3. Struktur idealer Kristalle

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1 3. Struktur idealer Kristalle 3.1 Raumgitter - 3-D-periodische Anordnungen - Raumgitter und Basis - primitive Translationen - Elementarzelle - Dreh- und Spiegelsymmetrien - Einheitszelle - 7 Kristallsysteme, 14 Bravaisgitter - 32 Kristallklassen, 230 Raumgruppen WS 2013/14 1

2 Raumgitter + Basis = Kristallstruktur [ A.M. Glazer, The Structures of Crystals, A. Hilger, Bristol, 1987] WS 2013/14 2

3 Kristallsysteme Symmetrieoperationen: Translation Rotation Schraubung Spiegelung Inversion Drehinversion Gleitspiegelung WS 2013/14 3

4 Bravais-Gitter Auguste Bravais ( ) [ Wikipedia ] [ E.Jäger, M.I.Kaganov, Grundlagen der Festkörperphysik, H.Deutsch, Frankfurt 2000 ] WS 2013/14 4

5 Die 14 Bravais-Gitter WS 2013/14 5

6 Rotation (Drehung) [ U. Müller ] WS 2013/14 6

7 Schraubung [ U. Müller ] WS 2013/14 7

8 Leonard Sohnckes gruppentheoretische Behandlung erweiterte 1879 die 14 Translationsgruppen um Drehungen und Schraubungen (Bewegungsgruppen) auf 65 Raumgruppen (chirale oder Sohncke- Raumgruppen) Auf dieser Grundlage zeigten Schoenflies und Fedorow durch Einbeziehung von Spiegelungen, Drehspiegelungen und Gleitspiegelungen 1891 unabhängig voneinander die Existenz von genau 230 Raumgruppen WS 2013/14 8

9 Spiegelung und Inversion [ U. Müller ] WS 2013/14 9

10 Drehinversion [ U. Müller ] WS 2013/14 10

11 Gleitspiegelung [ U. Müller ] WS 2013/14 11

12 WS 2013/14 12

13 3.2 Kristallstrukturen - Atomkoordinaten - Charakteristika wichtiger Gittertypen - Diamantstruktur - Graphit und Fullerene - NaCl-Struktur - kubisch raumzentriert (Fe-Struktur) - kubisch dichteste Kugelpackung - hexagonal dichteste Kugelpackung - CsCl-Struktur WS 2013/14 13

14 z Atomkoordinaten: y x Atomzahl pro Einheitszelle: N Z N E N K N F = N I N E - Gitterpunkte an Ecken N K - Gitterpunkte an Kanten N F - Gitterpunkte in Flächen N I - Gitterpunkte im Inneren WS 2013/14 14

15 Diamantstruktur fcc mit zweiatomiger Basis (2 x C) Verschiebungsvektor 1/4 Raumdiagonale Natriumchloridstruktur: fcc mit zweiatomiger Basis (Na + Cl) Verschiebungsvektor 1/2 Raumdiagonale WS 2013/14 15

16 Diamant und Graphit WS 2013/14 16

17 Graphen Physiknobelpreis 2010 Andre Geim & Konstantin Novoselov 2-D Festkörper! Hexagonal 2 Atome pro Brillouinzone 2 Untergitter WS 2013/14 17

18 Graphen [ C. Mietze ] WS 2013/14 18

19 Fullerene und CNT WS 2013/14 19

20 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] WS 2013/14 20

21 Kubisch raumzentriert WS 2013/14 21

22 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] WS 2013/14 22

23 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] WS 2013/14 23

24 Kubisch raumzentriert [ M.Möller ] WS 2013/14 24

25 fcc Gitter: kubisch dichteste Kugelpackung Draufsicht der Stapelfolge A-B-C-A der Ebenen (111) in gedachter dichtester Kugelpackung WS 2013/14 25

26 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 26

27 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 27

28 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 28

29 Kubisch dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 29

30 Cäsiumchloridstruktur primitiv kubisch mit zweiatomiger Basis Verschiebungsvektor 1/2 Raumdiagonale Hexagonal dichteste Kugelpackung hexagonales Raumgitter mit zweiatomiger Basis Stapelfolge A-B-A-B WS 2013/14 30

31 Hexagonal dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 31

32 Hexagonal dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 32

33 Hexagonal dichteste Kugelpackung [ M.Möller ] WS 2013/14 33

34 Dichte Kugelpackungen WS 2013/14 34

35 3.3 Millersche Indizes - Netzebene - Bildung der Millerschen Indizes (h k l) - Sonderfälle (, negativ, hexagonal) - äquivalente Ebenen {hkl} - Kristallrichtungen [mnj] - Beispiele WS 2013/14 35

36 Millersche Indizes WS 2013/14 36

37 Millersche Indizes: c 3 Netzebene (132) 2 b a 6 Millersche Indizes im kubischen Kristallsystem: z z z x y y x x (100) (110) (111) y Besonderheiten bei der Indizierung in einem hexagonalen Kristall a 3 -a 1 Netzebene (0001) -a 2 a 2 a 1 -a 3 WS 2013/14 37

38 3.4 Das reziproke Gitter - primitive Translationen - Dimension: reziproke Länge - Zusammenhang mit Kristallgitter - Brillouin-Zone - Konstruktion der Brillouin-Zone - Beispiele WS 2013/14 38

39 Reziprokes Gitter mit V E als dem Volumen der Elementarzelle: WS 2013/14 39

40 1. Brillouin-Zone Man erhält die erste Brillouin-Zone, in analoger Weise zur Wigner-Seitz-Zelle indem man von einem Punkt des reziproken Gitters Vektoren zu allen Nachbarpunkten zieht und durch die Mittelpunkte der Verbindungslinien senkrecht zu ihnen Ebenen legt WS 2013/14 40

41 Léon Nicolas Brillouin ( ) WS 2013/14 41

42 1. Brillouinzone fcc-gitter: Symmetriepunkte [ Wikipedia ] WS 2013/14 42

43 Wigner-Seitz-Zelle Eugene Paul Wigner ( ) [TU Berlin ] Frederick Seitz ( ) [Rockefeller Uni] WS 2013/14 43

44 Wigner-Seitz-Zelle [N. Mikuszeit] WS 2013/14 44

45 3.5 Experimentelle Bestimmung der Kristallstruktur Kristalle als natürliche Beugungsgitter elektromagnetische Wellen De Broglie Wellenlänge Lauesche Gleichungen Ewaldsche Kugel Braggsche Reflexionsbedingung Struktur und Debye-Waller-Faktor WS 2013/14 45

46 Beugung und Interferenz [ M.Müller ] WS 2013/14 46

47 1 Wellenlänge [nm] 0,1 LEED De Broglie - Wellenlänge für Photonen, Elektronen, Neutronen als Funktion der Teilchenenergie. RHEED Energie [ev] WS 2013/14 47

48 Braggsche Gleichung WS 2013/14 48

49 Laue-Gleichungen [ F. Bechstedt ] WS 2013/14 49

50 Lauediagramm WS 2013/14 50

51 Ewald-Konstruktion [ M.Müller ] WS 2013/14 51

52 Paul Peter Ewald ( ) Prof. in München, Prof. Stuttgart bis 1933 Ab 1939 in USA Prof. in Brooklyn,N.Y. [ WS 2013/14 52

53 Strukturfaktor [ M.Müller ] WS 2013/14 53

54 Strukturfaktor bei bcc [ M.Müller ] WS 2013/14 54

55 Strukturfaktor bei NaCl (KBr) [ M.Müller ] WS 2013/14 55

56 Debye-Waller-Faktor beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Intensität der kohärent elastisch gestreuten Strahlung an einem Kristallgitter I 0 ist die Intensität der einfallenden Welle, G ist ein reziproker Gittervektor und u die temperaturabhängige Oszillationsamplitude der Atome WS 2013/14 56

57 Ivar Waller ( )) "Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen" Z. Phys. 17 (1923) Fermi, Enrico; Hansen, William W.; Waller, Ivar WS 2013/14 57

58 [ M.Müller ] WS 2013/14 58