Build-Max-Heap. Build-Max-HeappAq. Satz Nach Ablauf von Build-Max-Heap ist A ein Heap. Build-Max-Heap hat Laufzeit Opnq.

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Harald Scholz
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1 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 45 Build-Max-Heap Aufgabe: Baue unsortiertes Array A der Länge n in einen Max-Heap um Idee: Blätter stehen in Artn{2u ` 1..ns und sind bereits zu Beginn Heaps Stellen nun die Heapeigenschaft schrittweise für innere Knoten her, dazu rufen wir Max-Heapify für alle inneren Knoten auf; erst für Artn{2us, dann für Artn{2u 1s,... Build-Max-HeappAq 1 A.heapsize : n 2 for i : tn{2u to 1 do 3 Max-HeapifypA, iq Satz Nach Ablauf von Build-Max-Heap ist A ein Heap. Build-Max-Heap hat Laufzeit Opnq. Beweis: Ñ Tafel

2 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 46 Heap-Sort: Algorithmus Idee: Baue zunächst A in einen Heap um, extrahiere dann iterativ das Maximum des Heaps und stelle es zwischen den Rest-Heap und die bereits extrahierten Werte. Heap-SortpAq 1 Build-Max-HeappAq 2 for i : n to 2 do 3 vertausche Ar1s und Aris 4 A.heapsize := A.heapsize 1 5 Max-HeapifypA, 1q Laufzeit: Vorteil von Heap-Sort:

3 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 47 Quick-Sort Quick-Sort ist ein in-place Sortieralgorithmus, mit Worst-Case-Laufzeit Θpn 2 q. Algorithmisches Paradigma: Divide-and-Conquer Idee: Wähle ein Element x aus A, zerlege A in A 1, das alle kleineren Elemente enthält, und A 2, das alle größeren Elemente enthält. Sortiere A 1 und A 2 rekursiv und gib A 1 x A 2 aus.

4 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 47 Quick-Sort Quick-Sort ist ein in-place Sortieralgorithmus, mit Worst-Case-Laufzeit Θpn 2 q. Algorithmisches Paradigma: Divide-and-Conquer Idee: Wähle ein Element x aus A, zerlege A in A 1, das alle kleineren Elemente enthält, und A 2, das alle größeren Elemente enthält. Sortiere A 1 und A 2 rekursiv und gib A 1 x A 2 aus. Quick-SortpA, l, r q 1 if r ă l then 2 q : PartitionpA, l, rq 3 Quick-SortpA, l, q 1q 4 Quick-SortpA, q ` 1, rq

5 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 48 Partition Aufgabe: Wahl des Pivotelements x und Aufteilen von Arl..r s bezüglich x

6 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 48 Partition Aufgabe: Wahl des Pivotelements x und Aufteilen von Arl..r s bezüglich x PartitionpA, l, r q

7 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 48 Partition Aufgabe: Wahl des Pivotelements x und Aufteilen von Arl..r s bezüglich x PartitionpA, l, r q 1 x : Arrs 2 i : l 1 3 for j : l to r 1 do 4 if Arjs ď x then 5 i : i ` 1 6 vertausche Aris und Arjs 7 vertausche Ari ` 1s und Arrs 8 return i ` 1

8 C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 48 Partition Aufgabe: Wahl des Pivotelements x und Aufteilen von Arl..r s bezüglich x PartitionpA, l, r q 1 x : Arrs 2 i : l 1 3 for j : l to r 1 do 4 if Arjs ď x then 5 i : i ` 1 6 vertausche Aris und Arjs 7 vertausche Ari ` 1s und Arrs 8 return i ` 1 Beispielablauf: Ñ Tafel

9 Partition Aufgabe: Wahl des Pivotelements x und Aufteilen von Arl..r s bezüglich x PartitionpA, l, r q 1 x : Arrs 2 i : l 1 3 for j : l to r 1 do 4 if Arjs ď x then 5 i : i ` 1 6 vertausche Aris und Arjs 7 vertausche Ari ` 1s und Arrs 8 return i ` 1 Beispielablauf: Ñ Tafel Satz Quick-Sort löst das Sortierproblem in Θpn 2 q Zeit. Beweis: Ñ Tafel Best-Case-Laufzeit: C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 48

10 Rang & Median Quick-Sort hat Worst-Case-Laufzeit Θpn 2 q, die Laufzeit hängt wesentlich vom Pivot ab. Gute Pivots teilen Arl..rs in gleich große Teile. Wie findet man schnell den Median der Elemente von A?

11 Rang & Median Quick-Sort hat Worst-Case-Laufzeit Θpn 2 q, die Laufzeit hängt wesentlich vom Pivot ab. Gute Pivots teilen Arl..rs in gleich große Teile. Wie findet man schnell den Median der Elemente von A? Definition Gegeben sei eine Folge A xa 1,..., a n y und eine Ordnungsrelation ă über den Elementen von A. Dann ist der Rang von a i in A definiert als Rangpa i, Aq : tx P A : x ď a i u.

12 Rang & Median Quick-Sort hat Worst-Case-Laufzeit Θpn 2 q, die Laufzeit hängt wesentlich vom Pivot ab. Gute Pivots teilen Arl..rs in gleich große Teile. Wie findet man schnell den Median der Elemente von A? Definition Gegeben sei eine Folge A xa 1,..., a n y und eine Ordnungsrelation ă über den Elementen von A. Dann ist der Rang von a i in A definiert als Rangpa i, Aq : tx P A : x ď a i u. Beispiel Schreibweise: a pkq bezeichnet das Element mit Rang k Definition Der Median einer Folge A xa 1,..., a n y ist das Element a ptn{2uq.

13 Selection Eingabe: Folge A xa 1,..., a n y, k wobei 1 ď k ď n. Ausgabe: a pkq

14 Selection Eingabe: Folge A xa 1,..., a n y, k wobei 1 ď k ď n. Ausgabe: a pkq Ziel im Folgenden: lineare Laufzeit SelectionpA, kq 1 if A ď q then 2 sortiere A; return a pkq 3 Zerlege A in t A {qu viele Teilfolgen mit ď q ` 1 Elementen 4 Sortiere jede Teilfolge und bestimme jeweils den Median m i 5 m : Selectionptm 1,..., m t A {qu u, t A {2quq 6 Bestimme A 1 : tx P A : x ă mu, A 2 : tx P A : x mu und A 3 : tx P A : x ą mu 7 if A 1 ě k then 8 return SelectionpA 1, kq 9 else if A 1 ` A 2 ě k then 10 return m 11 else 12 return SelectionpA 3, k p A 1 ` A 2 qq

15 Selection: Analyse Algorithmische Technik ist benannt nach m, dem Median der Mediane Satz SelectionpA, kq berechnet in Opnq Zeit das Element mit Rang k in A, wobei n die Länge von A ist. Beweis: Ñ Tafel.

16 Selection: Analyse Algorithmische Technik ist benannt nach m, dem Median der Mediane Satz SelectionpA, kq berechnet in Opnq Zeit das Element mit Rang k in A, wobei n die Länge von A ist. Beweis: Ñ Tafel. Quick-Sort-Variante mit Laufzeit Θpn log nq: Ersetze Zeile 1 im Partition-Algorithmus (x : Arr s) durch 1 x : SelectionpArl, rs, tpr l ` 1q{2uq 2 Finde i mit l ď i ď r und Aris x 3 Vertausche Aris und Arr s Laufzeitanalyse:

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