Logik/Beweistechniken
|
|
- Bettina Dittmar
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematikvorkurs bei Marcos Soriano Logik/Beweistechniken erstellt von: Daniel Edler
2 -II- Inhaltsverzeichnis 1 Logik/Beweistechniken Allgemeine Vorgehensweise Konjunktion/Disjunktion Wahrheitstafel Negation Wahrheitstafel Beispiel Negation von und/oder Satz Beweis/Wahrheitstafel Satz Beweis/Wahrheitstafel Implikation/ Wenn..., dann Vorsicht: Fallen Lemma Beweis Satz Negation einer Implikation Beweis Beispiel Satz Beweis Definition - doppelte Implikation Bespiel Beweistechniken Direkt Beweis Äquivalenzen Indirekt Widerspruchsbeweis Satz Beweis indirekt Beweis direkt Induktion Beispiel Ästhetik/Eleganz/Einsicht Notation, etc 8
3 1 Logik/Beweistechniken Allgemeine Vorgehensweise Aus alten Aussagen kann man neue machen. Vorgehensweise: 1. Definition 2. Satz 3. Beweis 4. Beispiel 2 Konjunktion/Disjunktion Definition: Seien A und B Aussagen. Konjunktion Dann ist A B eine Aussage. Sie ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Disjunktion Dann ist A B eine Aussage. Sie ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussage A und B wahr ist. (Dies steht im Kontrast zur Umgangssprache. Dort gilt zusätzlich, dass auch maximal eine Aussage wahr sein muss.) 2.1 Wahrheitstafel A B A B A B w w w w w f f w f w f w f f w f 3 Negation Definition: Sei A eine Aussage. Dann ist nicht A ( A) eine Aussage. Diese ist genau dann wahr, wenn A falsch ist. 3.1 Wahrheitstafel A A ( A) w f w f w f Dabei entspricht ( ( ( A))) in Text gefasst: Es ist nicht wahr, dass es gilt, es sei ungültig, dass 7 nicht prim ist und ist damit logisch Äquivalent zu A und A, was in Text gefasst 7 ist prim entspricht.
4 Beispiel Alle Schafe sind weiss. Die Negation lautet: Nicht alle Schafe sind weiß Die Negation lautet nicht: Alle Schafe sind schwarz, Alle Schafe sind nicht weiß 4 Negation von und/oder 4.1 Satz Die Aussage nicht (A und B) ist logisch äquivalent zur Aussage nicht A oder nicht B Beweis/Wahrheitstafel Da (A B) und ( A) ( B) dieselbe Wahrheitstafel besitzen sind sie logisch Äquivalent. A B (A B) A B ( A) ( B) w w w f f f w f w f w w f w w w f w f f f w w w 4.2 Satz (A B) ( A) ( B) Beweis/Wahrheitstafel A B A B (A B) A B ( A) ( B) w w w f f f f w f w f f w f f w w f w f f f f f w w w w 5 Implikation/ Wenn..., dann... Eine Implikation ist eine Ausage der Form: Falls A wahr ist, dann ist B wahr A B Voraussetzung/Hypothese Schlussfolgerunge/Konklusion
5 -3- Definition: Seien A, B Aussagen, dann ist A B (sprich: aus A folgt/a impliziert B ) eine Aussage, deren Wahrheitswert durch die folgende Tabelle gegeben ist: A B A B Falls morgen die Sonne scheint, gehe ich hin w w w Sonne, hingehen w f f Sonne, nicht hingehen verstößt gegen Versprechen f w w keine Sonne, trotzdem hingehen ist erlaubt f f w keine Sone, nicht hingehen erlaubt 5.1 Vorsicht: Fallen Die Wahrheit von A B besagt nichts über die Wahrheit von A oder B. A B (Wenn ich Winston Churchill bin, bin ich Engländer) und A B (Wenn ich nicht Winston Churchill bin, bin ich kein Engländer) sind logisch nicht äquivalent. Versteckte Implikationen: Die Summe zweier ungeraden Zahlen ist gerade heißt: Falls x und y ungerade Zahlen sind, so ist x + y gerade. 5.2 Lemma A B A B Beweis A B A B A A B w w w f w w f f f f f w w w w f f w w w 5.3 Satz Negation einer Implikation (A B) A B Beweis (A B) Lemma ( A B) Neg von Disjunktion ( A) B Doppelte Neg A B
6 Beispiel Falls es regent, ist der Boden nass Falls der Boden trocken ist, so regnet es nicht 5.4 Satz A B ( B) ( A) Beweis A B A B B A B A w w w f f w w f f w f f f w w f w w f f w w w w 5.5 Definition - doppelte Implikation A B A B B A A B w w w f w w f f w f f w w f f f f w w w A B (A B) (B A) Es müssen ZWEI Beweise geführt werden! Der Regen R reicht hin, die Straße S nass zu machen (R S), aber er ist nicht notwendig Bespiel x R, a Z x 2 + 2x 3 = 0 x = 3 x 2 + 2x 3 = 0 x = 3 oder x = 1 6 Beweistechniken 6.1 Direkt Satz: Seien x, y positive, reele Zahlen. Dann gilt: x+y 2 xy
7 -5- Um den Beweis zu finden ( führen/abgeben) ist es oft nützlich, von der zu beweisenden Aussage auszugehen und rückwärts zu arbeiten (oft bis zur Vorrausetzung) x + y 2 xy x + y 2 xy (x + y) 2 4 xy x 2 + 2xy + y 2 4 xy x 2 2xy + y 2 0 (x y) 2 0 Wahr So aufgeschrieben, ist es kein Beweis! Wir gehen von der Wahrheit der aussage aus, die wir beweisen müssen!!! Beweis Quadrate reeler Zahlen sind nicht negativ (DIES ist eine wahre Aussage), also gilt: (x y) 2 0 x 2 2xy + y 2 0 x 2 + 2xy + y 2 4 xy (x + y) 2 4 xy x + y 2 xy x + y xy 2 auch da x, y positiv 6.2 Äquivalenzen Satz: Sei a Z. Dann gilt: a gerade a 2 gerade Zwei Implikationen müssen gezeigt werden! Wenn Zahl gerade, dann a = 2α == true für a Z a gerade a 2 gerade a ist gerade, d.h. a = 2α für ein α Z a 2 ist gerade, d.h. a 2 = (2α) 2 = 4α 2 = 2 (2α 2 ) für ein α Z a 2 gerade a 2 gerade kann man umformen: A B B A a ist ungerade, d.h. a = 2α + 1 für a Z a 2 ist ungerade, d.h. a 2 = (2α + 1) 2 = 4α 2 + 4α + 1 = 2(2α 2 + 2α) + 1 für ein α Z 6.3 Indirekt Widerspruchsbeweis Man möchte A beweisen (A(w)). Hierzu geht man von der Gültigkeit (w) von A aus (A(w) A(f)), und leitet Aussagen her, bis man auf eine falsche Aussage trifft. Da
8 -6- man mit einer Kette von Schlussfolgerungen der Art: } B ist wahr C ist wahr B C niemals eine falsche Aussage herleiten kann, muss die allererste Aussage (unsere Annahme: A) falsch sein, d.h. A ist wahr.es kann doch auch (im Bsp) C falsch sein. Dadurch wird die Aussage auch falsch. (-> B/A falsch). Oder wird gerade nach so einem C gesucht, die A demnach falsifiziert?) Satz Die Menge der natürlichen Zahlen N enthält unendlich viele Primzahlen N = {1, 2, 3,...}; p P; p > 1; p ist durch 1 und sich selbst teilbar Nach der PFZ (Primfaktor Zerlegung) lässt sich jede natürliche Zahl bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primahlen schreiben 360 = = = = = Exkurs: Die sog. Fermat-Zahlen folgen nach F n = 2 2n +1. Die entstehende Zahlenmenge beginnt mit 3,5,17,.... F 5 = Die Zahlenfolge ist bis F 11 bekannt, da mit jeden um eins erhöhten n die Anzahl der Ziffern der Fermat-Zahl sich verdoppelt Beweis indirekt A: Es gibt - viele Primzahlen A: Es gibt endlich - viele Primzahlen Seien p 1, p 2,..., p k die endlich vielen Primzahlen, die es gibt. Betrachte die Zahl n = p 1 p 2... p k + 1. Diese Zahl n hat eine PFZ. Da es nur endlich viele Primazahlen gibt, muss mindestens einer von p 1,..., p k als Primfaktor von n auftauchen und somit n teilen. Das ist ein Widerspruch: <???> nach Konstruktuion ist n durch keine der Zahlen p i teilbar, da man bei Division von n mit p i den Rest 1 erhält </???>. Also ist A falsch, und folglich A wahr. Achtung: Viele indirkekte Beweise lassen sich direkt schreiben Beweis direkt Seien p 1, p 2,..., p k Primzahlen. Keine dieser Primzahlen teilt n = p 1 p 2... p k + 1 warum teilt die keiner?, also liefert jeder Primfaktoren von n eine neue Primzahl p.
9 -7- Beispiel: n =2 + 1 = 3 n = = 7 n = = Induktion Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Aussage A(n). Man will alle Aussagen beweisen. Dazu wird gezeigt: A(1) ist wahr Die Implikation A(n) A(n + 1) ist wahr }{{} Induktionsvoraussetzung Damit hat man alle Aussagen bewiesen, da gilt: } A(1) ist wahr A(2) ist wahr A(1) A(2) Induktionsanfang Induktionsschritt Beispiel Satz: Für alle n N gilt: A(n) : n (2k 1) = n 2 k=1 Beweis: A(1) ist wahr 1 2 = A(n) A(n + 1) ist wahr: Falls A(n) wahr ist, dann ist A(n + 1) wahr. Angenommen A(n) ist wahr, d.h. es gilt: n k=1 (2k 1) = n2 Dann gilt: n+1 n (2k 1) = (2k 1) + (2(n + 1) 1) k=1 k=1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) Ästhetik/Eleganz/Einsicht Satz: Für alle n N ist n 3 n durch 3 teilbar Um dies zu Beweisen gibt es unterschiedliche Möglichkeiten: Jede Zahl n lässt bei Division mit 3 den Rest 0,1 oder 2. Eine Fallunterscheidung ist notwendig!
10 -8- Per Induktion Einsicht: n 3 n = n(n 2 1) = n(n + 1)(n 1) = (n + 1) n (n 1) Der Term ergibt ein Produkt von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen mit genau einer, die hiervon durch 3 teilbar ist. Es ist außerdem noch zu erkennen, dass mindestens eine gerade ist, also gilt: Satz: Für alle n N ist n 3 n durch 6 teilbar! 7 Notation, etc := logische Äquivalenz := logisches Nicht := logisches Und := logisches Oder Tantologie: immer wahre Aussage z.b. A A logischer Widerspruch: ist immer falsch z.b. A A Lemma: Hilfssatz
Elementare Beweismethoden
Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe16 Ronja Düffel 21. März 2016 Logik und Beweise Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe.
Mehrmathe plus Aussagenlogik Seite 1
mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
Mehr5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56
5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten
MehrEinführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )
Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2008/09 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen und Beweise
MehrAufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den
Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #2 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 10.11.2016 Organisatorisches Fragen? Checkliste: Anmeldung kleine Übungen Anmeldung Mailingliste Dies ersetzt nicht die Prüfungsanmeldung!
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe
MehrSchnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung
Mathematisches Institut II.06.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 3: Elementare Beweismethoden: Direkter Beweis,
MehrNormalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
MehrFachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen
MehrLogik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
MehrAufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.
Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
Mehr( ) ( ) für x = 9 gilt:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 05.10.2008 Verknüpfung von Aussagen Werden Aussagen miteinander verknüpft, so entstehen zusammengesetzte Aussagen, deren Wahrheitsgehalt in der angegebenen Verbindung
Mehrder einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr
Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein
Mehr5 Grundlagen der Zahlentheorie
5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk
MehrBrückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag
Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung
MehrWelcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden:
Übungsaufgaben 1. Aufgabe 1 Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: a. x ist eine gerade Zahl. Aussageform b. 10 ist Element der Menge A.
MehrMan weiß, dass zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen immer mindestens eine Primzahl liegt:
Primzahlgeheimnis 1 Man weiß, dass zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen immer mindestens eine Primzahl liegt: Vervollständige die Quadrate und kringele alle Primzahlen ein: 1 2 5 10 17 26 37
MehrErsetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
MehrBrückenkurs. Beweise. Anja Haußen Brückenkurs, Seite 1/23
Brückenkurs Beweise Anja Haußen 30.09.2016 Brückenkurs, 30.09.2016 Seite 1/23 Inhalt 1 Einführung 2 Sätze 3 Beweise 4 direkter Beweis Brückenkurs, 30.09.2016 Seite 2/23 Einführung Die höchste Form des
MehrDonnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.
Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )
MehrA N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl
Mehr1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik
1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik Übersicht 1.1 Junktoren......................................................... 1 1.2 Quantoren......................................................... 4 1.3
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrI. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.
I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten
MehrSeminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln
Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln Michael Kniely November 2009 1 Vorbemerkungen Definition. Sei n N +, ϕ(n) := {d [0, n 1] ggt (d, n) = 1}. Die Abbildung ϕ : N + N + heißt
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:
MehrVorlesung. Logik und Diskrete Mathematik
Vorlesung Logik und Diskrete Mathematik (Mathematik für Informatiker I) Wintersemester 2008/09 FU Berlin Institut für Informatik Klaus Kriegel 1 Literatur zur Vorlesung: C. Meinel, M. Mundhenk, Mathematische
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)
WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14
MehrProf. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 3. Der euklidische Algorithmus
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 3 Der euklidische Algorithmus Euklid (4. Jahrhundert v. C.) Definition 3.1. Seien zwei Elemente a, b (mit b 0) eines euklidischen Bereichs
MehrKapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
MehrFolgen und endliche Summen
Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen
MehrMathematik und Logik
Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.
Mehr1 Einführung Aussagenlogik
1 Einführung Aussagenlogik Denition 1. Eine Aussage ist ein Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch ist. Welche der folgenden Sätze ist eine Aussage? 3+4=7 2*3=9 Angela Merkel ist Kanzlerin Stillgestanden!
MehrAussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen
Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,
MehrLogic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
MehrKapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine
MehrLogik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft
MehrEinführung. Denkanstoÿ: Was ist wissenschaftliches Denken? Theorie (Allgemeines) Induktion (philos.) Deduktion. Empirie (Spezielles)
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 3.9.2013 Ÿ0 Einführung Denkanstoÿ: Was ist wissenschaftliches Denken? Theorie (Allgemeines) Deduktion Induktion
Mehr3 Vom Zählen zur Induktion
7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,
MehrEin kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass.
Implikation Implikation Warum ist die Tabelle schwer zu schlucken? In der Umgangssprache benutzt man daraus folgt, also, impliziert, wenn dann, nur für kausale Zusammenhänge Eine Implikation der Form:
Mehr7. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen
7. Mathematik Olympiade. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 9 Saison 967/968 Aufgaben und Lösungen OJM 7. Mathematik-Olympiade. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 9 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen
MehrRhetorik und Argumentationstheorie.
Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom
MehrVorkurs Mathematik Logik und Beweise
Vorkurs Mathematik Logik und Beweise Axel Wagner 30. September 2012 Diese Arbeit basiert in Teilen auf dem Beweis-Vortrag von Bärbel Jansen und Winnifred Wollner, in bearbeiteter Fassung von Casper Goch.
Mehr2 Der Beweis. Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises
2 Der Beweis Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises Satz und Beweis Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Satz und Beweis Ein mathematischer
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrSeminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen
Universität Paderborn WS 2007/2008 Warburger Str. 100 33098 Paderborn Seminararbeit zur Zahlentheorie Die Gaußschen Zahlen Tatjana Linkin, Svetlana Krez 20. November 2007 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
MehrEine kurze Tabelle soll uns erste Einsichten erleichtern. Der Strich heißt, dass es eine solche Darstellung nicht gibt.
Summen von Quadraten 1 Physikalische Motivation Eine schwingende Saite hat eine Grundfrequenz F, die von Länge, Dicke, Beschaffenheit der Saite und so fort abhängt Neben dieser Grundfrequenz gibt es auch
Mehr1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen
MehrKontraposition und Widerspruch
Kontraposition und Widerspruch Kontraposition und Widerspruch Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2/2. Oktober 2 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Motivation Neue Beweistechnik??
Mehr1. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04
1 Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 MICHAEL NÜSKEN, KATHRIN TOFALL & SUSANNE URBAN Aufgabe 11 (Aussagenlogik und natürliche Sprache) (9 Punkte) (1) Prüfe, ob folgenden Aussagen
MehrHandout zu Beweistechniken
Handout zu Beweistechniken erstellt vom Lernzentrum Informatik auf Basis von [Kre13],[Bün] Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Beweis? 2 2 Was ist Vorraussetzung, was ist Behauptung? 2 3 Beweisarten 3 3.1
MehrVertiefungskurs Mathematik
Vertiefungskurs Mathematik Anforderungen für das Universitäts-Zertifikat im Schuljahr 01/13 Grundvoraussetzung: Teilnahme am Vertiefungskurs Mathematik in Klasse 11. Inhaltliche Voraussetzungen: Aussagenlogik
MehrAussagenlogik-Boolesche Algebra
Aussagenlogik-Boolesche Algebra 1 Aussagen In der Mathematik und in der Logik werden Sätze der Umgangssprache nur unter bestimmten Bedingungen Aussagen genannt. Sätze nennt man Aussagen, wenn sie etwas
MehrMengen und Abbildungen
Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen
MehrDer Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat
Mehr5 Kongruenzrechnung. Definition. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen.
5 Kongruenzrechnung Sei m > 0 fest vorgegeben Nach wissen wir: Jede Zahl a läßt sich auf eindeutige Weise durch m mit Rest dividieren, dh: Es gibt genau ein Zahlenpaar q, r mit der Eigenschaft ( ) a =
MehrVorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion
Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten
MehrDIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL
DIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL LARS KINDLER Dies sind Notizen für ein Seminar an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemster 2011. Als Quelle diente das Buch A Course in the Theory of Groups
Mehr1 Das Prinzip der vollständigen Induktion
1 1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1.1 Etwas Logik Wir nennen eine Formel oder einen Satz der Alltagssprache eine Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Die Formeln 2 = 3, 2 4, 5 5 sind
MehrVorlesung. Vollständige Induktion 1
WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen
MehrEinführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )
Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2015/16 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 4 2
MehrMathematik Vorkurs. Goethe-Universität in Frankfurt am Main. von Sven Jarohs
Mathematik Vorkurs Goethe-Universität in Frankfurt am Main von Sven Jarohs 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 3 Grundlegende Begriffe und Regeln der Logik 3 3 Beweistechniken 7 4 Einführung in die Mengenlehre
MehrDie Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.
1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu
MehrMathematische Grundlagen
Luise Unger In LATEX gesetzt von Luise Unger Mathematische Grundlagen Kurseinheit 1: Grundlagen 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77 7 7 777 7 77 7777777 77777 7 77 7 7 7 7 7 7 77777777777
MehrReihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann
Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion Robert Klinzmann 3. Mai 00 Reihen / Partialsummen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Das Prinzip der vollständigen Induktion 3 3 Herleitung der Gauß schen
MehrJohannes Kepler University Linz (JKU) Research Institute for Symbolic Computation (RISC) Lernunterlage zum. Wolfgang Windsteiger 1
Johannes Kepler University Linz (JKU) Research Institute for Symbolic Computation (RISC) Lernunterlage zum VORKURS MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSINFORMATIK Wolfgang Windsteiger 1 Wintersemester 2015/16 1 Dieses
MehrFormale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30
Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Aussagenlogik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer Matous Sedlacek,
Vorkurs Mathematik für Informatiker -- 4 ussagenlogik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer Matous Sedlacek, 7..2 ussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: oder, oder Objekte, die wir untersuchen, sind jetzt
Mehr1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende
MehrFakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
MehrProf. S. Krauter Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen DezDarst.doc. Über die Darstellung von rationalen Zahlen als Dezimalbrüche.
1 Prof. S. Krauter Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen DezDarst.doc Über die Darstellung von rationalen Zahlen als Dezimalbrüche. Anmerkung: Die Beschränkung auf die Dezimaldarstellung ist unnötig.
MehrZahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade
Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Clemens Heuberger 22. September 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Dezimaldarstellung 1 2 Teilbarkeit
MehrÜbung Grundbegriffe der Informatik
Übung Grundbegriffe der Informatik 15. und letzte Übung Karlsruher Institut für Technologie Matthias Janke, Gebäude 50.34, Raum 249 email: matthias.janke ät kit.edu Matthias Schulz, Gebäude 50.34, Raum
MehrÜbungen Mathematik I, M
Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0) 09.0.0. Kommissar K hat 3 Tatverdächtige P, Q und R. Er weiß: (a) Wenn sich Q oder R als Täter herausstellen, dann ist P unschuldig.
MehrFachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen
MehrThemen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion
Lo sungen zu U bungsblatt Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbauer und Sicherheitstechniker), 1. Semester, bei Prof. Dr. G. Herbort im WiSe1/14 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 05.11.1 Themen: Kubische Gleichungen,
MehrTU8 Beweismethoden. Daniela Andrade
TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2
MehrMusterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik
UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 100
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengen und Mengenoperationen (Teil II) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents 1 2 3 Definition Mengenfamilie Eine Menge, deren sämtliche Elemente selbst wiederum
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
MehrZahlentheorie. Vorlesung 14. Fermatsche Primzahlen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 14 Fermatsche Primzahlen Definition 14.1. Eine Primzahl der Form 2 s + 1, wobei s eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
MehrZerlegung in Quadratzahlen
Zerlegung in Quadratzahlen Die Zerlegung von natürlichen Zahlen in die Summe von Quadratzahlen ist eine alte, abgeschlossene Theorie, die schon von FERMAT im 17. Jahrhundert und später von EULER, LAGRANGE
MehrTeil 7. Grundlagen Logik
Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also
MehrEinführung in die algebraische Zahlentheorie
Alexander Schmidt Einführung in die algebraische Zahlentheorie Springer-Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-45973-6 Kapitel 7 Der Große Fermatsche Satz Die folgende Behauptung wurde
MehrWiederholung Vorlesungen 1 bis 8
Wiederholung Vorlesungen 1 bis 8 Aufgabe 1 a) Sind die im Folgenden gegebenen Ausdrücke als Folge interpretierbar? Wenn ja, wie? i) 1,,4,8,16,3,64,..., ii)... 5, 3, 1,1,3,5,..., iii) 3,10,π,4, 1 7,10,1,14,16,18,...
MehrHausaufgaben Negation Aussagen Implikation Äquivalenz Zusammenfassung. Elementare Logik. Diskrete Strukturen. Uta Priss ZeLL, Ostfalia
Elementare Logik Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Elementare Logik Slide 1/26 Agenda Hausaufgaben Negation Aussagen Implikation Äquivalenz Zusammenfassung
Mehr7 Der kleine Satz von Fermat
7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle
MehrPrimzahlzertifikat von Pratt
Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
Mehr3 Vollständige Induktion
3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon
MehrKapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit
Kapitel 2 Ganze Zahlen In diesem Kapitel setzen wir voraus, dass die Menge Z der ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen dem Leser vertraut sind.
Mehr