Das Bayessche Theorem ist ein Ergebnis aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und liefert einen Zusammenhang zwischen bedingten Wahrscheinlichkeiten.

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1 ayessches Theorem Das ayessche Theorem st en Ergens aus der ahrschenlchetstheore und lefert enen Zusammenhang zwschen edngten ahrschenlcheten.. ayessches Theorem für Eregnsse Senen und zwe elege Eregnsse. De edngte ahrschenlchet von vorausgesetzt oder auch de ahrschenlchet von unter der edngung st defnert als: De edngte ahrschenlchet vorausgesetzt gt sozusagen enen rad an, we ahängg das Entreten des Eregnsses vom Eregns st. Das dese Defnton snnvoll st wrd lar, wenn man für de Eregnsse und stochastsche Unahängget voraussetzt. n de Defnton von engesetzt ergt nun: Da de Eregnsse und ncht vonenander ahängen stochastsch unahängg ergt sch, dass auch de edngte ahrschenlchet von ncht von ahängt und damt desele ahrschenlchet we von st. Eenso glt nach für de edngte ahrschenlchet von vorausgesetzt : 4 Daraus folgt für de edngte ahrschenlchet von vorausgesetzt aus das ayessche Theorem: 5

2 . Verallgemenerung des ayesschen Theorems egeen sen nun en Stchproenraum Ω, der aus dsunten Eregnssen... zusammengesetzt st. Dsunte Eregnsse haen de Egenschaft { }, Das heßt de lefern ene Zerlegung des Stchproenraums: U... Ω 6 Des wetern se nun en Eregns aus Ω also Ω gegeen. Dann glt für nach 4: 7 Und da sch wegen dsunt de ahrschenlcheten der ausschleßen tun das auch de Schntte mt :, 0 8 us 8 und 7 folgt für de ahrschenlchet von : De ahrschenlchet von engesetzt n 5 ergt: 0 ayessches Theorem verallgemenert

3 .espele. espel zu 9 In ener Stadt gt es dre verschedene ohngegenden, enfach, mttel, esser. Darüer hnaus ann man edes Haus noch unterscheden n Neuau oder ltau. esucht st de ahrschenlchet aus allen ohnungen enen ltau zu zehen. Stadt enfach 0,4 mttel 0,5 esser 0,5 ltau 0,5 Neuau 0,5 ltau 0,4 Neuau 0,6 ltau 0, Neuau 0,7 De ahrschenlcheten ann man dem ogen aumdagramm entnehmen. De ahrschenlcheten der ohngegenden: e m 0,4 0,5 0,5 De edngte ahrschenlcheten dass de ohnung en ltau st unter der edngung der ohngegenden st gegeen durch: lt lt lt e m 0,5 0,4 0, De gesuchte ahrschenlchet ergt sch mt der Formel aus 9. lt lt lt e e + lt m m + lt e, m, 0,5 0,4 + 0,4 0,5+ 0, 0,5 0,45

4 . Das Zegenprolem En Kanddat st e ener Quzshow und darf sch zwschen dre glechwahrschenlchen Toren entscheden. Hnter enem st der Hauptgewnn zwschen den zwe ürgen st ewels ene Zege. Der Kanddat entschedet sch nun für ene Tor und der oderat dect darauf enes der ürgen zwe Toren auf hnter dem sch ene Zege efndet und gt nun dem Kanddaten noch enmal de ahl o er ncht doch leer das andere der zwe verleenden Tore wählen wll. das Eregns der ewnn efndet sch hnter Tor,,, das Eregns der oderator öffnet Tor,,, In desem espel wählt nun der Kanddat Tor und der oderator dect Tor auf. das Ergens st für eden Fall glech De Frage st nun lohnt es sch für den Kanddaten von Tor zu Tor zu wechseln. athematscher ausgedrüct: Es wrd de edngte ahrschenlchet gesucht, dass der ewnn hnter Tor st unter der edngung der oderator hat Tor geöffnet: Dese st durch 0 lecht auszurechnen. + + Da alle Tore glech wahrschenlch snd folgt. De edngten ahrschenlcheten snd auch durch enfaches Üerlegen zu estmmen. De ahrschenlchet, dass der oderator Tor öffnet unter der edngung, dass der ewnn hnter Tor st, st 0,5. Da er sowohl Tor als auch Tor aufmachen önnte, hnter der ewels ene Zege steht. De ahrschenlchet, dass der oderator Tor öffnet unter der edngung, dass der ewnn hnter Tor st, st. Er hat ene andere ahl also Tor. Hnter Tor st der ewnn, den er ncht aufdecen darf und Tor hat erets der Kanddat ausgewählt. Ergo let nur Tor. 4

5 De ahrschenlchet, dass der oderator Tor öffnet unter der edngung, dass der ewnn hnter Tor st, st 0. Laut Spelregeln dect der oderator en Tor auf, hnter der sch ene Zege efndet. D. h. es st hm ncht erlaut Tor zu wählen unter der edngung der ewnn legt hnter Tor. 0 5 De Ergensse,, 4 und 5 engesetzt n lefert: Das heßt wenn der oderator en Tor geöffnet hat, lohnt es sch für den Kanddaten mmer zu wechseln, da sch sene Chancen zu gewnnen dadurch verdoppeln. wenn er sen Tor ehält hat er en drttel Chance zu gewnnen

6 4.ayessches Theorem zum Testen von Theoren Das ayessche Theorem ann man auch verwenden um de ahrschenlchet zu testen we gut ene Theore st. emessen an den essergenssen und der suetven Enschätzung we rchtg das Ergens st. De so genannte -posteror-ahrschenlchet wrd mt Θ Θ 0 x ezechnet und ann mt Hlfe des ayestheorems erechnet werden. Im Spezalfall ener dsreten -pror- Vertelung Θ Θ mt Θ Θ erhält man: f x Θ0 Θ Θ0 Θ Θ0 x 6 f x Θ Θ Θ Θ Θ Θ sen here en uneannter Umweltzustand z.. Huelonstante, der auf der ass von eoachtungen x ener Zufallsgröße X geschätzt werden soll. De edngte Vertelung von X unter der edngung dass Θ den ert Θ 0 annmmt, wrd mt f x Θ 0 ezechnet Lelhood. Dese ahrschenlchetsvertelung ann nach eoachtung der Stchproe estmmt werden. Deser ert st sozusagen aus der essungen azulesen. as man nun leder ncht ennt, st de -pror-vertelung des Umweltzustandes Θ. an nmmt nun an, dass dese Unwssenhet sen persönlches rolem st, und wrd daher suetve ahrschenlcheten dafür angeen, nwewet man das Ergens für rchtg oder falsch hält. Damt hat man ene essere Vorstellung davon, nwewet man das Ergens für rchtg oder falsch hält. t Hlfe des ayestheorems ann nun de -posteror-vertelung des Umweltzustands Θ estmmt werden. Falls de enge aller möglchen Umweltzustände endlch st, lässt sch de -posteror-vertelung m ert Θ 0 als de ahrschenlchet nterpreteren, mt der man nach eoachtung der Stchproe und unter Enezehung des Vorwssens zw. der suetven Schätzung den Umweltzustand Θ 0 erwartet. Quellen: peda: gehalten am ttwoch den 0. Novemer 0 von Kornan roh m Fach Kosmologe