Erfüllbarkeitsprobleme. Begriffe. Varianten von SAT

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Fritz Franke
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1 Erfüllbarkeitsprobleme SAT (satisfiability problem) Eingabe: Formel F in konjunktiver Form. Frage: Gibt es eine Belegung x der Variablen in F mit F(x)=1? Beispiel: Begriffe erfüllbar satisfiable: Eigenschaft der Formel, nämlich für eine geeignete Eingabe den Wert 1 anzunehmen. erfüllend satisfying: Eigenschaft einer Variablenbelegung, nämlich der Formel den Wert 1 zu geben. Literal Varianten von SAT Spezialfall k-sat: Jede Klausel hat genau k Literale. Optimierungsvar. MAXSAT u. MAX-k-SAT: Eingabe: Formel F in konjunktiver Form (mit Klauseln aus genau k Literalen) Aufgabe: Finde eine Variablenbelegung, die möglichst viele Klauseln erfüllt. Satz: SAT T MAXSAT und k-sat T MAX-k-SAT Restriktion Geg: Formel F, die auf Erfüllbarkeit getestet werden soll. Berechne mit dem MAXSAT-Orakel eine maximale erfüllende Belegung. Teste, ob diese alle Klauseln erfüllt

2 Satz K4.3.2: SAT = T 3-SAT. 3-SAT T SAT: Trivial. Restriktion SAT T 3-SAT: lokale Ersetzung Geg.: Formel F in konjunktiver Form. Ersetze jede Klausel C = x i1 x il durch Ersetze zu kurze Klauseln x i1 bzw. x i1 x i2 durch x i1 x i1 x i1 bzw. x i1 x i2 x i Korrektheit Partition und BP Zeige: 1.Jede erfüllende Belegung x für F kann zu erfüllenden Belegung für F ergänzt werden 2.Jede erfüll. Belegung für F ist eingeschränkt auf die x-variablen erfüllend für F. Partition Eingabe: Natürliche Zahlen a 1,...,a n. Frage: Gibt es I {1,...,n} mit BP Eingabe: n Objekte mit Größen a 1,...,a n, Kistengröße b, Zahl k. Aufgabe: Genügen k Kisten der Größe b, um alle Objekte zu verpacken?

3 Partition und BP Satz K4.3.3: Partition T BP Restriktion Geg: Eingabe (a 1,...,a n ) für Partition. Falls B= i a i ungerade: Eingabe nicht lösbar. Sonst: Wende BP-Orakel auf die Eingabe a 1,...,a n und B/2 an. Clique, Indep. Set, Vertex Cover Independent Set (IS dec ) Eingabe: Unger. Graph G=(V,E), nat. Zahl k. Frage: Gibt es k Knoten, die paarweise nicht verbunden sind? Bsp. Partition ist genau dann lösbar, wenn 2 Kisten reichen Satz K4.3.4: Clique dec = T IS dec. Clique dec T IS dec Geg: Graph G=(V,E), Zahl k. lokale Ersetzung Erzeuge G =(V,E ) mit {u,v} E {u,v} E Klar: G enthält k paarweise verb. Knoten G enthält k paarweise nicht verb. Knoten. Vertex Cover (VC dec ) Eingabe: Unger. Graph G=(V,E), nat. Zahl k. Frage: Gibt es V V mit V k, so dass jede Kante mindestens einen Knoten aus V enthält? V überdeckt E. Bsp. IS dec T Clique dec : analog. Independent Set heißt auch Anti-Clique

4 Satz K4.3.4: IS dec = T VC dec. IS dec T VC dec Geg: Graph G=(V,E), Schranke k für IS. Rufe das VC-Orakel für G und V k auf. V unabhängige Menge mit k Knoten Jede Kante enthält einen Knoten, der nicht in V ist. V V ist Vertex Cover. VC dec T IS dec analog. Überblick Turing-Reduktionen zwischen verschiedenen Varianten eines Problems, z.b. TSP opt, TSP eval und TSP dec. Turing-Reduktionen zwischen verwandten Problemen: DHC = T HC T TSP SAT T MAXSAT und SAT = T 3SAT Partition T BP Clique = T IS = T VC Beobachtung: Bei allen bisher vorgestellten Reduktionen zwischen Entscheidungsproblemen wurde das Orakel nur einmal aufgerufen und das Ergebnis wurde unverändert ausgegeben. Spezialfall von Turing-Reduktionen: polynomielle Reduktionen (engl. polynomial time many-one) Nicht verwandte Probleme [K4.4] Satz K4.4.3: 3-SAT T IS dec. Geg: 3-SAT-Eingabe F : - Variablen x 1,...,x n, - Klauseln C 1,...,C m mit je 3 Literalen. Reduktion mit verbundenen Komponenten Konstruiere Graphen G=(V,E) Für das j-te Literal in der i-ten Klausel einen Knoten v i,j insgesamt 3m Knoten

5 Beispiel: C 1 = x 1 x 2 x 3 C 2 = x 1 x 2 x 4 C 3 = x 1 x 2 x 3 Zwei Knoten werden genau dann verbunden, wenn die zug. Literale widersprüchlich sind oder zur selben Klausel gehören. k:=m. Anzahl der Klauseln Korrektheit 1. G enthält Menge U mit k unabhängigen Knoten F erfüllbar. - Die Knoten von U gehören zu versch. Klauseln, also zu jeder Klausel einer. - Die zugehörigen Literale sind nicht widersprüchlich. Es gibt Belegung, die in jeder Klausel ein Literal erfüllt. Größe der unabhängigen Menge Korrektheit Weitere nicht verwandte Probleme 2. F erfüllbar G enthält k unabh. Knoten. - Sei x erfüllende Belegung. - Markiere in jeder Klausel einen Knoten, bei dem das zugeh. Literal durch x erfüllt wird. In jeder Klausel wird ein Knoten markiert. Literale zu den markierten Knoten nicht widersprüchlich markierte Knoten paarweise nicht verbunden, also unabhängig. 177 Satz K4.4.4: 3-SAT T DHC dec Reduktion mit verbundenen Komponenten Geg: Eingabe F für 3-SAT: Variablen x 1,...,x n, Klauseln C 1,...,C m. Komponente für eine Var. x i : x i =1 x i =0 178

6 G: x 1 x 2 x 3 x n C 1 C 2 C 3 C m 179 Reduktion 3-SAT T DHC dec Berechne aus F den Graphen G. Teste mit dem DHC-Orakel, ob G einen HC hat. Korrektheit: 1. F hat erfüllende Belegung G hat DHC. Sei x erfüllende Belegung - Durchlaufe d. Var.komponenten gemäß x. - Für jede Klausel ergänze Pfad von einer Var.komponente, bei der das zug. Literal die Klausel erfüllt G hat HC F hat erfüllende Belegung. - Der HC muss jede Var.komponente von links nach rechts oder umgekehrt durchlaufen. links rechts: x i =1, rechts links: x i =0. - Der HC muss jede Klauselkomponente von einer Var.komponente erreichen. Das zug. Literal ist durch x erfüllt. 181

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