Logik/Beweistechniken

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1 Mathematikvorkurs bei Marcos Soriano Logik/Beweistechniken erstellt von: Daniel Edler

2 -II- Inhaltsverzeichnis 1 Logik/Beweistechniken Allgemeine Vorgehensweise Konjunktion/Disjunktion Wahrheitstafel Negation Wahrheitstafel Beispiel Negation von und/oder Satz Beweis/Wahrheitstafel Satz Beweis/Wahrheitstafel Implikation/ Wenn..., dann Vorsicht: Fallen Lemma Beweis Satz Negation einer Implikation Beweis Beispiel Satz Beweis Definition - doppelte Implikation Bespiel Beweistechniken Direkt Beweis Äquivalenzen Indirekt Widerspruchsbeweis Satz Beweis indirekt Beweis direkt Induktion Beispiel Ästhetik/Eleganz/Einsicht Notation, etc 8

3 1 Logik/Beweistechniken Allgemeine Vorgehensweise Aus alten Aussagen kann man neue machen. Vorgehensweise: 1. Definition 2. Satz 3. Beweis 4. Beispiel 2 Konjunktion/Disjunktion Definition: Seien A und B Aussagen. Konjunktion Dann ist A B eine Aussage. Sie ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Disjunktion Dann ist A B eine Aussage. Sie ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussage A und B wahr ist. (Dies steht im Kontrast zur Umgangssprache. Dort gilt zusätzlich, dass auch maximal eine Aussage wahr sein muss.) 2.1 Wahrheitstafel A B A B A B w w w w w f f w f w f w f f w f 3 Negation Definition: Sei A eine Aussage. Dann ist nicht A ( A) eine Aussage. Diese ist genau dann wahr, wenn A falsch ist. 3.1 Wahrheitstafel A A ( A) w f w f w f Dabei entspricht ( ( ( A))) in Text gefasst: Es ist nicht wahr, dass es gilt, es sei ungültig, dass 7 nicht prim ist und ist damit logisch Äquivalent zu A und A, was in Text gefasst 7 ist prim entspricht.

4 Beispiel Alle Schafe sind weiss. Die Negation lautet: Nicht alle Schafe sind weiß Die Negation lautet nicht: Alle Schafe sind schwarz, Alle Schafe sind nicht weiß 4 Negation von und/oder 4.1 Satz Die Aussage nicht (A und B) ist logisch äquivalent zur Aussage nicht A oder nicht B Beweis/Wahrheitstafel Da (A B) und ( A) ( B) dieselbe Wahrheitstafel besitzen sind sie logisch Äquivalent. A B (A B) A B ( A) ( B) w w w f f f w f w f w w f w w w f w f f f w w w 4.2 Satz (A B) ( A) ( B) Beweis/Wahrheitstafel A B A B (A B) A B ( A) ( B) w w w f f f f w f w f f w f f w w f w f f f f f w w w w 5 Implikation/ Wenn..., dann... Eine Implikation ist eine Ausage der Form: Falls A wahr ist, dann ist B wahr A B Voraussetzung/Hypothese Schlussfolgerunge/Konklusion

5 -3- Definition: Seien A, B Aussagen, dann ist A B (sprich: aus A folgt/a impliziert B ) eine Aussage, deren Wahrheitswert durch die folgende Tabelle gegeben ist: A B A B Falls morgen die Sonne scheint, gehe ich hin w w w Sonne, hingehen w f f Sonne, nicht hingehen verstößt gegen Versprechen f w w keine Sonne, trotzdem hingehen ist erlaubt f f w keine Sone, nicht hingehen erlaubt 5.1 Vorsicht: Fallen Die Wahrheit von A B besagt nichts über die Wahrheit von A oder B. A B (Wenn ich Winston Churchill bin, bin ich Engländer) und A B (Wenn ich nicht Winston Churchill bin, bin ich kein Engländer) sind logisch nicht äquivalent. Versteckte Implikationen: Die Summe zweier ungeraden Zahlen ist gerade heißt: Falls x und y ungerade Zahlen sind, so ist x + y gerade. 5.2 Lemma A B A B Beweis A B A B A A B w w w f w w f f f f f w w w w f f w w w 5.3 Satz Negation einer Implikation (A B) A B Beweis (A B) Lemma ( A B) Neg von Disjunktion ( A) B Doppelte Neg A B

6 Beispiel Falls es regent, ist der Boden nass Falls der Boden trocken ist, so regnet es nicht 5.4 Satz A B ( B) ( A) Beweis A B A B B A B A w w w f f w w f f w f f f w w f w w f f w w w w 5.5 Definition - doppelte Implikation A B A B B A A B w w w f w w f f w f f w w f f f f w w w A B (A B) (B A) Es müssen ZWEI Beweise geführt werden! Der Regen R reicht hin, die Straße S nass zu machen (R S), aber er ist nicht notwendig Bespiel x R, a Z x 2 + 2x 3 = 0 x = 3 x 2 + 2x 3 = 0 x = 3 oder x = 1 6 Beweistechniken 6.1 Direkt Satz: Seien x, y positive, reele Zahlen. Dann gilt: x+y 2 xy

7 -5- Um den Beweis zu finden ( führen/abgeben) ist es oft nützlich, von der zu beweisenden Aussage auszugehen und rückwärts zu arbeiten (oft bis zur Vorrausetzung) x + y 2 xy x + y 2 xy (x + y) 2 4 xy x 2 + 2xy + y 2 4 xy x 2 2xy + y 2 0 (x y) 2 0 Wahr So aufgeschrieben, ist es kein Beweis! Wir gehen von der Wahrheit der aussage aus, die wir beweisen müssen!!! Beweis Quadrate reeler Zahlen sind nicht negativ (DIES ist eine wahre Aussage), also gilt: (x y) 2 0 x 2 2xy + y 2 0 x 2 + 2xy + y 2 4 xy (x + y) 2 4 xy x + y 2 xy x + y xy 2 auch da x, y positiv 6.2 Äquivalenzen Satz: Sei a Z. Dann gilt: a gerade a 2 gerade Zwei Implikationen müssen gezeigt werden! Wenn Zahl gerade, dann a = 2α == true für a Z a gerade a 2 gerade a ist gerade, d.h. a = 2α für ein α Z a 2 ist gerade, d.h. a 2 = (2α) 2 = 4α 2 = 2 (2α 2 ) für ein α Z a 2 gerade a 2 gerade kann man umformen: A B B A a ist ungerade, d.h. a = 2α + 1 für a Z a 2 ist ungerade, d.h. a 2 = (2α + 1) 2 = 4α 2 + 4α + 1 = 2(2α 2 + 2α) + 1 für ein α Z 6.3 Indirekt Widerspruchsbeweis Man möchte A beweisen (A(w)). Hierzu geht man von der Gültigkeit (w) von A aus (A(w) A(f)), und leitet Aussagen her, bis man auf eine falsche Aussage trifft. Da

8 -6- man mit einer Kette von Schlussfolgerungen der Art: } B ist wahr C ist wahr B C niemals eine falsche Aussage herleiten kann, muss die allererste Aussage (unsere Annahme: A) falsch sein, d.h. A ist wahr.es kann doch auch (im Bsp) C falsch sein. Dadurch wird die Aussage auch falsch. (-> B/A falsch). Oder wird gerade nach so einem C gesucht, die A demnach falsifiziert?) Satz Die Menge der natürlichen Zahlen N enthält unendlich viele Primzahlen N = {1, 2, 3,...}; p P; p > 1; p ist durch 1 und sich selbst teilbar Nach der PFZ (Primfaktor Zerlegung) lässt sich jede natürliche Zahl bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primahlen schreiben 360 = = = = = Exkurs: Die sog. Fermat-Zahlen folgen nach F n = 2 2n +1. Die entstehende Zahlenmenge beginnt mit 3,5,17,.... F 5 = Die Zahlenfolge ist bis F 11 bekannt, da mit jeden um eins erhöhten n die Anzahl der Ziffern der Fermat-Zahl sich verdoppelt Beweis indirekt A: Es gibt - viele Primzahlen A: Es gibt endlich - viele Primzahlen Seien p 1, p 2,..., p k die endlich vielen Primzahlen, die es gibt. Betrachte die Zahl n = p 1 p 2... p k + 1. Diese Zahl n hat eine PFZ. Da es nur endlich viele Primazahlen gibt, muss mindestens einer von p 1,..., p k als Primfaktor von n auftauchen und somit n teilen. Das ist ein Widerspruch: <???> nach Konstruktuion ist n durch keine der Zahlen p i teilbar, da man bei Division von n mit p i den Rest 1 erhält </???>. Also ist A falsch, und folglich A wahr. Achtung: Viele indirkekte Beweise lassen sich direkt schreiben Beweis direkt Seien p 1, p 2,..., p k Primzahlen. Keine dieser Primzahlen teilt n = p 1 p 2... p k + 1 warum teilt die keiner?, also liefert jeder Primfaktoren von n eine neue Primzahl p.

9 -7- Beispiel: n =2 + 1 = 3 n = = 7 n = = Induktion Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Aussage A(n). Man will alle Aussagen beweisen. Dazu wird gezeigt: A(1) ist wahr Die Implikation A(n) A(n + 1) ist wahr }{{} Induktionsvoraussetzung Damit hat man alle Aussagen bewiesen, da gilt: } A(1) ist wahr A(2) ist wahr A(1) A(2) Induktionsanfang Induktionsschritt Beispiel Satz: Für alle n N gilt: A(n) : n (2k 1) = n 2 k=1 Beweis: A(1) ist wahr 1 2 = A(n) A(n + 1) ist wahr: Falls A(n) wahr ist, dann ist A(n + 1) wahr. Angenommen A(n) ist wahr, d.h. es gilt: n k=1 (2k 1) = n2 Dann gilt: n+1 n (2k 1) = (2k 1) + (2(n + 1) 1) k=1 k=1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) Ästhetik/Eleganz/Einsicht Satz: Für alle n N ist n 3 n durch 3 teilbar Um dies zu Beweisen gibt es unterschiedliche Möglichkeiten: Jede Zahl n lässt bei Division mit 3 den Rest 0,1 oder 2. Eine Fallunterscheidung ist notwendig!

10 -8- Per Induktion Einsicht: n 3 n = n(n 2 1) = n(n + 1)(n 1) = (n + 1) n (n 1) Der Term ergibt ein Produkt von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen mit genau einer, die hiervon durch 3 teilbar ist. Es ist außerdem noch zu erkennen, dass mindestens eine gerade ist, also gilt: Satz: Für alle n N ist n 3 n durch 6 teilbar! 7 Notation, etc := logische Äquivalenz := logisches Nicht := logisches Und := logisches Oder Tantologie: immer wahre Aussage z.b. A A logischer Widerspruch: ist immer falsch z.b. A A Lemma: Hilfssatz

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