Der GINI entspricht dem Somers D. Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 308 / 355
44 Figure 4 Beispiel: Stress induzierter Herzinfarkt Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 309 / 355
45 Korrelationsmatrix Bei mehr als zwei Merkmalen werden die Korrelationen häufig in Form einer Matrix dargestellt. Auf der Hauptdiagonalen stehen 1er. Die Matrix ist symmetrisch. 1 r xy r xz r xy 1 r yz r xz r yz 1 Deskriptive Statistik WiSe 2015/2016 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 310 / 355
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