Beispiele akzeptierender Turingmaschinen

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1 Formale Sprachen und Automaten Beispiele akzeptierender Turingmaschinen Da wir am Donnerstag nicht mehr genug Zeit hatten, die akzeptierenden Turingmaschinen nochmal im Detail durchzusprechen, habe ich eine detaillierte Beschreibung einiger Beispielmaschinen als Übersicht erstellt Bitte beachtet, dass diese Turingmaschinen nicht die einzig möglichen und auch nicht unbedingt die minimalen Turingmaschinen für die Sprachen sind, die sie akzeptieren Gesucht sei eine TM M 1, die die kontext-sensitive Sprache erkennt L count3 = {a n b n c n n 1} Idee: Die Eingabe auf dem Band von M 1 wird mehrmals durchlaufen Bei jedem Durchlauf werden das linkeste a, das linkeste b und das linkeste c durch X ersetzt Gibt es genauso viele as wie es bs und cs gibt, steht am Ende nur noch eine Sequenz von X auf dem Band Der erste Durchlauf für die Eingabe aabbcc L count3 würde dann bspw so aussehen (Unterstreichung markiert Kopfposition): a a b b c c X a b b c c X a b b c c X a X b c c X a X b c c X a X b X c X a X b X c Nach einem weiteren Durchlauf würden nur noch X auf dem Band stehen und M 1 akzeptieren In allen anderen Fällen würde M 1 verwerfen M 1 = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {a, b, c}, {a, b, c, X, B}, δ 1, q 0, B, {q 4 }

2 δ 1 (q 0, a) = q 1, X, δ 1 (q 0, X) = q 0, X, δ 1 (q 0, B) = q 4, B, δ 1 (q 1, a) = q 1, a, δ 1 (q 1, X) = q 1, X, δ 1 (q 1, b) = q 2, X, δ 1 (q 2, b) = q 2, b, δ 1 (q 2, X) = q 2, X, δ 1 (q 2, c) = q 3, X, δ 1 (q 3, a) = q 3, a, δ 1 (q 3, b) = q 3, b, δ 1 (q 3, X) = q 3, X, δ 1 (q 3, B) = q 0, B, a / a a / a b / b X / X a / X b / X c / X q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 In Zustand q 0 liest M 1 ein a, ersetzt dieses durch X und geht nach rechts In q 1 werden beliebig viele weitere as und X überlesen und das erste b durch X ersetzt In q 2 werden analog zu q 1 beliebig viele weitere bs und X überlesen und das erste c durch X ersetzt M 1 geht danach jedoch einen nach links, also zurück In q 3 werden alle eben gelesenen as und bs und geschriebenen X überlesen bis der Kopf wieder über dem ersten Symbol der Eingabe steht M 1 geht dann zurück in den Startzustand q 0 Falls auf dem Band nur noch eine Sequenz von X steht, geht M 1 in den akzeptierenden Zustand q 4 über In allen anderen Fällen verwirft M 1 Gesucht sei eine TM M 2, die die Palindromsprache erkennt L palin = {w {a, b} w = w R } 2

3 Idee: Es müssen immer der i-te Buchstabe von vorne und von hinten miteinander übereinstimmen, dh der erste mit dem letzten, der zweite mit dem vorletzten, etc Das lässt sich noch vereinfachen, wenn wir bei jedem Vergleich die beiden betreffenden Buchstaben vom Band löschen Dann muss jeweils immer nur der erste Buchstabe mit dem letzten verglichen werden Für die Eingabe abaaba L palin sähe das schematisch wie folgt aus: a b a a b a B b a a b B B B a a B B B B B B B B M 2 = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6 }, {a, b}, {a, b, B}, δ 2, q 0, B, {q 1 } δ 2 (q 0, a) = q 2, B, δ 2 (q 0, b) = q 5, B, δ 2 (q 0, B) = q 1, B, δ 2 (q 2, a) = q 2, a, δ 2 (q 2, b) = q 2, b, δ 2 (q 2, B) = q 3, B, δ 2 (q 3, a) = q 4, B, δ 2 (q 3, B) = q 1, B, δ 2 (q 4, a) = q 4, a, δ 2 (q 4, b) = q 4, b, δ 2 (q 4, B) = q 0, B, δ 2 (q 5, a) = q 5, a, δ 2 (q 5, b) = q 5, b, δ 2 (q 5, B) = q 3, B, δ 2 (q 6, b) = q 4, B, δ 2 (q 6, B) = q 1, B, 3

4 a / a q 2 q 3 a / B a / B a / a b / b q 0 q 1 q 4 b / B a / a b / B q 5 q 6 In q 0 gibt es drei Möglichkeiten Das erste Bandsymbol ist ein Blank: M 2 geht direkt in den akzeptierenden Zustand q 1 über, da die Eingabe ɛ entspricht und damit trivialerweise ein Palindrom ist a: M 2 löscht es und geht in den Zustand q 2 über Damit wird der Pfad q 2 q 3 q 4 eingeleitet, der am Ende der Eingabe ein a suchen und ggf löschen wird b: Analog zu a, nur, dass der Pfad q 5 q 6 q 4 eingeleitet wird, der am Ende statt nach einem a nach einem b sucht und ggf löscht In q 2 /q 5 wird die Eingabe überprungen bis der Kopf über dem letzten Symbol der Eingabe steht In q 3 /q 6 wird entweder ein a bzw b gelöscht oder M 2 akzeptiert, falls es ein Blank liest Das ist der Fall, da q 3 /q 6 bereits wegen eines Blanks erreicht wurde und ein weiteres Blank bedeutet, dass die Eingabe vollständig abgearbeitet wurde Genauer gesagt bedeutet das, dass die Länge des 4

5 Palindroms ungerade war (wie zb bei aabaa) und M 2 mittlere Symbol abgearbeitet hat gerade das In q 4 überspringt M 2 wieder die restliche Eingabe bis der Kopf über dem neuen ersten Symbol der Eingabe steht Gesucht sei eine TM M 3, die die Kopiersprache erkennt L copy = {ww w {a, b} } Man könnte auf die Idee kommen, dass hier eine nicht-deterministische Turingmaschine gebraucht wird, um die Wortmitte zu erraten Allerdings macht Nicht-determinismus Turingmaschinen wie gesagt nicht mächtiger, wir kommen also auch mit einer deterministischen aus Denn tatsächlich kann die Wortmitte einfach ermittelt werden Idee: Zunächst wird die Wortmitte ermittelt Dazu werden nacheinander das erste und das letzte Eingabesymbol, das zweite und das vorletzte, etc markiert, dh a durch X und b durch Y ersetzt Sobald die beiden Markierer dabei aufeinander treffen, haben wir die Wortmitte gefunden Veranschaulicht: a a b a a b X a b a a b X a b a a b X a b a b Y X a b a a Y X X b a a Y X X Y X X Y Falls die Länge der Eingabe ungerade ist, wird ein Eingabesymbol übrigbbleiben und M 3 verwerfen, da ein Wort ungerader Länge niemals in L copy sein kann Anschließend werden die ursprünglichen Symbole der linken Worthälfte wieder hergestellt: 5

6 X X b X X Y X a b X X Y a a b X X Y Um festzustellen, ob beide Worthälften identisch sind, können wir jetzt das i-te Symbol der linken Worthälfte mit dem i-ten der rechten vergleichen Dazu fangen wir bei dem linkesten Eingabesymbol an, ersetzen es wieder durch X bzw Y, um zu markieren, wo wir schon waren, und suchen dann den linkesten Markierer der rechten Worthälfte Falls Eingabesymbol und Markierer zueinander passen, wird der Markierer gelöscht und die Suche geht mit dem i + 1-ten Eingabesymbol weiter: a a b X X Y X a b X X Y X a b B X Y X X b B X Y X X b B B Y M 3 = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8, q 9 }, {a, b}, {a, b, X, Y, B}, δ 3, q 0, B, {q 1 } 6

7 δ 3 (q 0, a) = q 2, X, δ 3 (q 0, b) = q 2, Y, δ 3 (q 0, B) = q 1, B, δ 3 (q 0, X) = q 5, X, δ 3 (q 0, Y ) = q 5, Y, δ 3 (q 2, a) = q 2, a, δ 3 (q 2, b) = q 2, b, δ 3 (q 2, B) = q 3, B, δ 3 (q 2, X) = q 3, X, δ 3 (q 2, Y ) = q 3, Y, δ 3 (q 3, a) = q 4, X, δ 3 (q 3, b) = q 4, Y, δ 3 (q 4, a) = q 4, a, δ 3 (q 4, b) = q 4, b, δ 3 (q 4, X) = q 0, X, δ 3 (q 4, Y ) = q 0, Y, δ 3 (q 5, X) = q 5, a, δ 3 (q 5, Y ) = q 5, b, δ 3 (q 5, B) = q 6, B, δ 3 (q 6, a) = q 7, X, δ 3 (q 6, b) = q 9, Y, δ 3 (q 6, B) = q 1, B, δ 3 (q 7, a) = q 7, a, δ 3 (q 7, b) = q 7, b, δ 3 (q 7, X) = q 8, B, δ 3 (q 7, B) = q 7, B, δ 3 (q 8, a) = q 8, a, δ 3 (q 8, b) = q 8, b, δ 3 (q 8, X) = q 6, X, δ 3 (q 8, Y ) = q 6, Y, δ 3 (q 8, B) = q 8, B, δ 3 (q 9, a) = q 9, a, δ 3 (q 9, b) = q 9, b, δ 3 (q 9, Y ) = q 8, B, δ 3 (q 9, B) = q 9, Y, 7

8 a / a a / a b / b X / X Y / Y a / X q 2 q 3 b / Y q 4 a / X b / Y q 0 q 1 Y / Y X / X Y / Y X / a Y / b a / a a / X q 5 q 6 q 7 b / Y Y / Y X / B q 9 Y / B q 8 a / a a / a b / b Die Erklärung der einzelnen Zustände sei an der Stelle zur Übung euch überlassen 8